какъ требовать оправданія существованія носа послѣ доказательства права пользоваться имъ. Ибо для математическаго познанія, поскольку оно научно, существенно доказательство, а по отношенію къ результату оказывается, что строго математическій методъ не вполнѣ доказывается успѣхомъ, который сверхъ того, есть лишь внѣшнее доказательство.
Представляется заслуживающимъ труда разсмотрѣть ближе понятіе безконечнаго и тѣ замѣчательныя попытки, которыя имѣютъ цѣлью оправдать его и устранить затрудненія, тяготѣющія на методѣ. Разсмотрѣніе этихъ оправданій и опредѣленій математическо-безконечнаго, которыя я намѣреваюсь подробнѣе изложить въ этомъ примѣчаніи, броситъ вмѣстѣ съ тѣмъ и наиболѣе яркій свѣтъ на самую природу истиннаго понятія и покажетъ, что предносится въ немъ и лежитъ въ его основѣ.
Обычное опредѣленіе математическаго безконечнаго состоитъ въ томъ, что оно есть величина, за которой — если она опредѣляется, какъ безконечнобольшая — нѣтъ большей величины или — если она опредѣляется, какъ безконечно-малая — нѣтъ меньшей величины, или которая въ первомъ случаѣ болѣе, а во второмъ — менѣе какой бы то ни было любой величины. Это опредѣленіе правда не выражаетъ собою истиннаго понятія, но содержитъ въ себѣ, какъ уже было замѣчено, то же самое противорѣчіе, которое свойственно безконечному прогрессу; но посмотримъ, что въ немъ содержится въ себѣ. Величина опредѣляется въ матетатикѣ, какъ то, что можетъ быть увеличиваемо или уменьшаемо, вообще какъ безразличная граница. Слѣдовательно, поскольку безконечно-большое или безконечно-малое таково, что оно уже не можетъ быть увеличиваемо или уменьшаемо, оно въ дѣйствительности уже не есть опредѣленное количество (Quantum).
Это есть выводъ необходимый и непосредственный. Но та рефлексія, согласно которой опредѣленное количество — а я разумѣю въ этомъ примѣчаніи подъ опредѣленнымъ количествомъ вообще то, что оно есть, конечное количество — снято, не должна имѣть мѣста и представляетъ для обычнаго пониманія затрудненіе, такъ какъ опредѣленное количество, поскольку оно безконечно, должно быть мыслимо, какъ снятое, какъ такое, которое не есть опредѣленное количество, и количественная опредѣленность котораго, однако, сохраняется.
Если обратиться къ тому, какъ обсуждаетъ это опредѣленіе Кантъ Q, то оказывается, что онъ не находитъ его согласующимся съ тѣмъ, что понимается подъ безконечнымъ цѣлымъ. "По обычному понятію такая величина безконечна, болѣе которой (т.-е. болѣе содержащагося въ ней множества данныхъ единицъ) не можетъ быть никакая другая величина; но никакое множество не можетъ быть наибольшимъ, такъ какъ къ нему всегда можно прибавить одну или болѣе единицъ. Въ представленіи же безконечнаго цѣлаго мы не представляемъ себѣ, какъ оно велико, слѣдовательно, его понятіе не
Въ примѣчаніи къ тезису первой космологической антиноміи въ Критикѣ чистаго разума.
как требовать оправдания существования носа после доказательства права пользоваться им. Ибо для математического познания, поскольку оно научно, существенно доказательство, а по отношению к результату оказывается, что строго математический метод не вполне доказывается успехом, который сверх того, есть лишь внешнее доказательство.
Представляется заслуживающим труда рассмотреть ближе понятие бесконечного и те замечательные попытки, которые имеют целью оправдать его и устранить затруднения, тяготеющие на методе. Рассмотрение этих оправданий и определений математическо-бесконечного, которые я намереваюсь подробнее изложить в этом примечании, бросит вместе с тем и наиболее яркий свет на самую природу истинного понятия и покажет, что предносится в нём и лежит в его основе.
Обычное определение математического бесконечного состоит в том, что оно есть величина, за которой — если она определяется, как бесконечнобольшая — нет большей величины или — если она определяется, как бесконечно-малая — нет меньшей величины, или которая в первом случае более, а во втором — менее какой бы то ни было любой величины. Это определение правда не выражает собою истинного понятия, но содержит в себе, как уже было замечено, то же самое противоречие, которое свойственно бесконечному прогрессу; но посмотрим, что в нём содержится в себе. Величина определяется в матетатике, как то, что может быть увеличиваемо или уменьшаемо, вообще как безразличная граница. Следовательно, поскольку бесконечно-большое или бесконечно-малое таково, что оно уже не может быть увеличиваемо или уменьшаемо, оно в действительности уже не есть определенное количество (Quantum).
Это есть вывод необходимый и непосредственный. Но та рефлексия, согласно которой определенное количество — а я разумею в этом примечании под определенным количеством вообще то, что оно есть, конечное количество — снято, не должна иметь места и представляет для обычного понимания затруднение, так как определенное количество, поскольку оно бесконечно, должно быть мыслимо, как снятое, как такое, которое не есть определенное количество, и количественная определенность которого, однако, сохраняется.
Если обратиться к тому, как обсуждает это определение Кант Q, то оказывается, что он не находит его согласующимся с тем, что понимается под бесконечным целым. "По обычному понятию такая величина бесконечна, более которой (т. е. более содержащегося в ней множества данных единиц) не может быть никакая другая величина; но никакое множество не может быть наибольшим, так как к нему всегда можно прибавить одну или более единиц. В представлении же бесконечного целого мы не представляем себе, как оно велико, следовательно, его понятие не
В примечании к тезису первой космологической антиномии в Критике чистого разума.
