§ 5. Символическое изображение синусоидальных функций при помощи мнимой степени.
Как известно, cos6+ysin8 = e^1). @.10) Поэтому взамен выражения i~Ymcos(urf-f-<p) @.14) мы можем символически писать i=*ImeJW + v) . @.15) Выражения @.14) и @,15) отнюдь не тождественны, но второе выра- выражение соответствует первому, поскольку косинусоиде соответствует вра- вращающийся вектор, а вращающемуся вектору соответствует комплексное число. Оперируя с символическим выражением типа @.15), мы сильно упро- упрощаем все математические операции. В любой момент мы можем вновь вернуться к выражению типа @.14), но при известной привычке к символи- символическому выражению в этом может и не встретиться надобности, так как результаты зачастую могут быть непосредственно поняты из символиче- символического выражения в форме мнимой степени или в форме комплексного числа. Так как А = Дте^ @.16) соответствует, как уже сказано, вектору А, имеющему амплитуду Ат и составляющему с осью абсцисс угол 8, то при Ат= и выражение, полученное после подстановки этих величин в ур-ние @.16), т. е. . 1С Д = еД", соответствует вектору единичной длины, повернутому на угол 90°. Поэтому 1С е^г = у. Также легко сообразить, что е> —— 1, е'2* = 1.
х) Синус и косинус могут быть выражены рядами: b б3 б5 б7 б2 б1 6е Также е* может быт^ выражено рядом Если положить и подставить это в ряд, выражающий значение е*, то из ур-ний @.11), @,12) и @.13) полу- получим тождество 13
