Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/257

Эта страница была вычитана

Не заставляетъ ли это предполагать въ нихъ недостатокъ нѣкотораго принципа, который сдѣлалъ бы ихъ приложимыми къ гораздо болѣе общимъ, a можетъ быть и ко всякаго рода соотношеніямъ?

Очевидно, что эти методы не основываются еще на достаточно широкихъ началахъ. И дѣйствительно, мы вправѣ кажется сказать, что каждый изъ нихъ допускаетъ весьма широкое обобщеніе.

26. Теорія трансверсалей. Прежде всего, теорія трансверсалей можетъ быть обогащена новыми принципами, которые сдѣлаютъ ее способной къ новымъ примѣненіямъ и дадутъ ей возможность въ тысячѣ случаевъ замѣнять анализъ Декарта, преимущественно при изученіи общихъ свойствъ геометрическихъ кривыхъ; даже въ теперешнемъ своемъ состояніи она можетъ быть полезна во многихъ вопросахъ, къ которымъ до сихъ поръ еще не прилагалась, такъ напримѣръ въ общей задачѣ о касательныхъ и о радіусахъ кривизны во всѣхъ геометрическихъ кривыхъ, — задача, рѣшеніе которой мы дали въ Bulletin universel des sciences (juin, 1830)^[1]

↑ Построеніе касательныхъ. Чтобы опредѣлить касательную въ точкѣ $m$ геометрической кривой какого угодно порядка, проведемъ черезъ эту точку по произвольнымъ направленіямъ двѣ трансверсали $mA,mA'$ ; составимъ произведенія отрѣзковъ, образующихся на этихъ прямыхъ между точкою $m$ и всѣми другими точками пересѣченія ихъ съ кривою; пусть эти два произведенія будутъ $P$ и $P'$ .
Черезъ произвольную точку $u$ проводимъ двѣ трансверсали, параллельныя прямымъ $mA,mA'$ ; составляемъ произведенія отрѣзковъ, образующихся на нихъ между точкою $u$ и кривою; пусть эти произведенія будутъ $\Pi$ и $\Pi '$ .
Отложимъ на прямыхъ $mA,mA'$ , начиная отъ точки $m$ , соотвѣтственно два отрѣзка, пропорціональные отношеніямъ ${\tfrac {\Pi }{P}},{\tfrac {\Pi '}{P'}}$ : — прямая, соединяюшая концы этихь отрѣзковъ, будетъ параллельна касательной въ точкѣ $m$ .
Такимъ образомъ направлеаіе касательной опредѣлено.
Можно также построить прямо направленіе нормали. Для этого на двухъ трансверсаляхъ, выходящихъ изъ точки $m$ , откладываемъ отрѣзки пропорціональные отношеніямъ ${\tfrac {P}{\Pi }},\,{\tfrac {P'}{\Pi '}}$ ; черезъ концы этихъ отрѣзковъ и черезъ точку $m$ проводимъ кругъ: центръ его будетъ лежать на нормали къ кривой въ точкѣ $m$ .
Построеніе круговъ кривизны. Чтобы опредѣлить кругъ кривизны въ точкѣ $m$ геометрической кривой, проведемъ черезъ эту точку касательную къ кривой и какую-нибудь трансверсаль $mA$ ; составимъ произведеніе отрѣзковъ, заключающихся на этихъ двухъ прямыхъ между точкою $m$ и другими вѣтвями кривой. Пусть $T$ и $P$ будутъ эти произведенія.
Черезъ произвольную точку $\mu$ проведемъ двѣ прямыя, параллельныя касательной и трансверсали; составимъ произведеніе отрѣзковъ на этихъ параллеляхъ между точкою $\mu$ и кривою; пусть эти произведенія будутъ $\mathrm {T}$ и $\Pi$ .
Отложимъ на трансверсали $mA$ отрѣзокъ равный ${\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ : конецъ этого отрѣзка будетъ лежать на искомомъ кругѣ кривизны.
Изъ этого построенія слѣдуетъ, что, если означимъ черезъ $\Theta$ уголъ между трансверсалью $mA$ и касательной, величина $R$ радіуса кривизны будетъ: $R={\tfrac {1}{2\sin \Theta }}.{\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ .
Если кривая m-ой степени, то произведенія $\mathrm {T}$ и $\Pi$ будутъ состоять изъ $m$ линейныхъ множителей, $P$ — изъ $m-1$ , a $T$ — изъ $m-2$ . Когда кривая начерчена, то эти множители будутъ отрѣзки на трансверсаляхъ; если же кривая дана уравненіемъ, то изъ вего найдемъ непосредственно величины четырехъ произведеній $P,T,\Pi ,\mathrm {T}$ , какъ это извѣстно изъ общей теоріи уравненій.
Кривая должна быть начерчена вполнѣ, т.-е. со всѣми своими вѣтвями, чтобы число точекъ пересѣченія съ трансверсалями соотвѣтствовало порядку кривой. Если, напримѣръ, кривая принадлежитъ къ числу линій четвертаго порядка, называемыхъ овалами Декарта, то нужно знать и второй сопутствующий овалъ (compagne), обдадающій тѣми же свойствами; онъ не указывается въ построеніяхъ данныхъ Декартомъ и другими геометрами, но заключается въ томъ же уравненіи (См. Прим. XXI).
Предыдущія построенія могутъ быть упрощены, потому что вмѣсто четырехъ попарно параллельныхъ трансверсалей можно провести только три, изъ которыхъ двѣ должны выходить изъ разсматриваемой точки кривой, a третья можетъ быть проведена произвольно. Это видоизмѣненіе въ рѣшеніи разсматриваемыхъ задачъ основывается на прекрасномъ общемъ свойствѣ геометрическихъ кривыхъ, данномъ Карно въ Géométrie de position, p. 291.
Понселе также даетъ построеніе касательныхъ къ геометрическимъ кривымъ въ мемуарѣ, представлевномъ Парижской Академіи Наукъ въ сентябрѣ 1831 года: Analyse des transversales, appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques (Crelle's Journal, t. VII, p. 229).

