Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/От Фалеса и Пифагора до Евклида

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов — Первая эпоха, n° 1-5:
Фалес, Пифагор и Платон. — Гиппократ. — Менехм. — Евдокс. — Архитас. — Аристей. — Динострат. — Персей.

автор Мишель Шаль, пер. Василий Яковлевич Цингер
Язык оригинала: французский. Название в оригинале: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Дата создания: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: М. Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — Москва: М. Катков, 1883. — Т. I. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/От Фалеса и Пифагора до Евклида в дореформенной орфографии


Первая эпоха, n° 1-5


[3]1. Геометрия получила начало у Халдеев и Египтян.

Финикиянин Фалес (639-548 до Р. X.) ездил учиться в Египет и, поселившись потом в Милете, основал Ионийскую школу, в которой образовались греческие философы и началось первое развитие геометрии.

Пифагор Самосский (род. 580 до Р. X.), ученик Фалеса, подобно ему, сперва отправился в Египет, а потом в Индию; возвратившись в Италию он основал здесь свою школу, которая сделалась гораздо знаменитее той, из которой он произошел сам. Этому философу, сделавшему из геометрии часть своей философии, и его ученикам преимущественно принадлежат первые открытия в геометрии; самые важные из них: теория несоизмеримости некоторых линий, напр. диагонали квадрата с его стороною, и теория правильных тел. Впрочем первые успехи науки о протяжении состояли только из нескольких простейших предложений о прямой линии и круге. Между ними наиболее замечательны: теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника (за открытие которой, по сказанию истории, или басни, Пифагор принес в жертву гекатомбу) и то свойство круга и шара, что они из всех фигур одинакового периметра или одинаковой поверхности суть наибольшие; эта последняя теорема содержит в себе первый зачаток учения об изопериметрах.

2. Геометрия оставалась в таком ограниченном виде до основания Платоновой школы, которое было эпохою более важных открытий.

Платон (430-347 до Р. X.). Чтобы изучить математику, Платон, подобно своим предшественникам, отправился сперва к египетским жрецам, а потом в Италию к пифагорейцам. Возвратившись в Афины, он стал во главе новой школы и ввел [4]в геометрию аналитический метод[1], конические сечения и учение о геометрических местах. Эти замечательные открытия сделали из геометрии как бы новую науку в сравнении с существовавшей до этих пор элементарной геометрией, науку высшую, которая учениками Платона названа была трансцендентною геометрией.

С этого времени стали прилагать с замечательным искусством учение о геометрических местах[2] к решению знаменитых задач об удвоении куба, о двух средних пропорциональных и о делении угла на три равные части.

Первая из этих задач, известная по своей трудности и по своему баснословному происхождению, занимала геометров еще прежде этого времени.

Гиппократ Хиосский (около 450 до Р.Х.), достаточно известный квадратурой своих луночек, привел задачу о удвоении куба к нахождению двух средних пропорциональных между стороной [5]данного куба и удвоенной стороной его; по всей вероятности, это и было поводом к общей задаче о двух средних пропорциональных. Эта последняя задача была решена весьма различными способами, которые все делают честь геометрам древнего мира. Первое решение принадлежит Платону, который для этого изобрел особый снаряд, состоявший из прямого угла, на одной стороне которого двигалась прямая, оставаясь параллельною другой стороне: бесспорно это был первый пример механического решения геометрической задачи.

Менехм, ученик Платона, пользовался для той же цели геометрическими местами: двумя параболами, оси которых взаимно перпендикулярны, а также параболою и гиперболой между асимптотами.

Евдокс, другой ученик и друг Платона, прилагал другие кривые, нарочно для этой цели изобретенные им; к сожалению, его решение не дошло до нас и мы даже не знаем, какие это были кривые.

Решение знаменитого пифагорейца Архитаса, чтения которого слушал Платон в Италии, было чисто умозрительное. Оно замечательно тем, что основывалось на употреблении кривой двоякой кривизны; это была первая кривая такого рода, рассмотренная геометрами; по крайней мере она самая древняя из известных нам[3]. [6]

Четыре приведенные здесь решения задачи о двух средних пропорциональных, как мы видим, существенно различны между собою. Та же задача и после того в течение многих веков занимала геометров и потому число решений её значительно увеличилось. Евтоций, математик шестого столетия по Р. X., к своем комментарии ко второй книге о шаре и цилиндре Архимеда, приводит решения Эратосфена, Аполлония, Никомеда, Герона, Филона, Паппа, Диоклеса и Спора. О всех этих математиках мы упомянем далее в хронологическом порядке.

3. Превосходные методы, указанные Платоном и учениками его, ревностно разрабатывались их последователями и были предметом многих замечательных сочинений, в которых развиты были главнейшие свойства конических сечений, этих знаменитых кривых линий, которым 2000 лет спустя пришлось играть такую важную роль в небесной механике, когда Кеплер узнал в них истинные пути, описываемые планетами и спутниками, и Ньютон в их фокусах открыл средоточие силы, приводящей в движение все тела вселенной.

Важнейшим из таких сочинений было сочинение Аристея (около 450 до Р. X.), которое состояло из пяти книг о конических сечениях и о котором древние отзываются с необыкновенною похвалою. К сожалению оно не дошло до нас, также как пять книг «о телесных местах» того же геометра[4].

