случаѣ уравненіе, заключаетъ въ себѣ степень, — къ функціямъ ихъ возвышенія въ степень. Это отношеніе, понимаемое совершенно отвлеченно отъ вышеназваннаго интереса суммы, выяснится, какъ тотъ исходный пунктъ, который единственно вытекаетъ изъ дѣйствительной науки и указывается дифференціальнымъ исчисленіемъ.
Нужно, однако, прибавить къ сказанному или правильнѣе удалить изъ него еще одно заключающееся въ немъ опредѣленіе. Было именно сказано, что на перемѣнную величину, въ опредѣленіе которой входитъ степень, слѣдуетъ смотрѣть внутри ея самой, какъ на сумму и притомъ какъ на систему членовъ, поскольку они суть функціи возвышенія въ степень, при чемъ также и корень долженъ разсматриваться, какъ сумма, и въ своей простой опредѣленной формѣ, какъ двучленъ; = (г/+ ^)" = (т/’++ ...). Это изображеніе развитія степени, т.-е. полученія функціи возвышенія въ степень, исходитъ отъ суммы, какъ таковой; но здѣсь дѣло идетъ не о суммѣ, какъ таковой, равно какъ не о происходящемъ изъ нея рядѣ, а отъ суммы берется только отношеніе. Отношеніе величинъ, какъ таковое, есть то, что, съ одной стороны, остается послѣ того, какъ отвлекается отъ plus нѣкоторой суммы, какъ таковой; и что, съ другой стороны, необходимо для нахожденія развитія функцій степени. Но это отношеніе опредѣляется уже тѣмъ, что здѣсь предметъ, уравненіе ут = ах", есть уже комплексъ многихъ (перемѣнныхъ) величинъ, содержащій ихъ степенное опредѣленіе. Въ этомъ комплексѣ каждый изъ этихъ членовъ положенъ просто въ отношеніи къ другимъ со значеніемъ, какъ можно выразиться, plus въ немъ самомъ, какъ функція прочихъ величинъ; свойство членовъ быть функціями одинъ другого сообщаетъ имъ это опредѣленіе plus’a, но тѣмъ самымъ чего-то совершенно неопредѣленнаго, что не есть ни приращеніе, ни инкрементъ и т. д. Но и эту совершенно отвлеченную точку зрѣнія мы можемъ оставить въ сторонѣ; можно просто остановиться на томъ, что поскольку перемѣнныя величины даны въ уравненіи, какъ функціи одна другой, такъ что эта опредѣленность содержитъ въ себѣ отношеніе степеней, то и функціи возвышенія въ степень каждой изъ нихъ сравниваются между собою, при чемъ вторыя функціи опредѣляются только черезъ самое возвышеніе въ степень. Первоначально можно считать лишь произвольнымъ или возможнымъ сведеніе степенного уравненія перемѣнныхъ величинъ къ отношенію функціи его развитія; лишь дальнѣйшая цѣль, польза, употребленіе указываютъ на пригодность такого преобразованія; оно обусловливается исключительно своею полезностью. Если ранѣе исходили отъ изображенія этихъ степенныхъ опредѣленій нѣкоторой величины, принимаемой за порозненную внутри себя сумму, то это служило отчасти лишь для указанія того, какого вида эти функціи, отчасти способа ихъ нахожденія.
Мы подошли, такимъ образомъ, къ обычному аналитическому развитію, понимаемому для цѣли дифференціальнаго исчисленія такъ, что перемѣнной величинѣ дается приращеніе dx, і, и затѣмъ степень двучлена развертывается въ соотвѣтствующій ей рядъ. Но такъ называемое приращеніе должно быть не опредѣленнымъ количествомъ, а лишь формою, все значеніе которой состоитъ
случае уравнение, заключает в себе степень, — к функциям их возвышения в степень. Это отношение, понимаемое совершенно отвлеченно от вышеназванного интереса суммы, выяснится, как тот исходный пункт, который единственно вытекает из действительной науки и указывается дифференциальным исчислением.
Нужно, однако, прибавить к сказанному или правильнее удалить из него еще одно заключающееся в нём определение. Было именно сказано, что на переменную величину, в определение которой входит степень, следует смотреть внутри её самой, как на сумму и притом как на систему членов, поскольку они суть функции возвышения в степень, при чём также и корень должен рассматриваться, как сумма, и в своей простой определенной форме, как двучлен; = (г/+ ^)" = (т/’++ ...). Это изображение развития степени, т. е. получения функции возвышения в степень, исходит от суммы, как таковой; но здесь дело идет не о сумме, как таковой, равно как не о происходящем из неё ряде, а от суммы берется только отношение. Отношение величин, как таковое, есть то, что, с одной стороны, остается после того, как отвлекается от plus некоторой суммы, как таковой; и что, с другой стороны, необходимо для нахождения развития функций степени. Но это отношение определяется уже тем, что здесь предмет, уравнение ут = ах", есть уже комплекс многих (переменных) величин, содержащий их степенное определение. В этом комплексе каждый из этих членов положен просто в отношении к другим со значением, как можно выразиться, plus в нём самом, как функция прочих величин; свойство членов быть функциями один другого сообщает им это определение plus’a, но тем самым чего-то совершенно неопределенного, что не есть ни приращение, ни инкремент и т. д. Но и эту совершенно отвлеченную точку зрения мы можем оставить в стороне; можно просто остановиться на том, что поскольку переменные величины даны в уравнении, как функции одна другой, так что эта определенность содержит в себе отношение степеней, то и функции возвышения в степень каждой из них сравниваются между собою, при чём вторые функции определяются только через самое возвышение в степень. Первоначально можно считать лишь произвольным или возможным сведение степенного уравнения переменных величин к отношению функции его развития; лишь дальнейшая цель, польза, употребление указывают на пригодность такого преобразования; оно обусловливается исключительно своею полезностью. Если ранее исходили от изображения этих степенных определений некоторой величины, принимаемой за порозненную внутри себя сумму, то это служило отчасти лишь для указания того, какого вида эти функции, отчасти способа их нахождения.
Мы подошли, таким образом, к обычному аналитическому развитию, понимаемому для цели дифференциального исчисления так, что переменной величине дается приращение dx, і, и затем степень двучлена развертывается в соответствующий ей ряд. Но так называемое приращение должно быть не определенным количеством, а лишь формою, всё значение которой состоит