Тот же текст в современной орфографии

Не заставляет ли это предполагать в них недостаток некоторого принципа, который сделал бы их приложимыми к гораздо более общим, a может быть и ко всякого рода соотношениям?

Очевидно, что эти методы не основываются еще на достаточно широких началах. И действительно, мы вправе кажется сказать, что каждый из них допускает весьма широкое обобщение.

26. Теория трансверсалей. Прежде всего, теория трансверсалей может быть обогащена новыми принципами, которые сделают ее способной к новым применениям и дадут ей возможность в тысяче случаев заменять анализ Декарта, преимущественно при изучении общих свойств геометрических кривых; даже в теперешнем своем состоянии она может быть полезна во многих вопросах, к которым до сих пор еще не прилагалась, так например в общей задаче о касательных и о радиусах кривизны во всех геометрических кривых, — задача, решение которой мы дали в Bulletin universel des sciences (juin, 1830)^[1]

↑ Построение касательных. Чтобы определить касательную в точке $m$ геометрической кривой какого угодно порядка, проведем через эту точку по произвольным направлениям две трансверсали $mA,mA'$ ; составим произведения отрезков, образующихся на этих прямых между точкою $m$ и всеми другими точками пересечения их с кривою; пусть эти два произведения будут $P$ и $P'$ .
Через произвольную точку $u$ проводим две трансверсали, параллельные прямым $mA,mA'$ ; составляем произведения отрезков, образующихся на них между точкою $u$ и кривою; пусть эти произведения будут $\Pi$ и $\Pi '$ .
Отложим на прямых $mA,mA'$ , начиная от точки $m$ , соответственно два отрезка, пропорциональные отношениям ${\tfrac {\Pi }{P}},{\tfrac {\Pi '}{P'}}$ : — прямая, соединяюшая концы этихь отрезков, будет параллельна касательной в точке $m$ .
Таким образом направлеаие касательной определено.
Можно также построить прямо направление нормали. Для этого на двух трансверсалях, выходящих из точки $m$ , откладываем отрезки пропорциональные отношениям ${\tfrac {P}{\Pi }},\,{\tfrac {P'}{\Pi '}}$ ; через концы этих отрезков и через точку $m$ проводим круг: центр его будет лежать на нормали к кривой в точке $m$ .
Построение кругов кривизны. Чтобы определить круг кривизны в точке $m$ геометрической кривой, проведем через эту точку касательную к кривой и какую-нибудь трансверсаль $mA$ ; составим произведение отрезков, заключающихся на этих двух прямых между точкою $m$ и другими ветвями кривой. Пусть $T$ и $P$ будут эти произведения.
Через произвольную точку $\mu$ проведем две прямые, параллельные касательной и трансверсали; составим произведение отрезков на этих параллелях между точкою $\mu$ и кривою; пусть эти произведения будут $\mathrm {T}$ и $\Pi$ .
Отложим на трансверсали $mA$ отрезок равный ${\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ : конец этого отрезка будет лежать на искомом круге кривизны.
Из этого построения следует, что, если означим через $\Theta$ угол между трансверсалью $mA$ и касательной, величина $R$ радиуса кривизны будет: $R={\tfrac {1}{2\sin \Theta }}.{\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ .
Если кривая m-ой степени, то произведения $\mathrm {T}$ и $\Pi$ будут состоять из $m$ линейных множителей, $P$ — из $m-1$ , a $T$ — из $m-2$ . Когда кривая начерчена, то эти множители будут отрезки на трансверсалях; если же кривая дана уравнением, то из вего найдем непосредственно величины четырех произведений $P,T,\Pi ,\mathrm {T}$ , как это известно из общей теории уравнений.
Кривая должна быть начерчена вполне, т. е. со всеми своими ветвями, чтобы число точек пересечения с трансверсалями соответствовало порядку кривой. Если, например, кривая принадлежит к числу линий четвертого порядка, называемых овалами Декарта, то нужно знать и второй сопутствующий овал (compagne), обдадающий теми же свойствами; он не указывается в построениях данных Декартом и другими геометрами, но заключается в том же уравнении (См. Прим. XXI).
Предыдущие построения могут быть упрощены, потому что вместо четырех попарно параллельных трансверсалей можно провести только три, из которых две должны выходить из рассматриваемой точки кривой, a третья может быть проведена произвольно. Это видоизменение в решении рассматриваемых задач основывается на прекрасном общем свойстве геометрических кривых, данном Карно в Géométrie de position, p. 291.