4. К тому же почти времени относится открытие квадратриксы Динострата. Главное свойство этой кривой дает способ делить [7]угол на несколько частей, пропорциональных данным линиям, и вероятно она была изобретена для решения возбужденной в Платоновой школе задачи о делении угла на три равные части. Если бы эта кривая могла быть построена геометрически, то ею решалась бы также задача о квадратуре круга; вследствие этого она и получила от древних свое название — квадратрикса. Папп предполагает, что это свойство кривой было открыто Диностратом, братом Менехма, отчего новые геометры и назвали ее квадратриксой Динострата. Но из двух мест Прокла[5] можно кажется заключить, что кривую эту открыл и обнаружил её свойства Гиппий, геометр и философ, живший во время Платона[6].

5. К этой же первой эпохе развития геометрии должно отнести Персея, который приобрел известность открытием улиткообразных линий (lignes spiriques). Он получал эти кривые, пересекая различными плоскостями кольцеобразную поверхность (tоrus), образуемую вращением круга около неподвижной оси, лежащей в той же плоскости.

Об этом предмете осталось только одно указание Прокла в его комментарии к первой книге Евклида[7], где он ясно описывает образование этих кривых на кольцеобразной поверхности и открытие их приписывает Персею. Спустя несколько строк [8]он прибавляет, что Гемин также писал об улиткообразных, и это замечание очень важно: оно доказывает, что Персей жил раньше Гемина, о котором известно, что он существовал около времени Гиппарха в двух первых столетиях до Р. X. Очень жаль, что сочинения Персея и Гемина не дошли до нас; было бы интересно узнать их геометрическую теорию улиткообразных, потому что это кривые четвертого порядка, исследование которых в настоящее время требует употребления уравнений поверхностей и довольно трудных вычислений.[8]

Примечания

  1. Виет, в начале своего сочинения «Jsagoge in artem analyticem», дает следующее объяснение анализа и синтеза, вполне характеризующее оба эти метода древних: «В математике существует способ исследования истины, изобретение которого приписывается Платону; Теон назвал его анализом и определил следующим образом: мы рассматриваем искомое, как известное, и переходим от следствия к следствию до тех пор, пока не убедимся в истине искомого. Синтез же состоит в том, что, исходя от известного, мы, путем от следствия к следствию, приходим к открытию искомого.»
  2. Местом в геометрии называется последовательность точек, из которых каждая решает предложенную задачу, или каждая обладает известным свойством, не принадлежащим никакой точке, взятой вне этого места. Древние подразделяли геометрические места на различные роды. Они называли прямую линию и круг плоскими местами, потому что их прямо чертили на плоскости; телесными местами назывались конические сечения, потому что они получались на теле (конусе); наконец линейными местами назывались все кривые высших порядков, как конхоиды, циссоиды, спирали и квадратриксы. Местной теоремой называлась такая теорема, в которой доказывалось, что последовательность точек прямой или кривой линии удовлетворяет данным условиям вопроса, и местной задачей, — задача, в которой требовалось найти последовательность точек, удовлетворяющих данным условиям.
  3. Образование этой кривой следующее: «На диаметре основания прямого круглого цилиндра вообразим себе описанный полукруг, плоскость которого перпендикулярна к плоскости основания цилиндра; будем вращать диаметр вместе с описанным на нем полукругом около одного из концов, оставляя плоскость полукруга по прежнему перпендикулярной к основанию; этот полукруг во всяком положении будет пересекать поверхность цилиндра в одной точке; последовательность таких точек и образует кривую двоякой кривизны, о которой идет речь».
    Чтобы решить задачу о двух средних пропорциональных, Архитас пересекает эту кривую круглым конусом, ось вращения которого есть образующая цилиндра, проходящая через неподвижный конец вращающегося диаметра: точка пересечения доставляет искомое решение.
  4. Пять книг «о телесных местах», о которых говорит Папп в седьмой книге его «Математического Собрания» (Coliectiones mathematicae) были по этому указанию восстановлены Вивиани совершенно в духе древней геометрии под заглавием: De locis solidis secunda divinatio geometrica in quinque libros injurla temporum amissos Aristaei senioris geometrae auctore Vincentio Viviani и т. д. (in folio, Флоренция, 1701 г.) Еще в 1659 году Вивиани восстановил пятую книгу конических сечений Аполлония, которая вместе с 6-ю и 7-ю книгами была найдена Борелли в то самое время, когда Вивиана оканчивал свой труд; до этого же времени были известны только четыре первые книги.
  5. Смотри 9-ю теорему 8-ей книги и начало 4-й книги комментариев Прокла к первой книге Евклида.
  6. Леотод, математик 17-го столетия, хорошо знакомый с геометриею древних, издал особое сочинение об этой кривой, в котором он обнаруживает множество любопытных её свойств, оправдывающих заглавие этого сочинения: Liber in quo mirabiles quadratricis facultates variae exponuntur. Автор сравнивает квадратриксу с спиралью Архимеда и с параболой, прилагает ее к определению центров тяжести, открывает её бесконечные ветви и пр. Иван Бернулли также открыл несколько свойств этой кривой (См. Том I, стр. 447 его сочинений и Том II, стр. 176 и 179 его переписки с Лейбницем).
  7. К четвертому определению Евклида. Прокл говорит об улиткообразных линиях еще в комментарии к 7-му определению и в начале своей 4-й книги, где он опять называет эти линии — улиткообразными Персея.
  8. См. Примечание I.