простое фокусничество и шарлатанство доказательствомъ, и причисляю сюда и ньютоновы доказательства, особенно такія, какъ вышеприведенное, за которое Ньютона возвысили до небесъ и превознесли надъ Кеплеромъ, утверждая, что первый математически доказалъ то, что второй нашелъ лишь путемъ опыта.
Пустой остовъ такихъ доказательствъ воздвигнутъ для того, чтобы доказать физическіе законы. Но математика вообще не можетъ доказать количественныхъ опредѣленій физики, такъ какъ послѣднія суть законы, обоснованные на качественной природѣ моментовъ; не можетъ сдѣлать этого по той простой причинѣ, что математика не есть философія, не исходитъ отъ понятій, и что поэтому качественное, если только оно не почерпается лемма-тически изъ опыта, лежитъ внѣ сферы математики. Поставленіе достоинства математики въ томъ, что всѣ входящія въ нее положенія должны быть строго доказаны, часто побуждало забывать о ея границѣ; такимъ образомъ, казалось несогласнымъ съ ея достоинствомъ считать опытъ источникомъ и единственнымъ доказательствомъ опытныхъ предложеній; позднѣе сознаніе этой истины болѣе развилось; но прежде, чѣмъ будетъ выяснено различіе того, что математически доказуемо, и что можетъ быть взято лишь извнѣ, какъ, напримѣръ, того, что есть лишь членъ аналитическаго развитія, и что — физическое существованіе, научность не можетъ считаться достигшею строгаго и чистаго состоянія. А упомянутому остову ньютонова доказательства противорѣчить уже то право, которое признано за другимъ неосновательнымъ искусственнымъ ньютоновымъ построеніемъ изъ оптическихъ опытовъ и связанныхъ съ ними выводовъ. Прикладная математика еще полна смѣшеніемъ поровну опыта и рефлексіи; но подобно тому, какъ уже довольно давно одна за другою части этой (ньютоновой) оптики стали фактически игнорироваться наукою съ тою, однако, непослѣдовательностью, что прочія ея части, хотя и съ противорѣчіемъ тому, еще сохраняются, — также точно является фактомъ, что часть этого обманчиваго доказательства сама собою уже пришла въ забвеніе или замѣнена другими доказательствами.
Примѣчаніе 2-е. Цѣль дифференціальнаго исчисленія, выведенная изъ его приложенія.
Въ предыдущемъ примѣчаніи разсмотрѣны отчасти опредѣленность понятія безконечно-малаго, находящаго употребленіе въ дифференціальномъ исчисленіи, отчасти основанія его введенія въ это исчисленіе; то и другое суть отвлеченныя и потому легкія опредѣленія; но такъ называемое приложеніе представляетъ болѣе трудностей, равно какъ болѣе интересныхъ сторонъ; элементы этой конкретной стороны должны составить предметъ настоящаго примѣчанія. Весь методъ дифференціальнаго исчисленія сводится къ положенію dxn — nxn~l dx или иначе = Р} т.-е. равно коефиціенту пер
ваго члена двучлена х -(- d, х + і, развитаго по степенямъ dx или і. Далѣе нечему учиться новому; выводъ ближайшихъ формъ дифференціала произведенія, степени и т. д. вытекаетъ отсюда механически; въ короткое время, въ
простое фокусничество и шарлатанство доказательством, и причисляю сюда и ньютоновы доказательства, особенно такие, как вышеприведенное, за которое Ньютона возвысили до небес и превознесли над Кеплером, утверждая, что первый математически доказал то, что второй нашел лишь путем опыта.
Пустой остов таких доказательств воздвигнут для того, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, так как последние суть законы, обоснованные на качественной природе моментов; не может сделать этого по той простой причине, что математика не есть философия, не исходит от понятий, и что поэтому качественное, если только оно не почерпается лемма-тически из опыта, лежит вне сферы математики. Поставление достоинства математики в том, что все входящие в нее положения должны быть строго доказаны, часто побуждало забывать о её границе; таким образом, казалось несогласным с её достоинством считать опыт источником и единственным доказательством опытных предложений; позднее сознание этой истины более развилось; но прежде, чем будет выяснено различие того, что математически доказуемо, и что может быть взято лишь извне, как, например, того, что есть лишь член аналитического развития, и что — физическое существование, научность не может считаться достигшею строгого и чистого состояния. А упомянутому остову ньютонова доказательства противоречить уже то право, которое признано за другим неосновательным искусственным ньютоновым построением из оптических опытов и связанных с ними выводов. Прикладная математика еще полна смешением поровну опыта и рефлексии; но подобно тому, как уже довольно давно одна за другою части этой (ньютоновой) оптики стали фактически игнорироваться наукою с тою, однако, непоследовательностью, что прочие её части, хотя и с противоречием тому, еще сохраняются, — также точно является фактом, что часть этого обманчивого доказательства сама собою уже пришла в забвение или заменена другими доказательствами.
Примечание 2-е. Цель дифференциального исчисления, выведенная из его приложения.
В предыдущем примечании рассмотрены отчасти определенность понятия бесконечно-малого, находящего употребление в дифференциальном исчислении, отчасти основания его введения в это исчисление; то и другое суть отвлеченные и потому легкие определения; но так называемое приложение представляет более трудностей, равно как более интересных сторон; элементы этой конкретной стороны должны составить предмет настоящего примечания. Весь метод дифференциального исчисления сводится к положению dxn — nxn~l dx или иначе = Р} т. е. равно коефициенту пер
ваго члена двучлена х -(- d, х + і, развитого по степеням dx или і. Далее нечему учиться новому; вывод ближайших форм дифференциала произведения, степени и т. д. вытекает отсюда механически; в короткое время, в