Понселе также дает построение касательных к геометрическим кривым в мемуаре, представлевном Парижской Академии Наук в сентябре 1831 года: Analyse des transversales, appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques (Crelle's Journal, t. VII, p. 229).

[1] Построеніе касательныхъ. Чтобы опредѣлить касательную въ точкѣ $m$ геометрической кривой какого угодно порядка, проведемъ черезъ эту точку по произвольнымъ направленіямъ двѣ трансверсали $mA,mA'$ ; составимъ произведенія отрѣзковъ, образующихся на этихъ прямыхъ между точкою $m$ и всѣми другими точками пересѣченія ихъ съ кривою; пусть эти два произведенія будутъ $P$ и $P'$ .
Черезъ произвольную точку $u$ проводимъ двѣ трансверсали, параллельныя прямымъ $mA,mA'$ ; составляемъ произведенія отрѣзковъ, образующихся на нихъ между точкою $u$ и кривою; пусть эти произведенія будутъ $\Pi$ и $\Pi '$ .
Отложимъ на прямыхъ $mA,mA'$ , начиная отъ точки $m$ , соотвѣтственно два отрѣзка, пропорціональные отношеніямъ ${\tfrac {\Pi }{P}},{\tfrac {\Pi '}{P'}}$ : — прямая, соединяюшая концы этихь отрѣзковъ, будетъ параллельна касательной въ точкѣ $m$ .
Такимъ образомъ направлеаіе касательной опредѣлено.
Можно также построить прямо направленіе нормали. Для этого на двухъ трансверсаляхъ, выходящихъ изъ точки $m$ , откладываемъ отрѣзки пропорціональные отношеніямъ ${\tfrac {P}{\Pi }},\,{\tfrac {P'}{\Pi '}}$ ; черезъ концы этихъ отрѣзковъ и черезъ точку $m$ проводимъ кругъ: центръ его будетъ лежать на нормали къ кривой въ точкѣ $m$ .
Построеніе круговъ кривизны. Чтобы опредѣлить кругъ кривизны въ точкѣ $m$ геометрической кривой, проведемъ черезъ эту точку касательную къ кривой и какую-нибудь трансверсаль $mA$ ; составимъ произведеніе отрѣзковъ, заключающихся на этихъ двухъ прямыхъ между точкою $m$ и другими вѣтвями кривой. Пусть $T$ и $P$ будутъ эти произведенія.
Черезъ произвольную точку $\mu$ проведемъ двѣ прямыя, параллельныя касательной и трансверсали; составимъ произведеніе отрѣзковъ на этихъ параллеляхъ между точкою $\mu$ и кривою; пусть эти произведенія будутъ $\mathrm {T}$ и $\Pi$ .
Отложимъ на трансверсали $mA$ отрѣзокъ равный ${\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ : конецъ этого отрѣзка будетъ лежать на искомомъ кругѣ кривизны.
Изъ этого построенія слѣдуетъ, что, если означимъ черезъ $\Theta$ уголъ между трансверсалью $mA$ и касательной, величина $R$ радіуса кривизны будетъ: $R={\tfrac {1}{2\sin \Theta }}.{\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ .
Если кривая m-ой степени, то произведенія $\mathrm {T}$ и $\Pi$ будутъ состоять изъ $m$ линейныхъ множителей, $P$ — изъ $m-1$ , a $T$ — изъ $m-2$ . Когда кривая начерчена, то эти множители будутъ отрѣзки на трансверсаляхъ; если же кривая дана уравненіемъ, то изъ вего найдемъ непосредственно величины четырехъ произведеній $P,T,\Pi ,\mathrm {T}$ , какъ это извѣстно изъ общей теоріи уравненій.
Кривая должна быть начерчена вполнѣ, т.-е. со всѣми своими вѣтвями, чтобы число точекъ пересѣченія съ трансверсалями соотвѣтствовало порядку кривой. Если, напримѣръ, кривая принадлежитъ къ числу линій четвертаго порядка, называемыхъ овалами Декарта, то нужно знать и второй сопутствующий овалъ (compagne), обдадающій тѣми же свойствами; онъ не указывается въ построеніяхъ данныхъ Декартомъ и другими геометрами, но заключается въ томъ же уравненіи (См. Прим. XXI).
Предыдущія построенія могутъ быть упрощены, потому что вмѣсто четырехъ попарно параллельныхъ трансверсалей можно провести только три, изъ которыхъ двѣ должны выходить изъ разсматриваемой точки кривой, a третья можетъ быть проведена произвольно. Это видоизмѣненіе въ рѣшеніи разсматриваемыхъ задачъ основывается на прекрасномъ общемъ свойствѣ геометрическихъ кривыхъ, данномъ Карно въ Géométrie de position, p. 291.
Понселе также даетъ построеніе касательныхъ къ геометрическимъ кривымъ въ мемуарѣ, представлевномъ Парижской Академіи Наукъ въ сентябрѣ 1831 года: Analyse des transversales, appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques (Crelle's Journal, t. VII, p. 229).

