решения линейных дифференциальных уравнений* В 20 в. в развитии Ф. а. происходит перелом под влиянием теории множеств и в особенности после работ Фреше (FrOchet) и Гаусдорфа (Hausdorff) по теории абстрактных пространств. С этого времени в Ф. а. начинают играть первенствующую роль геометрические методы. Функции рассматриваются как точки функциональных пространств, вообще говоря — различных, в зависимости от способа определения расстояний между точками в этих пространствах. Таково напр. пространство непрерывных функций, где расстояние д) между функциями Дж) и д(х) определяется формулой off, д) = а<юх < ь I /(ж) -.?(®) I > или Гильбертово пространство — пространство функций с интегрируемым квадратом, где расстояние Q(f, д) определяется формулой — e(f, <?) = ]/ pf(x) — g(x)]*dx.
Это открывает возможность применения к операторам методов, применяемых при изучении геометрических преобразований. Этот путь также приносит существенную пользу анализу: так напр., в теории существования решений дифференциальных уравнений оказалось плодотворным применение теории инвариантных точек непрерывных преобразований. Ценные результаты получаются при сочетании алгебраической и геометрической точек зрения: поскольку к функциям применимы алгебраические операции, они чаще всего рассматриваются не просто как точки, а как нек-рые векто рыв бесконечно-мерных пространствах. Компонентами этих векторор мы можем считать:. в случае непрерывной функции f(x) — значения этой функции в рациональных точкам, в случае функции f(x) с интегрируемым квадратом — ее коэффициенты ФурЬе, и т. п.; часто впрочем бывает достаточно чисто аксиоматической точки зрения на векторы, вообще не требующей существования компонентов. Теория линейных операторов в Гильбертовом пространстве является основой современной квантовой физики.
Лит.: Pincherle S., Funktionaloperationen, в кн.:
Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften..., В. II, T. 1, Н. 6, Lpz., 1906; L6vy Р., Lecons d’analyse fonctionnelle, P., 1922; Banach S., TtUorie des op6rations linSaires, t. I, Warszawa, 1932; Vitali G., Geometrianello spazio hilbertlano, Venezia, 1928; Stone M. H., Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications to Analysis, N.. Y., 1932; существуем международный журнал специально по Ф. а. — «Studia mathematica».
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД, метод, применяемый буржуазными экономистами англо-американской школы. Сущность Ф. м. заключается в том, что экономическое исследование ограничивается рассмотрением количественных зависимостей между отдельными категориями, выражецными в форме функций. В качестве примера таких функций обычно приводится напр. положецие, что спрос есть функция цены, поскольку с изменением цены данноготовара меняется (в обратном направлении) и спрос. Наиболее яркими представителями Ф. м. являются Вальрас, Парет и др., экономическая теория которых сводится к рассмотрению усложняющихся функций цены. Первоначально в их теории цена рассматривается как функция спроса на предметы потребления, затем — как функция издержек производства и т. д. Функциональнаязависимость между отдельными величинами выражается в том, что с изменением одной величины происходит изменение другой. Но из самой функциональной зависимости, взятой оторванно от экономического анализа, нельзя вывести, какой процесс является определяющим и какой определяемым. Ограничиваясь рассмотрением количественных зависимостей, сторонники Ф. м. выступают против изучения сущности причин экономических явлений капиталистического общества. Так напр., Парето пишет: «отныне, можно сказать, что всякий экономист, ищущий причину ценности, тем самым обнаруживает свое полное непонимание синтетического явления экономического равновесия».
Применение Ф. м. является средством апологетики капитализма со стороны современной буржуазной политэкономии. Вместо анализа растущих противоречий капитализма буржуазная политэкономия занимается математическими упражнениями с разными экономическими категориями, из которых выхолощена их антагонистическая сущность, их классовая природа. Свою критику Маркса сторонники Ф. м. ведут под флагом того, что вообще нельзя ставить вопроса о причинах и сущности явлений.
ФУНКЦИЯ (в математике), обозначает в самом общем понимании связь между переменными величинами. Если величина х может принимать произвольные значения и указано какое-либо правило, посредством к-рого приводятся в соответствие с этими значениями определенные значения другой величины у, то мы говорим, что у является функцией от ж и записываем это символически ?/=/(ж)’или у=Р(х) или у=ф(х) и т. п. Величину ж называют независимой переменной, или аргументом, у — зависимой переменной. Однако такое определение Ф. слишком расплывчато и нуждается в следующих уточнениях: 1) относительно изменения независимой переменной ж: как того интервала аЪ, внутри к-рого она может изменяться (а < ж < Ъ), так и того, принимает ли она все числовые значения от а до Ь (непрерывная независимая переменная) или лишь нек-рые, напр. лишь целочисленные; 2) относительно самого характера правила, указывающего, каким образом значению ж соответствует значение 2/; 3) относительно природы аргумента ж, являющегося действительным или комплексным переменным, й т. д.
Понятие функции — одно из самых основных понятий современной математики. Оно не сложилось сразу, но, возникнув более двухсот лет тому назад в знаменитом споре о звучащей струне, подверглось глубоким изменениям уже в начавшейся тогда энергичной полемике. С тех пор идут непрестанное углубление и эволюция этого понятия, к-рые продолжаются до наст* времени. Поэтому ни одно отдельное. формальное определение не может охватить всего содержания этого понятия, усвоить к-рое возможно, лишь проследив основные линии его развития, теснейшим образом связанного с развитием естествознания, в частности математической физики.
Главные колебания массивной системы. Представим себе какую-нибудь массивную систему (напр. железный мост), находящуюся в положении равновесия. Если эта система будет слегка выведена из него, то, стремясь возвратиться к нему, она будет совершать колебания. Колебание системы называется главным, если все точки системы одновременно прохо-
