дят через положение своего равновесия. Еще в 17 в. рассмотрение движения системы с одной степенью свободы было в существенном закончено, и в 18 в. началось изучение движений систем со многими степенями свободы. Первые шаги в этом направлении были сделаны знаменитым Иваном Бернулли (1727). Желая изучить движение звучащей струны, он мысленно помещает на горизонтальную невесомую нить, натянутую при помощи гирьки, на равных расстояниях п равных грузиков. Он дает периоды главных колебаний для случаев, когда число грузиков меньше 8, и. указывает тот важный принцип, по к-рому сила, действующая на материальную частицу при главном колебании, всегда пропорциональна расстоянию этой частицы от ее положения равновесия. Из этого принципа он тотчас же устанавливает, что отношение ~-+ г, -^Ук + уь — 1 д0ЛЖН0 бЬ1Ть независящим от к; Ук здесь ук обозначает расстояние ft-го грузика от упомянутой невесомой нити, находящейся в положении равновесия; при этом следует тотчас же указать, что амплитуда колеблющихся частиц предполагается всегда бесконечномал ой. Этот способ дал ему уравнение в конечных разностях для ук. Входящие в эти разностные уравнения постоянные определяются из алгебраического уравнения n-й степени, и каждому из его корней отвечает определенное главное колебание всей системы. Но он не мог исследовать действительность этих корней и отсутствие у них кратности.
..................
Несколько позже (1732—36) сын И. Бернулли Даниил Бернулли и его друг Эйлер занялись аналогичной задачей определения главных колебаний вертикальной невесомой нити, прикрепленной вверху, снабженной опять п грузиками и свободно раскачивающейся на ветру. Первый, замечательный экспериментатор, дал сперва опытное решение для п=2 и 3, а затем доказал верность его и теоретически.
Второй, не менее замечательный математик, трактовал общий случай и доказал, что при главном колебании стороны колеблющегося многоугольника пересекают вертикальное положение «нити в постоянных точках. Оба они затем начали исследовать и другие системы, напр. пластинку, погруженную в жидкость и раскачивающуюся там, раскачивание тяжелой палки, подвешенной за один конец, и наконец маятник.
Во всех этих задачах Бернулли и Эйлер ограничивались только главными колебаниями.
Когда сила зависела лишь от места материальной частицы, главные колебания были гармоническими, т, е. такими, в к-рых отклонение &-й частицы давалось формулой ук=fк Cos at, где fk для каждой частицы было свое собственное; длительность же колебания для всех частиц оказывалась одной и той же: Т = — . Совершенно явно Д. Бернулли формулировал в общем виде существование главных колебаний, но он не мог исследовать действительности и различия соответствующих корней вспомогательного уравнения. Крайне важным является то фундаментальное обстоятельство, что началосложения колебаний, т. е. получение произвольного движения системы из одних только главных колебаний, тогда еще ускользало от них обоих. Одни лишь теоретики музыки (Рамо, 1726) уже давно указывали, что кроме основного тона музыкального
316 инструмента имеются еще и обертоны. Важно подчеркнуть, что. сосредоточение внимания на основном колебании было основано на следующей ошибке: еще с исследований знаменитого
Тейлора (1713) среди математиков укоренилось заблуждение, от к-рого не был свободен сначала даже Д. Бернулли, будто бы всякое сложное колебание очень быстро устремляется к status uniformis, именно к основному колебанию. Физически это до известной степени верно, т. к. трение, сопротивление воздуха и т. п. заставляют энергию рассеиваться, выделяя основное слагающее. Но все дело было в том, что это заключение молчаливо переносили на математический аппарат, т. е. на решение дифференциальных уравнений, в к-рых отнюдь не содержалось этого побочного явления.
Предельный переход от дискретных систем к непрерывным. От случая конечного числа материальных частиц Д. Бернулли и Эйлер, не задумываясь, перешли к случаю непрерывных систем тем, что они просто представляли эти системы составленными из очень большого или бесконечнобольшого числа частиц. Смелость математиков 18 в. общеизвестна: никто из них кроме Вариньона, Николая Бернулли и Д’Аламбера не понимал трудностей перехода к пределу. Для них было самоочевидно, что предложение, имеющее силу для всякого конечного числа п, должно иметь смысл и силу и для п бесконечно-возрастающего. Они плохо различали между «очень большим» и «бесконечно-большим», между результатами, имеющими ограниченную точность, и результатами, точность к-рых может быть увеличиваема по произволу. Они употребляли разность вместо дифференциала, сумму вместо интеграла, не делая между ними различия. Обычно перенос заключения от конечного на бесконечное делался двояко: илив уже готовых формулах или еще в самом начале. Очень важным примером первого является работа Д.
Бернулли о качании тяжелой однородной гибкой нити, подвешенной вверху. Сначала он берет невесомую нить, отягощенную п грузиками, решает эту задачу и в ответе, полагая п бесконечно-большим, получает решение о колебаниях тяжелой гибкой нити в виде у ~ = cos f(x), где х — абсцисса точки нити, у — ее отклонение от положения равновесия и где = +
Здесь а определяется так, чтобы f(l) = О, где I — длина тяжелой нити. .
Из ранее найденного результата для случая грузиков он заключает, что уравнение f(l) = О имеет бесконечно много корней: а0, «1, а2, а3... и что корень ак соответствует такому главному колебанию, при к-ром тяжелая нить кроме точки подвеса имеет еще к неподвижных точек.
Прямоеопределениеглавных к о лебанийдифференциальнымуравн ением. Важнейшим примером перехода к пределу уже в самом начале исследования является замена системы п обыкновенных дифференциальных уравнений ^(Т=К?/4+1, 2/Л> Ш — 1)
(О
одним дифференциальным ур-ием с частными производными dt*дх> дх*г
W
