евклидовом пространстве аналитически, при помощи уравнения: “S+a^+aJ+a^a*Построим теперь «трёхмерный тор» след’, образом. Возьмём куб АВСВА'В'С'В' (рис. 13) и склеим между собой одну пару его грап г. ней, напр., грани АВСВ и „
3^1 А'В'С'В' (так чтобы точки (в А, В, С, В совпали соответственI нос точками Л', В', О', Л'). Поs еле этого первого склеивания куб превращается в «гранёное *
о кольцо», изображённое на риРис. 1з. сунке 14. Теперь склеим между собой «грани» АА'В'В и ВВ'С'С (которые после предыдущего склеивания уже превращены в плоские кольца).
После этого склеивания оставшиеся пока ещё свободными грани АА'В'В и ВВ'С'С превратились в два тора, вложенных один внутрь другого, а исходный куб — в пространство, заключённое между этими двумя торами.
Остаётся произвести последнее склеивание, т. е. склеивание пары граней АА'В'В и ВВ'С'С, уже не осуществимое в трёхмерном пространстве. Оно превратит нашу фигуру в трёхмерное замкнутое многообразие, называемое трёхмерным тором по очевидной аналогии с обыкновенным тором. Из сказанного выше следует, что трёхмерный тор /[ может быть получен также и след, образом. Берём про- * В странство между двумятоИ и рами с общей осью (рис. 15) и склеиваем их соответственные точки (точки а и а' Рис 14 на рис. 15). Второй пример трёхмерного многообразия (в дальнейшем мы будем его обозначать через Л/|) получим, взяв пространство между двумя концентрич. сферами Sиsи склеив между собой каждые две точки сфер S и $, лежащие на одном и том же луче, выходящем из общего центра О обеих этих сфер.
Заметим, что каждая точка р многообразия однозначно определяется двумя данными: точкой и сферы s, являющейся проекцией точки р на сферу s, и положением точки р на той линии, к-рая после склеивания получается из заключённого между обеими сферами отрезка луча Ор. Но эта линия очевидно замкнута, так что точки р многообразия взаимно однозначно соответствуют парам вида (д?, и), где <р пробегает некоторую окружность, а и — все точки нек-рой сферы.
Рис. 15.
Мы с®йчас дадим механич. интерпретацию только что построенному многообразию . Рассмотрим механизм, состоящий из двух стержней АВ и ВС, соединённых в точке В шаровым шарниром т. о., что стержень АВ может свободно вращаться вокруг неподвижной точки А в одной и той же плоскости, проходящей через эту точку, тогда как ВС может вращаться свободно в пространстве вокруг точки В. Каждое положение полученной «механической системы» определяется, если задать положение точки В на окружности S1с центром вАис радиусом АВ и положение? точки С на сфере S2 радиуса ВС с центром В.
Т. о., каждое состояние нашей системы может быть записано в виде пары (др, и), где есть произвольная точка окружности S1, а и — произвольная точка сферы S2; другими словами, многообразие всех состояний нашей’ механич. системы находится во взаимнооднозначном соответствии с множеством всех пар (др, и). Но точки трёхмерного многообразия как мы видели, также взаимно однозначно соответствуют парам (др, и) и соответствие в обоих случаях непрерывно (см. ниже); поэтому многообразие 2И, и есть многообразие состояний нашей кинематич. системы.
Рассмотренный пример выясняет, почему понятие многообразия является основным понятием для приложений Т.: фазовые пространства механич. систем в большинстве случаев являются многообразиями (правда, не всегда замкнутыми). При этом возможность рассматривать эти фазовые пространства с топологич. точки зрения происходит от того, что всякое многообразие состояний данной механич. системы является множеством, в к-ром определена непрерывность, т. е. определены условия, при к-рых одно состояние этой механич. системы близко к другому, или, точнее, условия, при к-рых данная последовательность. состояний стремится к нек-рому определённому состоянию как к своему пределу. Если состояние характеризуется теми или иными параметрами (в нашем случае это были д? и и; то, что д? и и были не числами, а точками окружности и сферы, очевидно, не существенно), то предельный переход для состояний сводится (как и в нашем примере) к предельному переходу для соответствующих значений параметров.
6. Топологические пространства.
Предыдущие рассуждения вплотную подводят нас к одному из основных понятий Т. и всей современной математики — к понятию топологич. пространства. Топологическое пространство есть множество каких-нибудь элементов (называемых «точками» пространства), в к-ром для каждого подмножества М определено замыкание М, т. е. множество, состоящее из всех точек М и всех предельных точек этого подмножества.
Самое определение замыкания для множеств, лежащих в топологич. пространствах, может происходить разными способами. Один из этих способов заключается в том, что в пространстве R фактически указываются сходящиеся последовательности точек; тогда, по определению, точка £ только тогда входит в замыкание данного множества М, если из точек, множества М можно выбрать последовательность, сходящуюся к §. Другой способ состоит в том, что для каждой точки 5 пространства R выделяются нек-рые лежащие в R множества в качестве окрестностей точки Точка § входит в замыкание множества М, если каждая окрестность точки § содержит точки множества М.
Частным случаем топологич. пространств являются пространства метрические — такие множества, между элементами («точками») к-рых определены расстояния (см. Метрическое пространство, а также Функциональный анализ).
