метода недѣлимыхъ Кавальери, находящаго тутъ свое оправданіе и не требующаго помощи безконечно-малаго. Эти недѣлимыя при разсмотрѣніи площадей суть линіи, при разсмотрѣніи пирамиды или конуса и т. д. квадраты, площади круговъ; принимаемую за опредѣленную основную линію или площадь онъ называетъ правиломъ; это постоянная величина и въ ряду есть первый или послѣдній членъ; сказанныя недѣлимыя параллельны ей, слѣдовательно по отношенію къ фигурѣ опредѣляются одинаково.
Общее основоположеніе Кавальери состоитъ въ томъ (Exerc. geo-metr. VI — позднѣйшее сочиненіе Exerc. I, стр. 6), что всѣ какъ плоскія, такъ и тѣлесныя фигуры находятся въ отношеніи къ этимъ недѣлимымъ, что онѣ могутъ быть сравниваемы между собою коллективно, а если въ нихъ есть какое-либо общее отношеніе, то и дистрибутивно. Для этой цѣли онъ въ фигурахъ, имѣющихъ равныя основаніе и высоту, сравниваетъ отношенія между линіями, проведенными параллельно имъ и на равномъ разстояніи отъ нихъ; всѣ такія опредѣленія нѣкоторой фигуры имѣютъ одинаковое опредѣленіе и образуютъ собою вееь ея объемъ. Такимъ путемъ Кавальери доказываетъ, напримѣръ, и ту элементарную теорему, что при равныхъ высотахъ площади параллелограммовъ относятся, какъ ихъ основанія; каждыя двѣ линіи, одинаково отстоящія отъ основанія и параллельныя ему, проведенныя въ обѣихъ фигурахъ, относятся къ основаніямъ также, какъ цѣлыя фигуры. Въ дѣйствительности линіи не составляютъ объема фигуры, понимаемой какъ непрерывная, но суть этотъ объемъ, поскольку онъ опредѣляется ариѳметически; линейное есть его элементъ, посредствомъ котораго единственно постигается его опредѣленность.
Мы пришли теперь къ рефлексіи надъ различеніемъ, имѣющемъ мѣсто относительно того, въ чемъ состоитъ опредѣленность какой-либо фигуры, именно поскольку эта опредѣленность имѣетъ или такой характеръ, какъ въ данномъ случаѣ высота фигуры, или характеръ ея внѣшней границы. Если она есть внѣшняя граница, то допускается, что непрерывность фигуры, такъ сказать, слѣдуетъ за равенствомъ или отношеніемъ границы; напр., равенство совпадающихъ фигуръ основывается на совпаденіи ограничивающихъ ихъ линій. Но у параллелограммовъ съ одинаковыми высотою и основаніемъ лишь послѣдняя опредѣленность есть внѣшняя граница; высота же, непараллельность вообще, на которой основывается второе главное опредѣленіе фигуръ, ихъ отношеніе, присоединяетъ къ внѣшней границѣ второй принципъ опредѣленія. Эвклидово доказательство равенства параллелограммовъ, имѣющихъ одинаковыя высоту и основаніе, приводитъ ихъ къ треугольникамъ, къ внѣшне ограниченному непрерывному; въ доказательствъ же Кавальери, и прежде всего въ доказательствѣ пропорціональности параллелограммовъ, граница есть опредѣленность величины, какъ таковая вообще, которая обнаруживается въ каждой парѣ линій, проведенныхъ въ обѣихъ фигурахъ на одинаковомъ разстояніи. Равныя или состоящія въ равномъ отношеніи съ основаніемъ линіи, взятыя коллективно, даютъ состоящія въ равномъ отношеніи фигуры. Представленіе аггр.егата линій противорѣчитъ не
метода неделимых Кавальери, находящего тут свое оправдание и не требующего помощи бесконечно-малого. Эти неделимые при рассмотрении площадей суть линии, при рассмотрении пирамиды или конуса и т. д. квадраты, площади кругов; принимаемую за определенную основную линию или площадь он называет правилом; это постоянная величина и в ряду есть первый или последний член; сказанные неделимые параллельны ей, следовательно по отношению к фигуре определяются одинаково.
Общее основоположение Кавальери состоит в том (Exerc. geo-metr. VI — позднейшее сочинение Exerc. I, стр. 6), что все как плоские, так и телесные фигуры находятся в отношении к этим неделимым, что они могут быть сравниваемы между собою коллективно, а если в них есть какое-либо общее отношение, то и дистрибутивно. Для этой цели он в фигурах, имеющих равные основание и высоту, сравнивает отношения между линиями, проведенными параллельно им и на равном расстоянии от них; все такие определения некоторой фигуры имеют одинаковое определение и образуют собою вееь её объем. Таким путем Кавальери доказывает, например, и ту элементарную теорему, что при равных высотах площади параллелограммов относятся, как их основания; каждые две линии, одинаково отстоящие от основания и параллельные ему, проведенные в обеих фигурах, относятся к основаниям также, как целые фигуры. В действительности линии не составляют объема фигуры, понимаемой как непрерывная, но суть этот объем, поскольку он определяется арифметически; линейное есть его элемент, посредством которого единственно постигается его определенность.
Мы пришли теперь к рефлексии над различением, имеющем место относительно того, в чём состоит определенность какой-либо фигуры, именно поскольку эта определенность имеет или такой характер, как в данном случае высота фигуры, или характер её внешней границы. Если она есть внешняя граница, то допускается, что непрерывность фигуры, так сказать, следует за равенством или отношением границы; напр., равенство совпадающих фигур основывается на совпадении ограничивающих их линий. Но у параллелограммов с одинаковыми высотою и основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница; высота же, непараллельность вообще, на которой основывается второе главное определение фигур, их отношение, присоединяет к внешней границе второй принцип определения. Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковые высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченному непрерывному; в доказательств же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограммов, граница есть определенность величины, как таковая вообще, которая обнаруживается в каждой паре линий, проведенных в обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Равные или состоящие в равном отношении с основанием линии, взятые коллективно, дают состоящие в равном отношении фигуры. Представление аггр.егата линий противоречит не
