Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/15

Означимъ чрезъ $m$ и $n=m+1$, два цѣлыхъ числа, изъ коихъ одно непосредственно болѣе, а другое непосредственно менѣе ${\frac {1}{\alpha }}$, въ такомъ случаѣ будемъ имѣть$1+\alpha ={\frac {1}{1+\beta }}$

$${\frac {1}{\alpha }}=m+\mu =n-\nu ,$$

гдѣ $\mu$ и $\nu$ суть числа заключающiеся между нулемъ и единицею. Очевидно, что выраженiе ${\textstyle (1+a)^{\frac {1}{a}}}$ будетъ заключаться между двумя слѣдующими:$(1+{\frac {1}{m}})^{\frac {1}{\alpha }}=[(1+{\frac {1}{m}})^{m}]^{1+{\frac {\mu }{m}}},(1+{\frac {1}{n}})^{\frac {1}{\alpha }}=[(1+{\frac {1}{n}})^{n}]^{1+{\frac {\nu }{n}}};$и, какъ для величинъ $a$уменьшающихся до безконечности, или, что все равно, для величинъ $m$ и $n$ безконечно возрастающихъ, количества $(1+{\frac {1}{m}})^{\frac {1}{\alpha }},(1+{\frac {1}{n}})^{\frac {1}{\alpha }}$, одно и другое стремятся къ предѣлу e, между тѣмъ какъ $1+{\frac {\mu }{m}},1+{\frac {\nu }{n}}$, безпрестанно приближаются къ единицѣ, то изъ сего слѣдуетъ, что каждое изъ выраженiй

$$(1+{\frac {1}{m}})^{\frac {1}{\alpha }},(1+{\frac {1}{n}})^{\frac {1}{\alpha }},$$

а также и промежуточное выраженiе $(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}$ будетъ стремиться къ предѣлу e.

Предположимъ наконецъ, что $a$ сдѣлается количествомъ отрицательнымъ. Въ такомъ предположенiи, пусть будетъ

$$1+\alpha ={\frac {1}{1+\beta }},$$

гдѣ $\beta$ означаетъ количество положительное, и которое само будетъ стремиться къ нулю; найдемъ

$$(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}=(1+\beta )^{\frac {1+\alpha }{\alpha }}=[(1+\beta )^{\frac {1}{\alpha }}]^{1+\alpha },$$