опредѣленіямъ, отъ прямолинейныхъ къ криволинейнымъ и т. д. Далѣе это приложеніе приводитъ къ тому, что пространственные предметы, данные по ихъ природѣ въ формѣ непрерывныхъ величинъ, понимаются дискретно, — плоскость, какъ множество линій, линія, какъ множество точекъ и т. д. Единственный интересъ такого разложенія состоитъ въ опредѣленіи самыхъ точекъ, на которыя разлагается линія, линій, на которыя разлагается плоскость и т. д., дабы отъ такого опредѣленія подвигаться далѣе аналитически, т.-е. собственно ариѳметически; эти исходные пункты суть элементы искомыхъ опредѣленій величины, изъ которыхъ (элементовъ) должны быть выведены функція и уравненіе для конкретнаго, для непрерывной величины. Для рѣшенія задачъ, въ коихъ по преимуществу обнаруживается интересъ къ употребленію этого пріема, требуется въ качествѣ исходнаго элемента нѣчто опредѣленное для себя самого въ противоположность непрямому ходу рѣшенія, поскольку послѣдній можетъ начинать лишь съ предѣловъ, между которыми лежитъ то опредѣленное для себя, которое служитъ ему цѣлью. Результаты обоихъ методовъ совпадаютъ, если только можетъ быть найденъ законъ дальнѣйшаго процесса опредѣленія при отсутствіи возможности достигнуть полнаго, т.-е. т. наз. конечнаго опредѣленія. Кеплеру приписывается честь впервые придти къ мысли такого обратнаго пріема и принятія дискретнаго за исходный пунктъ. Объясненіе того, какъ онъ понимаетъ первое предложеніе архимедова измѣренія круга, выражаетъ это очень просто. Первое предложеніе Архимеда состоитъ, какъ извѣстно, въ томъ, что кругъ равенъ прямоугольному треугольнику, одинъ катетъ котораго есть радіусъ, а другой равенъ длинѣ окружности. Находя смыслъ этого предложенія въ томъ, что окружность круга содержитъ столько же частей, какъ точекъ, т.-е. безконечно-много, изъ коихъ каждая можетъ считаться основаніемъ ровнобедреннаго треугольника и т. д., Кеплеръ выражаетъ тѣмъ самымъ разложеніе непрерывнаго въ форму дискретнаго. Встрѣчающееся здѣсь выраженіе безконечное еще очень далеко отъ того опредѣленія, какое дается ему въ дифференціальномъ исчисленіи. Если для такихъ дискретныхъ частей найдена опредѣленность, функція, то онѣ должны быть далѣе соединены, служить элементами непрерывнаго. Но такъ какъ никакая сумма точекъ не образуетъ линію, никакая сумма линій не образуетъ плоскости, то точки уже изначала принимаются за линейныя, а линіи — за плоскостныя. Умноженіе линій на линіи представляется сначала чѣмъ-то безсмысленнымъ, т. к. умноженіе вообще производится надъ числами, т.-е. есть такое ихъ измѣненіе, при которомъ то, во что они переходятъ, совершенно однородно съ произведеніемъ, есть измѣненіе только величины. Напротивъ то, что называется умноженіемъ линіи, какъ таковой, на линію — т.-е. ductus liniae in liniam или plani in planum, которое есть также ductus puncti in lineam — есть измѣненіе не только величины, но послѣдней, какъ качественнаго опредѣленія пространства, какъ измѣренія; переходъ линіи въ плоскость долженъ быть понимаемъ, какъ выходъ изъ себя, поскольку выходъ изъ себя точки есть линія, плоскости — полное пространство. То же самое получается, когда пред
определениям, от прямолинейных к криволинейным и т. д. Далее это приложение приводит к тому, что пространственные предметы, данные по их природе в форме непрерывных величин, понимаются дискретно, — плоскость, как множество линий, линия, как множество точек и т. д. Единственный интерес такого разложения состоит в определении самых точек, на которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость и т. д., дабы от такого определения подвигаться далее аналитически, т. е. собственно арифметически; эти исходные пункты суть элементы искомых определений величины, из которых (элементов) должны быть выведены функция и уравнение для конкретного, для непрерывной величины. Для решения задач, в коих по преимуществу обнаруживается интерес к употреблению этого приема, требуется в качестве исходного элемента нечто определенное для себя самого в противоположность непрямому ходу решения, поскольку последний может начинать лишь с пределов, между которыми лежит то определенное для себя, которое служит ему целью. Результаты обоих методов совпадают, если только может быть найден закон дальнейшего процесса определения при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. т. наз. конечного определения. Кеплеру приписывается честь впервые придти к мысли такого обратного приема и принятия дискретного за исходный пункт. Объяснение того, как он понимает первое предложение архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первое предложение Архимеда состоит, как известно, в том, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого есть радиус, а другой равен длине окружности. Находя смысл этого предложения в том, что окружность круга содержит столько же частей, как точек, т. е. бесконечно-много, из коих каждая может считаться основанием ровнобедренного треугольника и т. д., Кеплер выражает тем самым разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающееся здесь выражение бесконечное еще очень далеко от того определения, какое дается ему в дифференциальном исчислении. Если для таких дискретных частей найдена определенность, функция, то они должны быть далее соединены, служить элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линию, никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже изначала принимаются за линейные, а линии — за плоскостные. Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, т. к. умножение вообще производится над числами, т. е. есть такое их изменение, при котором то, во что они переходят, совершенно однородно с произведением, есть изменение только величины. Напротив то, что называется умножением линии, как таковой, на линию — т. е. ductus liniae in liniam или plani in planum, которое есть также ductus puncti in lineam — есть изменение не только величины, но последней, как качественного определения пространства, как измерения; переход линии в плоскость должен быть понимаем, как выход из себя, поскольку выход из себя точки есть линия, плоскости — полное пространство. То же самое получается, когда пред
