Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/От Фалеса и Пифагора до Евклида/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg
Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ — Первая эпоха, n° 1-5:
Ѳалесъ, Пиѳагор и Платонъ. — Гиппократъ. — Менехмъ. — Евдоксъ. — Архитасъ. — Аристей. — Диностратъ. — Персей.

авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: М. Шаль. Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ. — Москва: М. Катковъ, 1883. — Т. I. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/От Фалеса и Пифагора до Евклида/ДО въ новой орѳографіи


Первая эпоха, n° 1-5


[3]1. Геометрія получила начало у Халдеевъ и Египтянъ.

Финикіянинъ Ѳалесъ (639-548 до Р. X.) ѣздилъ учиться въ Египетъ и, поселившись потомъ въ Милетѣ, основалъ Іонійскую школу, въ которой образовались греческіе философы и началось первое развитіе геометріи.

Пиѳагоръ Самосскій (род. 580 до Р. X.), ученикъ Ѳалеса, подобно ему, сперва отправился въ Египетъ, а потомъ въ Индію; возвратившись въ Италію онъ основалъ здѣсь свою школу, которая сдѣлалась гораздо знаменитѣе той, изъ которой онъ произошелъ самъ. Этому философу, сдѣлавшему изъ геометріи часть своей философіи, и его ученикамъ преимущественно принадлежатъ первыя открытія въ геометріи; самыя важныя изъ нихъ: теорія несоизмѣримости нѣкоторыхъ линій, напр. діагонали квадрата съ его стороною, и теорія правильныхъ тѣлъ. Впрочемъ первые успѣхи науки о протяженіи состояли только изъ нѣсколькихъ простѣйшихъ предложеній о прямой линіи и кругѣ. Между ними наиболѣе замѣчательны: теорема о квадратѣ гипотенузы прямоугольнаго треугольника (за открытіе которой, по сказанію исторіи, или басни, Пиѳагоръ принесъ въ жертву гекатомбу) и то свойство круга и шара, что они изъ всѣхъ фигуръ одинаковаго периметра или одинаковой поверхности суть наибольшія; эта послѣдняя теорема содержитъ въ себѣ первый зачатокъ ученія объ изопериметрахъ.

2. Геометрія оставалась въ такомъ ограниченномъ видѣ до основанія Платоновой школы, которое было эпохою болѣе важныхъ открытій.

Платонъ (430-347 до Р. X.). Чтобы изучить математику, Платонъ, подобно своимъ предшественникамъ, отправился сперва къ египетскимъ жрецамъ, а потомъ въ Италію къ пиѳагорейцамъ. Возвратившись въ Аѳины, онъ сталъ во главѣ новой школы и ввелъ [4]въ геометрію аналитическій методъ[1], коническія сѣченія и ученіе о геометрическихъ мѣстахъ. Эти замѣчательныя открытія сдѣлали изъ геометріи какъ бы новую науку въ сравненіи съ существовавшей до этихъ поръ элементарной геометріей, науку высшую, которая учениками Платона названа была трансцендентною геометріей.

Съ этого времени стали прилагать съ замѣчательнымъ искусствомъ ученіе о геометрическихъ мѣстахъ[2] къ рѣшенію знаменитыхъ задачъ объ удвоеніи куба, о двухъ среднихъ пропорціональныхъ и о дѣленіи угла на три равныя части.

Первая изъ этихъ задачъ, извѣстная по своей трудности и по своему баснословному происхожденію, занимала геометровъ еще прежде этого времени.

Гиппократъ Хіосскій (около 450 до Р.Х.), достаточно извѣстный квадратурою своихъ луночекъ, привелъ задачу о удвоеніи куба къ нахожденію двухъ среднихъ пропорціональныхъ между стороною [5]даннаго куба и удвоенною стороною его; по всей вѣроятности, это и было поводомъ къ общей задачѣ о двухъ среднихъ пропорціональныхъ. Эта послѣдняя задача была рѣшена весьма различными способами, которые всѣ дѣлаютъ честь геометрамъ древняго міра. Первое рѣшеніе принадлежитъ Платону, который для этого изобрѣлъ особый снарядъ, состоявшій изъ прямого угла, на одной сторонѣ котораго двигалась прямая, оставаясь параллельною другой сторонѣ: безспорно это былъ первый примѣръ механическаго рѣшенія геометрической задачи.

Менехмъ, ученикъ Платона, пользовался для той же цѣли геометрическими мѣстами: двумя параболами, оси которыхъ взаимно перпендикулярны, а также параболою и гиперболой между асимптотами.

Евдоксъ, другой ученикъ и другъ Платона, прилагалъ другія кривыя, нарочно для этой цѣли изобрѣтенныя имъ; къ сожалѣнію, его рѣшеніе не дошло до насъ и мы даже не знаемъ, какія это были кривыя.

