прерывности фигуры; но разсмотрѣніе линій вполнѣ исчерпываетъ ту опредѣленность, о которой идетъ рѣчь. Кавальери часто отвѣчаетъ на то возраженіе, что представленіе недѣлимыхъ еще не приводитъ въ тому, чтобы можно было сравнивать между собою безконечныя по числу линіи или плоскости (G-eom. lib. II prop. 1 Schol.): онъ правильно указываетъ на то различіе, что онъ сравниваетъ не ихъ число, котораго мы не знаемъ — т.-е. которое правильнѣе, какъ было замѣчено, есть пустое вспомогательное представленіе, — но лишь величину, т.-е. количественную опредѣленность, какъ таковую, которая равна занимаемому этими линіями пространству; такъ какъ оно заключено въ границы, то и эта величина заключена въ тѣ же границы; непрерывное есть не что иное, какъ само недѣлимое, говоритъ онъ; если бы первое было внѣ послѣдняго, то оно было бы несравнимо; но было бы нелѣпо сказать, что ограниченныя непрерывныя несравнимы между собою.
Какъ видно, Кавальери желаетъ отличать то, что принадлежитъ къ внѣшнему существованію непрерывнаго, отъ того, въ чемъ состоитъ его опредѣленность, и что возвышается надъ послѣднимъ лишь для сравненія и для цѣли теоремы. Правда, тѣ категоріи, которыми онъ при этомъ пользуется, говоря, что непрерывное сложено или состоитъ изъ недѣлимыхъ и т. п., недостаточны, такъ какъ при этомъ вмѣстѣ съ тѣмъ принимается въ соображеніе представленіе непрерывнаго или, какъ сказано выше, его внѣшнее существованіе; вмѣсто того, чтобы сказать, что "непрерывное есть не что иное, какъ само недѣлимое“, было бы правильнѣе и тѣмъ самымъ само для себя ясно сказать, что опредѣленность величины непрерывнаго такова же, какъ и ■самого недѣлимаго. Кавальери не увлекается ложнымъ выводомъ, будто безконечное можетъ быть болѣе или менѣе, выводомъ, дѣлаемымъ школою изъ того представленія, что недѣлимыя составляютъ непрерывное, и выражаетъ далѣе (Geom. lib. VII praef.) болѣе опредѣленное сознаніе того, что его способъ доказательства нисколько не принуждаетъ представлять себѣ непрерывное сложенныхъ изъ недѣлимыхъ; непрерывныя величины лишь пропорціональны недѣлимымъ. Онъ беретъ аггрегаты недѣлимыхъ не такъ, чтобы они подпадали опредѣленію безконечности, не ради полученія безконечнаго множества линій или плоскостей, но поскольку имъ въ нихъ самихъ принадлежитъ опредѣленное свойство и природа ограниченности. Но чтобы удалить и эту видимость затрудненія, онъ не уклоняется отъ труда еще и въ нарочно прибавленной того для седьмой книгѣ доказать главныя положенія своей геометріи такимъ способомъ, который остается свободнымъ отъ примѣси безконечности. Этотъ способъ сводитъ доказательства къ вышеупомянутой обычной формѣ наложенія фигуръ одной на другую, т.-е., какъ было замѣчено, къ представленію опредѣленности, какъ внѣшней пространственной границы.
Относительно этой формы наложенія можно ближайшимъ образомъ сдѣлать еще то замѣчаніе, что она есть вообще, такъ сказать, дѣтское вспомогательное средство чувственнаго воззрѣнія. Въ элементарныхъ теоремахъ о треугольникахъ представляютъ ихъ два рядомъ, и поскольку въ каждомъ изъ нихъ изъ шести частей извѣстныя три принимаются равными соотвѣтствую
прерывности фигуры; но рассмотрение линий вполне исчерпывает ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, что представление неделимых еще не приводит в тому, чтобы можно было сравнивать между собою бесконечные по числу линии или плоскости (G-eom. lib. II prop. 1 Schol.): он правильно указывает на то различие, что он сравнивает не их число, которого мы не знаем — т. е. которое правильнее, как было замечено, есть пустое вспомогательное представление, — но лишь величину, т. е. количественную определенность, как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как оно заключено в границы, то и эта величина заключена в те же границы; непрерывное есть не что иное, как само неделимое, говорит он; если бы первое было вне последнего, то оно было бы несравнимо; но было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собою.
Как видно, Кавальери желает отличать то, что принадлежит к внешнему существованию непрерывного, от того, в чём состоит его определенность, и что возвышается над последним лишь для сравнения и для цели теоремы. Правда, те категории, которыми он при этом пользуется, говоря, что непрерывное сложено или состоит из неделимых и т. п., недостаточны, так как при этом вместе с тем принимается в соображение представление непрерывного или, как сказано выше, его внешнее существование; вместо того, чтобы сказать, что "непрерывное есть не что иное, как само неделимое“, было бы правильнее и тем самым само для себя ясно сказать, что определенность величины непрерывного такова же, как и ■самого неделимого. Кавальери не увлекается ложным выводом, будто бесконечное может быть более или менее, выводом, делаемым школою из того представления, что неделимые составляют непрерывное, и выражает далее (Geom. lib. VII praef.) более определенное сознание того, что его способ доказательства нисколько не принуждает представлять себе непрерывное сложенных из неделимых; непрерывные величины лишь пропорциональны неделимым. Он берет аггрегаты неделимых не так, чтобы они подпадали определению бесконечности, не ради получения бесконечного множества линий или плоскостей, но поскольку им в них самих принадлежит определенное свойство и природа ограниченности. Но чтобы удалить и эту видимость затруднения, он не уклоняется от труда еще и в нарочно прибавленной того для седьмой книге доказать главные положения своей геометрии таким способом, который остается свободным от примеси бесконечности. Этот способ сводит доказательства к вышеупомянутой обычной форме наложения фигур одной на другую, т. е., как было замечено, к представлению определенности, как внешней пространственной границы.
Относительно этой формы наложения можно ближайшим образом сделать еще то замечание, что она есть вообще, так сказать, детское вспомогательное средство чувственного воззрения. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два рядом, и поскольку в каждом из них из шести частей известные три принимаются равными соответствую
