39. Говоря объ Архитасѣ, Геминѣ и Паппѣ, мы имѣли случай замѣтить [см. гл. I, n. 2], что кривыя двоякой кривизны не были совершенно чужды наукѣ древнихъ. Съ тѣхъ поръ и до времени Клеро, когда началась теорія этихъ кривыхъ и значеніе ихъ въ обширной области свойствъ пространства, онѣ также встрѣчаются въ сочиненіяхъ многихъ геометровъ.
Въ дополненіе къ исторіи этихъ кривыхъ предлагаемъ слѣдующій краткій обзоръ въ хронологическомъ порядкѣ обстоятельствъ, при которыхъ онѣ встрѣчаются.
Въ 1530 году португалецъ Ноніусъ (1492—1577) и позднѣе Урайтъ, Стевинъ и Снеллій, изслѣдовали loxodromie — кривую двоякой кривизны на земномъ сфероидѣ. Эта кривая представляетъ путь корабля, направляющагося всегда въ одну сторону горизонта (въ одномъ румбѣ, или азимутѣ). Галлею мы обязаны любопытнымъ свойствомъ этой кривой, именно, что она есть стереографическая проэкція логариѳмической спирали.
Около 1630 года Роберваль въ Traité des indivisibles разсматривалъ кривую двоякой кривизны, описываемую циркулемъ на поверхности прямаго круглаго цилиндра; онъ вывелъ различныя свойства какъ этой кривой,такъ и той, которая изъ нея получается послѣ развертыванія цилиндра.
Нѣсколько позднѣе Ла-Луберъ (La Loubère, 1600—1664) изучалъ также эту кривую и назвалъ ее цикло-цилиндрической.
Въ 1637 году Декартъ въ концѣ второй книги своей Геометріи высказалъ нѣсколько словъ о кривыхъ двоякой кривизны вообще, не занимаясь ни одною изъ нихъ въ особенности; въ этихъ немногихъ словахъ заключалась вся теорія этихъ кривыхъ[1].
- ↑ Декартъ показываетъ также построеніе нормалей къ линіямъ двоякой кривизны; но здѣсь онъ дѣлаетъ ошибку; онъ полагаетъ, что нормали къ двумъ плоскимъ кривымъ, именно къ проэкціямъ линіи двоякой кривизны, сами будутъ проэкціями нормали этой кривой. Это можно сказать о касательныхъ, но не о нормаляхъ.
Какъ ни маловажна эта ошибка и какъ она ни чужда способу Декартовой геометріи, однако нельзя не удивляться, что она ускользнула отъ завистниковъ, a также и отъ поклонниковъ этого безсмертнаго изобрѣтенія, особенно отъ Роберваля, который всѣми силами, мучительно, желалъ найти въ немъ какой нибудь недостатокъ. Мало того, Рабюэль въ своемъ Commentaire доказалъ построеніе, указанное Декартомъ. Надобно сказать, что въ этомъ воображаемомъ доказательствѣ онъ избавляетъ себя отъ ссылокъ на элементы Евклида, что дѣлаетъ обыкновенно почти на каждой строчкѣ.
39. Говоря об Архитасе, Гемине и Паппе, мы имели случай заметить [см. гл. I, n. 2], что кривые двоякой кривизны не были совершенно чужды науке древних. С тех пор и до времени Клеро, когда началась теория этих кривых и значение их в обширной области свойств пространства, они также встречаются в сочинениях многих геометров.
В дополнение к истории этих кривых предлагаем следующий краткий обзор в хронологическом порядке обстоятельств, при которых они встречаются.
В 1530 году португалец Нониус (1492—1577) и позднее Урайт, Стевин и Снеллий, исследовали локсодрому — кривую двоякой кривизны на земном сфероиде. Эта кривая представляет путь корабля, направляющегося всегда в одну сторону горизонта (в одном румбе, или азимуте). Галлею мы обязаны любопытным свойством этой кривой, именно, что она есть стереографическая проекция логарифмической спирали.
Около 1630 года Роберваль в Traité des indivisibles рассматривал кривую двоякой кривизны, описываемую циркулем на поверхности прямого круглого цилиндра; он вывел различные свойства как этой кривой,так и той, которая из неё получается после развертывания цилиндра.
Несколько позднее Ла-Лубер (La Loubère, 1600—1664) изучал также эту кривую и назвал ее цикло-цилиндрической.
В 1637 году Декарт в конце второй книги своей Геометрии высказал несколько слов о кривых двоякой кривизны вообще, не занимаясь ни одною из них в особенности; в этих немногих словах заключалась вся теория этих кривых[1].
Бюржа (Burjà) въ Mémoire sur les connaissances mathématiques d'Aristote замѣчаетъ, что Аристотель, этотъ глава философовъ древности, также говоритъ объ этой кривой въ шестомъ вопросѣ десятаго отдѣла Проблемъ. Бюржа (Burjà) в Mémoire sur les connaissances mathématiques d'Aristote замечает, что Аристотель, этот глава философов древности, также говорит об этой кривой в шестом вопросе десятого отдела Проблем.
Примечания
- ↑ Декарт показывает также построение нормалей к линиям двоякой кривизны; но здесь он делает ошибку; он полагает, что нормали к двум плоским кривым, именно к проекциям линии двоякой кривизны, сами будут проекциями нормали этой кривой. Это можно сказать о касательных, но не о нормалях.
Как ни маловажна эта ошибка и как она ни чужда способу Декартовой геометрии, однако нельзя не удивляться, что она ускользнула от завистников, a также и от поклонников этого бессмертного изобретения, особенно от Роберваля, который всеми силами, мучительно, желал найти в нем какой-нибудь недостаток. Мало того, Рабюэль в своем Commentaire доказал построение, указанное Декартом. Надобно сказать, что в этом воображаемом доказательстве он избавляет себя от ссылок на элементы Евклида, что делает обыкновенно почти на каждой строчке.