Рѣшеніе знаменитаго пиѳагорейца Архитаса, чтенія котораго слушалъ Платонъ въ Италіи, было чисто умозрительное. Оно замѣчательно тѣмъ, что основывалось на употребленіи кривой двоякой кривизны; это была первая кривая такого рода, разсмотрѣнная геометрами; по крайней мѣрѣ она самая древняя изъ извѣстныхъ намъ[3]. [6]

Четыре приведенныя здѣсь рѣшенія задачи о двухъ среднихъ пропорціональныхъ, какъ мы видимъ, существенно различны между собою. Та же задача и послѣ того въ теченіе многихъ вѣковъ занимала геометровъ и потому число рѣшеній ея значительно увеличилось. Евтоцій, математикъ шестаго столѣтія по Р. X., къ своемъ комментаріи ко второй книгѣ о шарѣ и цилиндрѣ Архимеда, приводитъ рѣшенія Эратосѳена, Аполлонія, Никомеда, Герона, Филона, Паппа, Діоклеса и Спора. О всѣхъ этихъ математикахъ мы упомянемъ далѣе въ хронологическомъ порядкѣ.

3. Превосходные методы, указанные Платономъ и учениками его, ревностно разрабатывались ихъ послѣдователями и были предметомъ многихъ замѣчательныхъ сочиненій, въ которыхъ развиты были главнѣйшія свойства коническихъ сѣченій, этихъ знаменитыхъ кривыхъ линій, которымъ 2000 лѣтъ спустя пришлось играть такую важную роль въ небесной механикѣ, когда Кеплеръ узналъ въ нихъ истинные пути, описываемые планетами и спутниками, и Ньютонъ въ ихъ фокусахъ открылъ средоточіе силы, приводящей въ движеніе всѣ тѣла вселенной.

Важнѣйшимъ изъ такихъ сочиненій было сочиненіе Аристея (около 450 до Р. X.), которое состояло изъ пяти книгъ о коническихъ сѣченіяхъ и о которомъ древніе отзываются съ необыкновенною похвалою. Къ сожалѣнію оно не дошло до насъ, также какъ пять книгъ «о тѣлесныхъ мѣстахъ» того же геометра[4].

4. Къ тому же почти времени относится открытіе квадратриксы Динострата. Главное свойство этой кривой даетъ способъ дѣлить [7]уголъ на нѣсколько частей, пропорціональныхъ даннымъ линіямъ, и вѣроятно она была изобрѣтена для рѣшенія возбужденной въ Платоновой школѣ задачи о дѣленіи угла на три равныя части. Еслибы эта кривая могла быть построена геометрически, то ею рѣшалась бы также задача о квадратурѣ круга; вслѣдствіе этого она и получила отъ древнихъ свое названіе — квадратрикса. Паппъ предполагаетъ, что это свойство кривой было открыто Диностратомъ, братомъ Менехма, отчего новые геометры и назвали ее квадратриксою Динострата. Но изъ двухъ мѣстъ Прокла[5] можно кажется заключить, что кривую эту открылъ и обнаружилъ ея свойства Гиппій, геометръ и философъ, жившій во время Платона[6].

5. Къ этой же первой эпохѣ развитія геометріи должно отнести Персея, который пріобрѣлъ извѣстность открытіемъ улиткообразныхъ линій (lignes spiriques). Онъ получалъ эти кривыя, пересѣкая различными плоскостями кольцеобразную поверхность (tоrus), образуемую вращеніемъ круга около неподвижной оси, лежащей въ той же плоскости.

Объ этомъ предметѣ осталось только одно указаніе Прокла въ его комментаріи къ первой книгѣ Евклида[7], гдѣ онъ ясно описываетъ образованіе этихъ кривыхъ на кольцеобразной поверхности и открытіе ихъ приписываетъ Персею. Спустя нѣсколько строкъ [8]онъ прибавляетъ, что Геминъ также писалъ объ улиткообразныхъ, и это замѣчаніе очень важно: оно доказываетъ, что Персей жилъ раньше Гемина, о которомъ извѣстно, что онъ существовалъ около времени Гиппарха въ двухъ первыхъ столѣтіяхъ до Р. X. Очень жаль, что сочиненія Персея и Гемина не дошли до насъ; было бы интересно узнать ихъ геометрическую теорію улиткообразныхъ, потомучто это кривыя четвертаго порядка, изслѣдованіе которыхъ въ настоящее время требуетъ употребленія уравненій поверхностей и довольно трудныхъ вычисленій.[8]

Примѣчанія.

