Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/23

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта страница была вычитана

(въ той же книгѣ теоремы 45—52)[1]; двѣ прекрасныя теоремы о сопряженныхъ діаметрахъ (7-я книга, теоремы 12 и 22, 30 и 31).

Мы должны еще указать на слѣдующую теорему, которая получила особенную важность въ новой геометріи, потомучто она послужила основнымъ положеніемъ теоріи взаимныхъ поляръ и изъ нея же Де-Лагиръ извлекъ основаніе для своей теоріи коническихъ сѣченій.
[Начало цитаты]
«Если черезъ точку пересѣченія двухъ касательныхъ коническаго сѣченія проведемъ сѣкущую, встрѣчающуюся съ кривою въ двухъ точкахъ, и съ линіею, соединяющею точки прикосновенія, въ третьей точкѣ, то эта третья точка съ точкой пересѣченія касательныхъ будутъ соотвѣтственныя гармоническія относительно первыхъ двухъ точекъ» (кн. 3, теор. 37).
[Конец цитаты]

Первыя 23 предложенія 4-й книги относятся къ гармоническому дѣленію прямой, проведенной въ плоскости коническаго сѣченія, и по большей части суть частные случаи вышеприведенной теоремы. Въ слѣдующихъ за тѣмъ предложеніяхъ Аполлоній разсматриваетъ систему двухъ коническихъ сѣченій и доказываетъ, что они могутъ пересѣкаться не болѣе, какъ въ 4 точкахъ. Онъ изслѣдуетъ, что должно происходить, когда коническія сѣченія касаются другъ друга въ одной или двухъ точкахъ, и разсматриваетъ различныя другія относительныя положенія ихъ между собою.

Пятая книга есть самый драгоцѣнный памятникъ Аполлоніева генія. Здѣсь въ первый разъ встрѣчаемъ мы изслѣдованія о наибольшихъ и наименьшихъ. Здѣсь опять находимъ мы все, чему научаютъ насъ объ этомъ предметѣ современные аналитическіе способы, и вмѣстѣ съ тѣмъ усматриваемъ первые слѣды прекрасной теоріи развертокъ. Аполлоній доказываетъ именно, что по каждую сторону оси коническаго сѣченія находится послѣдовательность точекъ, изъ которыхъ можно къ противолежащей части кривой провести только одну нормаль; онъ даетъ построеніе этихъ точекъ и замѣчаетъ, что непрерывнымъ рядомъ ихъ отдѣляются другъ отъ друга два пространства, имѣющія то замѣчательное различіе, что

  1. См. Примѣч. IV.
Тот же текст в современной орфографии

(в той же книге теоремы 45—52)[1]; две прекрасные теоремы о сопряженных диаметрах (7-я книга, теоремы 12 и 22, 30 и 31).

Мы должны еще указать на следующую теорему, которая получила особенную важность в новой геометрии, потому что она послужила основным положением теории взаимных поляр и из неё же Де-Лагир извлек основание для своей теории конических сечений.
[Начало цитаты]
«Если через точку пересечения двух касательных конического сечения проведем секущую, встречающуюся с кривою в двух точках, и с линиею, соединяющею точки прикосновения, в третьей точке, то эта третья точка с точкой пересечения касательных будут соответственные гармонические относительно первых двух точек.» [2]
[Конец цитаты]

Первые 23 предложения 4-й книги относятся к гармоническому делению прямой, проведенной в плоскости конического сечения, и по большей части суть частные случаи вышеприведенной теоремы. В следующих за тем предложениях Аполлоний рассматривает систему двух конических сечений и доказывает, что они могут пересекаться не более, как в 4 точках. Он исследует, что должно происходить, когда конические сечения касаются друг друга в одной или двух точках, и рассматривает различные другие относительные положения их между собою.

Пятая книга есть самый драгоценный памятник Аполлониева гения. Здесь в первый раз встречаем мы исследования о наибольших и наименьших. Здесь опять находим мы всё, чему научают нас об этом предмете современные аналитические способы, и вместе с тем усматриваем первые следы прекрасной теории разверток. Аполлоний доказывает именно, что по каждую сторону оси конического сечения находится последовательность точек, из которых можно к противолежащей части кривой провести только одну нормаль; он дает построение этих точек и замечает, что непрерывным рядом их отделяются друг от друга два пространства, имеющия то замечательное различие, что

  1. См. Примеч. IV.
  2. Кн. 3, теор. 37.