ставляютъ себѣ, что движеніе точки образуетъ линію и т. д.; но движеніе подразумѣваетъ опредѣленіе времени и потому является въ этомъ представленіи лишь болѣе случайнымъ, внѣшнимъ измѣненіемъ состоянія; между тѣмъ подъ выходомъ изъ себя должно понимать опредѣленность понятія, качественное измѣненіе — выражаясь ариѳметически, умноженіе — единицы (какъ точки и т. п.) въ опредѣленное число (линію и т. п.). При этомъ слѣдуетъ еще замѣтить, что при выходѣ изъ себя площади, который является какъ бы умноженіемъ площади на площадь, оказывается, повидимому, различіе между ариѳметическимъ и геометрическимъ произведеніемъ, такъ какъ выходъ изъ себя площади, какъ ductus plani in planum, ариѳметически даетъ умноженіе второго измѣренія на второе, т.-е. произведеніе четырехъ измѣреній, геометрически понижаемое, однако, до трехъ. Насколько число съ одной стороны, такъ какъ оно имѣетъ своимъ принципомъ единицу, даетъ прочное опредѣленіе внѣшнему количественному, настолько же произведеніе его формально; какъ числовое опредѣленіе, 3. 3, умноженное само на себя, есть 3. 3. 3. 3; но та же величина, умноженная на себя, какъ опредѣленіе площади, удерживается на 3. 3. 3, такъ какъ пространство, представляемое, какъ выходъ за себя точки, отвлеченнаго предѣла, имѣетъ свой истинный предѣлъ, какъ конкретную опредѣленность линіи, въ третьемъ измѣреніи. Это различіе могло бы оказаться дѣйствительнымъ въ свободномъ движеніи, въ которомъ одна, пространственная сторона опредѣляется геометрически, а другая, временная ариѳметически (въ кеплеровомъ законѣ s3: t2).
Въ чемъ состоитъ различіе разсматриваемаго здѣсь качественнаго отъ предмета предыдущаго примѣчанія, ясно само собою и безъ дальнѣйшаго объясненія. Въ послѣднемъ качественное заключалось въ степенной опредѣленности; здѣсь же оно, какъ безконечно-малое, есть лишь множитель относительно произведенія, точка относительно линіи, линія относительно плоскости и т. д. Качественный же переходъ отъ дискретнаго, на которое представляется разложеннымъ непрерывное, къ непрерывному, осуществляется, какъ суммированіе.
Но что кажущееся простое суммированіе въ дѣйствительности содержитъ въ себѣ умноженіе, т.-е. переходъ отъ линейнаго къ плоскостному опредѣленію, это обнаруживается всего проще въ томъ способѣ, какимъ, напр., доказывается, что площадь трапеціи равна произведенію суммы ея параллельныхъ сторонъ на половину высоты. Эта высота представляется, лишь какъ опредѣленное число множества дискретныхъ величинъ, которыя должны быть суммированы. Эти величины суть линіи, лежащія параллельно между тѣми двумя ограничивающими параллельными линіями; ихъ безконечно много, такъ какъ онѣ должны заполнять площадь, но онѣ суть линіи и потому, чтобы быть чѣмъ-либо плоскостнымъ, онѣ должны быть положены съ отрицаніемъ. Для того, чтобы избѣгнуть затрудненія, состоящаго въ томъ, что сумма линій должна составить площадь, линіи принимаются также за площади, но за безконечно-тонкія, такъ какъ онѣ имѣютъ свое опредѣленіе исключительно въ линейномъ параллельныхъ сторонъ трапеціи. Какъ параллельныя и ограниченныя другою парою прямолинейныхъ сторонъ трапеціи, онѣ могутъ
ставляют себе, что движение точки образует линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и потому является в этом представлении лишь более случайным, внешним изменением состояния; между тем под выходом из себя должно понимать определенность понятия, качественное изменение — выражаясь арифметически, умножение — единицы (как точки и т. п.) в определенное число (линию и т. п.). При этом следует еще заметить, что при выходе из себя площади, который является как бы умножением площади на площадь, оказывается, по-видимому, различие между арифметическим и геометрическим произведением, так как выход из себя площади, как ductus plani in planum, арифметически дает умножение второго измерения на второе, т. е. произведение четырех измерений, геометрически понижаемое, однако, до трех. Насколько число с одной стороны, так как оно имеет своим принципом единицу, дает прочное определение внешнему количественному, настолько же произведение его формально; как числовое определение, 3. 3, умноженное само на себя, есть 3. 3. 3. 3; но та же величина, умноженная на себя, как определение площади, удерживается на 3. 3. 3, так как пространство, представляемое, как выход за себя точки, отвлеченного предела, имеет свой истинный предел, как конкретную определенность линии, в третьем измерении. Это различие могло бы оказаться действительным в свободном движении, в котором одна, пространственная сторона определяется геометрически, а другая, временная арифметически (в кеплеровом законе s3: t2).
В чём состоит различие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, ясно само собою и без дальнейшего объяснения. В последнем качественное заключалось в степенной определенности; здесь же оно, как бесконечно-малое, есть лишь множитель относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Качественный же переход от дискретного, на которое представляется разложенным непрерывное, к непрерывному, осуществляется, как суммирование.
Но что кажущееся простое суммирование в действительности содержит в себе умножение, т. е. переход от линейного к плоскостному определению, это обнаруживается всего проще в том способе, каким, напр., доказывается, что площадь трапеции равна произведению суммы её параллельных сторон на половину высоты. Эта высота представляется, лишь как определенное число множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими параллельными линиями; их бесконечно много, так как они должны заполнять площадь, но они суть линии и потому, чтобы быть чем-либо плоскостным, они должны быть положены с отрицанием. Для того, чтобы избегнуть затруднения, состоящего в том, что сумма линий должна составить площадь, линии принимаются также за площади, но за бесконечно-тонкие, так как они имеют свое определение исключительно в линейном параллельных сторон трапеции. Как параллельные и ограниченные другою парою прямолинейных сторон трапеции, они могут