  1. Вьетъ, въ началѣ своего сочиненія «Jsagoge in artem analyticem», даетъ слѣдующее объясненіе анализа и синтеза, вполнѣ характеризующее оба эти метода древнихъ: «Въ математикѣ существуетъ способъ изслѣдованія истины, изобрѣтеніе котораго приписывается Платону; Теонъ назвалъ его анализомъ и опредѣлилъ слѣдующимъ образомъ: мы разсматриваемъ искомое, какъ извѣстное, и переходимъ отъ слѣдствія къ слѣдствію до тѣхъ поръ, пока не убѣдимся въ истинѣ искомаго. Синтезъ же состоитъ въ томъ, что, исходя отъ извѣстнаго, мы, путемъ отъ слѣдствія къ слѣдствію, приходимъ къ открытію искомаго.»
  2. Мѣстомъ въ геометріи называется послѣдовательность точекъ, изъ которыхъ каждая рѣшаетъ предложенную задачу, или каждая обладаетъ извѣстнымъ свойствомъ, не принадлежащимъ никакой точкѣ, взятой внѣ этого мѣста. Древніе подраздѣляли геометрическія мѣста на различные роды. Они называли прямую линію и кругъ плоскими мѣстами, потомучто ихъ прямо чертили на плоскости; тѣлесными мѣстами назывались коническія сѣченія, потомучто они получались на тѣлѣ (конусѣ); наконецъ линейными мѣстами назывались всѣ кривыя высшихъ порядковъ, какъ конхоиды, циссоиды, спирали и квадратриксы. Мѣстною теоремою называлась такая теорема, въ которой доказывалось, что послѣдовательность точекъ прямой или кривой линіи удовлетворяетъ даннымъ условіямъ вопроса, и мѣстною задачею, — задача, въ которой требовалось найти послѣдовательность точекъ, удовлетворяющихъ даннымъ условіямъ.
  3. Образованіе этой кривой слѣдующее: «На діаметрѣ основанія прямаго круглаго цилиндра вообразимъ себѣ описанный полукругъ, плоскость котораго перпендикулярна къ плоскости основанія цилиндра; будемъ вращать діаметръ вмѣстѣ съ описаннымъ на немъ полукругомъ около одного изъ концовъ, оставляя плоскость полукруга по прежнему перпендикулярной къ основанію; этотъ полукругъ во всякомъ положеніи будетъ пересѣкать поверхность цилиндра въ одной точкѣ; послѣдовательность такихъ точекъ и образуетъ кривую двоякой кривизны, о которой идетъ рѣчь».
    Чтобы рѣшить задачу о двухъ среднихъ пропорціональныхъ, Архитасъ пересѣкаетъ эту кривую круглымъ конусомъ, ось вращенія котораго есть образующая цилиндра, проходящая черезъ неподвижный конецъ вращающагося діаметра: точка пересѣченія доставляетъ искомое рѣшеніе.
  4. Пять книгъ «о тѣлесныхъ мѣстахъ», о которыхъ говоритъ Паппъ въ седьмой книгѣ его «Математическаго Собранія» (Coliectiones mathematicae) были по этому указанію возстановлены Вивіани совершенно въ духѣ древней геометріи подъ заглавіемъ: De locis solidis secunda divinatio geometrica in quinque libros injurla temporum amissos Aristaei senioris geometrae auctore Vincentio Viviani и т. д. (in folio, Флоренція, 1701 г.) Еще въ 1659 году Вивіани возстановилъ пятую книгу коническихъ сѣченій Аполлонія, которая вмѣстѣ съ 6-ю и 7-ю книгами была найдена Борелли въ то самое время, когда Вивіана оканчивалъ свой трудъ; до этого же времени были извѣстны только четыре первыя книги.
  5. Смотри 9-ю теорему 8-ей книги и начало 4-й книги комментаріевъ Прокла къ первой книгѣ Евклида.
  6. Леотодъ, математикъ 17-го столѣтія, хорошо знакомый съ геометріею древнихъ, издалъ особое сочиненіе объ этой кривой, въ которомъ онъ обнаруживаетъ множество любопытныхъ ея свойствъ, оправдывающихъ заглавіе этого сочиненія: Liber in quo mirabiles quadratricis facultates variae exponuntur. Авторъ сравниваетъ квадратриксу съ спиралью Архимеда и съ параболой, прилагаетъ ее къ опредѣленію центровъ тяжести, открываетъ ея безконечныя вѣтви и пр. Иванъ Бернулли также открылъ нѣсколько свойствъ этой кривой (См. Томъ I, стр. 447 его сочиненій и Томъ II, стр. 176 и 179 его переписки съ Лейбницемъ).
  7. Къ четвертому опредѣленію Евклида. Проклъ говоритъ объ улиткообразныхъ линіяхъ еще въ комментаріи къ 7-му опредѣленію и въ началѣ своей 4-й книги, гдѣ онъ опять называетъ эти линіи — улиткообразными Персея.
  8. См. Примѣчаніе I.