Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/20

Ежели функція $f(x)$ измѣняется съ величиною $x$ таким образомъ, что для каждаго значенія сей измѣняемой величины, заключающейся въ данныхъ предѣлахъ, она имѣетъ одну^[1] совершенно опредѣленную величину, тогда разность

$$f(x+i)-f(x)$$

между предѣлами величины $x$ будетъ количество бесконечно-малое; функція же $f(x)$ удовлетворяющая сему условію, называется между тѣми предѣлами непрерывною функціею измѣняемой $x$.

Равнымъ образомъ, функція $f(x)$ будетъ непрерывною въ сопредѣльности какой либо частной величины количества $x$, когда сія функція есть непрерывная между двумя предѣлами, заключающими предѣидущую частную величину $x$, хотя бы сіи предѣлы разнствовали весьма мало отъ оной величины.

Наконецъ, когда функція перестаетъ быть непрерывною въ сопредѣльности какой-бы то ни было частной величины $x$, то въ такомъ случаѣ она принимаетъ названіе прерывной функціи, ибо тогда для оной частной величины $x$ имѣется разрывъ непрерывности (solution de continuité). Tакъ, на примѣръ, для функціи ${\frac {1}{x}}$ разрывъ непрерывности имѣетъ мѣсто когда $x=0$; для функціи ${\text{tang}}x$, сей разрывъ существуетъ для $x=\pm {\frac {(2k+1)\pi }{2}}$, гдѣ $k$ есть какое нибудь цѣлое число, и проч.

Изъ сихъ изъясненій легко можно узнать, между какими предѣлами данная функція перемѣнной $x$ будетъ непрерывною. (Подробнѣе о семъ изложено во II главѣ I части du Cours d'Analyse изданнаго въ 1821 году.)

1. Случается иногда что функція $f(x)$ для данной, совершенно опредѣленной величины $x$ можетъ имѣть нѣсколько различныхъ величинъ; такова есть функція ${\frac {1}{x-1}}$, которая равняется $\pm \inf$ когда $x=1$