считаться членами ариѳметической прогрессіи, показатель которой остается равнымъ, но не нуждается въ опредѣленіи, а первый и послѣдній члены которой суть обѣ параллельныя стороны; сумма такого ряда равна, какъ извѣстно, произведенію этихъ параллельныхъ на половину числа членовъ. Это послѣднее количество называется числомъ лишь по сравненію съ безконечно-многими линіями; оно есть вообще опредѣленность непрерывной величины — высоты. Ясно, что то, что называется суммою, есть вмѣстѣ съ тѣмъ ductus lineae in lineam, умноженіе линіи на линіи, чтб по вышеприведенному опредѣленію предполагаетъ ихъ плоскостный характеръ. Въ простѣйшемъ случаѣ прямоугольника каждый изъ множителей ab есть простая величина, но уже въ дальнѣйшемъ также еще элементарномъ примѣрѣ трапеціи лишь одинъ изъ множителей есть простая величина половины высоты, другая же опредѣляется черезъ прогрессію; онъ также есть линейное, но опредѣленность его величины важнѣе; поскольку она можетъ быть изображена лишь посредствомъ ряда, то ея аналитическій, т.-е. ариѳметическій интересъ состоитъ въ ея суммированіи; но геометрическій моментъ послѣдняго есть умноженіе, качественный переходъ отъ линейнаго къ плоскостному измѣренію; одинъ изъ множителей принимается за дискретный въ связи съ ариѳметическимъ опредѣленіемъ другого, и, какъ послѣдній, есть для себя линейная величина.
Пріемъ, состоящій въ томъ, чтобы представлять площади, какъ суммы линій, употребляется, однако, часто и тогда, когда для достиженія результата не примѣняется умноженіе, какъ таковое. Такъ поступаютъ въ тѣхъ случаяхъ, когда является надобность найти величину, какъ опредѣленное количество не изъ уравненія, а изъ пропорціи. Напримѣръ, что площадь круга относится къ площади эллипса, большая ось котораго равна діаметру этого круга, какъ большая ось къ малой, доказывается, какъ извѣстно, такъ, что каждая изъ этихъ площадей принимается за сумму принадлежащихъ ей ординатъ; каждая ордината эллипса относится къ соотвѣтствующей ординатѣ круга, какъ малая ось къ большой, изъ чего заключаютъ, что также относятся между собою и суммы ординатъ, т.-е. площади. Если желаютъ при этомъ избѣгнуть представленія площади, какъ суммы линій, то прибѣгаютъ къ обычному совершенно излишнему вспомогательному средству — къ трапеціямъ безконечно-малой ширины; такъ какъ уравненіе есть лишь пропорція, то при этомъ установляется сравненіе лишь одного изъ двухъ линейныхъ элементовъ площади. Другой, ось абсциссъ, принимается въ кругѣ и эллипса за равный, слѣд, какъ множитель ариѳметическаго опредѣленія величины за = 1, и поэтому пропорція оказывается зависящей всецѣло отъ отношенія лишь одного опредѣляющаго момента.
Для представленія площади требуются два измѣренія; но опредѣленіе величины, даваемое въ этой пропорціи, касается исключительно одного момента; поэтому та прибавка или поправка, что представленіе суммы связывается лишь съ этимъ однимъ моментомъ, есть собственно игнорированіе того, чтб здѣсь требуется для математической опредѣленности.
То, что здѣсь сказано, служитъ также критеріемъ для вышеупомянутаго
считаться членами арифметической прогрессии, показатель которой остается равным, но не нуждается в определении, а первый и последний члены которой суть обе параллельные стороны; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных на половину числа членов. Это последнее количество называется числом лишь по сравнению с бесконечно-многими линиями; оно есть вообще определенность непрерывной величины — высоты. Ясно, что то, что называется суммою, есть вместе с тем ductus lineae in lineam, умножение линии на линии, чтб по вышеприведенному определению предполагает их плоскостный характер. В простейшем случае прямоугольника каждый из множителей ab есть простая величина, но уже в дальнейшем также еще элементарном примере трапеции лишь один из множителей есть простая величина половины высоты, другая же определяется через прогрессию; он также есть линейное, но определенность его величины важнее; поскольку она может быть изображена лишь посредством ряда, то её аналитический, т. е. арифметический интерес состоит в её суммировании; но геометрический момент последнего есть умножение, качественный переход от линейного к плоскостному измерению; один из множителей принимается за дискретный в связи с арифметическим определением другого, и, как последний, есть для себя линейная величина.
Прием, состоящий в том, чтобы представлять площади, как суммы линий, употребляется, однако, часто и тогда, когда для достижения результата не применяется умножение, как таковое. Так поступают в тех случаях, когда является надобность найти величину, как определенное количество не из уравнения, а из пропорции. Например, что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга, как малая ось к большой, из чего заключают, что также относятся между собою и суммы ординат, т. е. площади. Если желают при этом избегнуть представления площади, как суммы линий, то прибегают к обычному совершенно излишнему вспомогательному средству — к трапециям бесконечно-малой ширины; так как уравнение есть лишь пропорция, то при этом установляется сравнение лишь одного из двух линейных элементов площади. Другой, ось абсцисс, принимается в круге и эллипса за равный, след, как множитель арифметического определения величины за = 1, и поэтому пропорция оказывается зависящей всецело от отношения лишь одного определяющего момента.
Для представления площади требуются два измерения; но определение величины, даваемое в этой пропорции, касается исключительно одного момента; поэтому та прибавка или поправка, что представление суммы связывается лишь с этим одним моментом, есть собственно игнорирование того, чтб здесь требуется для математической определенности.
То, что здесь сказано, служит также критерием для вышеупомянутого
