Понятие непрерывного отображения определяется в любых топологии, пространствах след, обр.: отображение / топологии, пространства X на топологии, пространство Y называется непрерывным, если оно сохраняет предельные соотношения. Более тоино это знапит следующее: если М есть произвольное множество, лежащее в X, а N есть образ множества М. при отображении f, N =f(M), то всякая топка, входящая в замыкание множества М в пространстве X, при непрерывном отображении / переходит в топку, входящую в замыкание множества N в пространстве У.
В слупае метрип. пространств это определение может быть сформулировано так: отображение / называется непрерывным, если оно всякую последовательность, сходящуюся в пространстве X к какой-нибудь точке переводит в последовательность, сходящуюся в пространстве У к топке /(£)• Т. в её полном объёме может быть определена как теория топологии, пространств и их непрерывных отображений. Топологии, пространство метризуемо, если оно гомеоморфно нек-рому метрии. пространству. Метризуемое пространство, в котором из каждой последовательности топек можно выделить сходящуюся подпоследовательность, называется компактом.
7. Теория размерности (см. Размерность).
Компакты являются предметом большой и содержательной топологии, теории, построенной в знапительной степени в работах советских математиков (Урысон, Александров, Понтрягин). Упомянем здесь лишь о теории размерности компактов. Размерностью компакта Ф называется наименьшее такое целое пиело п, пто для любого £>0 можно построить конечную систему замкнутых подмножеств Ф19..., Ф9 компакта Ф, обладающую следующими свойствами: 1) диаметр каждого из множеств Фгменьше С; 2) всякая топка компакта Ф принадлежит, по крайней мере, одному и не более нем п +1 множеству из числа множеств Ф15..., Фв. Наглядный смысл этого определения очень прост: линию можно разбить на сколь угодно малые куски так, что каждая её точка будет принадлежать не более чем 2 из этих кусков. Поверхность (напр., площадь в городе) при всяком разбиении её на достаточно мелкие куски (напр., при замощении площади брусчаткой) всегда будет иметь точки, принадлежащие трём кускам (всегда будут иметься стыки трёх камней брусчатки), но примыканий по четыре можно избегнуть. При заполнении кирпичами какого-нибудь объёма необходимо будут иметься точки, в к-рых сходятся вместе четыре кирпича, а примыканий по пяти можно избежать.
Простейшими n-мерными топологии, пространствами являются так наз. n-мерные полиэдры, т. е. множества, к-рые могут быть разбиты на конечное число n-мерных выпуклых многогранников (с присоединением, вообще говоря, ещё и многогранников низшего числа измерений). Тот факт, что размерность полиэдра совпадает с его элементарно-геометрич. числом измерений (т. е. с максимальным числом измерений входящих в его состав выпуклых многогранников), доказывается отнюдь не просто; из него, в частности, легко оледует, что два евклидовых пространства разного числа измерений не гомеоморфнымежду собой (классич. теорема Брауэра об инвариантности числа измерений).
8. Топологические и полиэдральные многообразия. Компакт М называется п-мерным
замкнутым топологии, многообразием (см. Многообразие), если каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную n-мерному евклидову пространству. Замкнутое многообразие называется полиэдральным, если оно гомеоморфно нек-рому полиэдру. Ни одного примера неполиэдральных замкнутых многообразий нам неизвестно, однако до сих пор не доказано, что таковых нет. Основным методом топологии, исследования полиэдральных многообразий (вообще полиэдров и их топологии. образов) является т. н. комбинаторный метод, уже известный нам из Т. поверхностей; он заключается в том, что изучение данного полиэдра заменяется изучением некоторого его разбиения на выпуклые многогранники. Многогранники, возникающие при таком разбиении, и все их грани (всех измерений; нольмерные грани многогранника — это его вершины, а одномерные — рёбра) образуют конечное множество, удовлетворяющее следующим условиям: 1) всякий многогранник, являющийся гранью какого-либо многогранника множества К, сам является элементом множества К; 2) пересечение двух многогранников, входящих в К, является общей гранью обоих этих многогранников.
Конечное множество выпуклых многогранников, удовлетворяющих этим условиям, называется комплексом. Наиболее удобно пользоваться симплициальными комплексами, элементами к-рых являются простейшие выпуклые многогранники — ; симплексы.
Одномерный симплекс — это отрезок, двумерный симплекс — это треугольник, трёхмерный — тетраэдр. Вообще, n-мерный (замкнутый) симплекс данного Rn имеет п-f-l вершин, не лежащих ни в какой плоскости этого Rn, имеющей число измерений меньшее, чем п, и может быть определён как пересечение всех выпуклых множеств данного Rn, содержащих данные п+1 вершин симплекса. Т. к. симплексы являются многомерными обобщениями тр-ков, то симплициальные комплексы называются также триангуляциями. Комбинаторный метод позволяет применить к топологии, исследованию самых различных фигур, и в первую очередь полиэдров, своеобразный алгебраич. аппарат, к-рый сейчас будет выяснен на уже знакомом нам материале поверхностей.
9. Цепи, циклы, гомологи. Рассмотрим на какой-нибудь триангуляций какой-нибудь путь, состоящий из направленных отрезков, являющихся рёбрами этой триангуляции.
При этом нек-рые отрезки могут входить по нескольку раз в этот путь и с разными направлениями. Если данный направленный отрезок Р=АВ входит в данный путь р раз, а противоположно — направленный отрезок — Р =ВА входит в тот же путь q раз, то естественно сказать, что Р входит в наш путь с коэффициентом p — q или что — Р входит в этот путь с коэффициентом q — р. В частности, может случиться, что коэффициент, с к-рым данный отрезок входит в данный путь, равен нолю даже тогда, когда геометрически он в этот путь входит. Это приводит, например, к тому, что с алгебраической точки зрения путь