[2] Построение касательных. Чтобы определить касательную в точке $m$ геометрической кривой какого угодно порядка, проведем через эту точку по произвольным направлениям две трансверсали $mA,mA'$ ; составим произведения отрезков, образующихся на этих прямых между точкою $m$ и всеми другими точками пересечения их с кривою; пусть эти два произведения будут $P$ и $P'$ .
Через произвольную точку $u$ проводим две трансверсали, параллельные прямым $mA,mA'$ ; составляем произведения отрезков, образующихся на них между точкою $u$ и кривою; пусть эти произведения будут $\Pi$ и $\Pi '$ .
Отложим на прямых $mA,mA'$ , начиная от точки $m$ , соответственно два отрезка, пропорциональные отношениям ${\tfrac {\Pi }{P}},{\tfrac {\Pi '}{P'}}$ : — прямая, соединяюшая концы этихь отрезков, будет параллельна касательной в точке $m$ .
Таким образом направлеаие касательной определено.
Можно также построить прямо направление нормали. Для этого на двух трансверсалях, выходящих из точки $m$ , откладываем отрезки пропорциональные отношениям ${\tfrac {P}{\Pi }},\,{\tfrac {P'}{\Pi '}}$ ; через концы этих отрезков и через точку $m$ проводим круг: центр его будет лежать на нормали к кривой в точке $m$ .
Построение кругов кривизны. Чтобы определить круг кривизны в точке $m$ геометрической кривой, проведем через эту точку касательную к кривой и какую-нибудь трансверсаль $mA$ ; составим произведение отрезков, заключающихся на этих двух прямых между точкою $m$ и другими ветвями кривой. Пусть $T$ и $P$ будут эти произведения.
Через произвольную точку $\mu$ проведем две прямые, параллельные касательной и трансверсали; составим произведение отрезков на этих параллелях между точкою $\mu$ и кривою; пусть эти произведения будут $\mathrm {T}$ и $\Pi$ .
Отложим на трансверсали $mA$ отрезок равный ${\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ : конец этого отрезка будет лежать на искомом круге кривизны.
Из этого построения следует, что, если означим через $\Theta$ угол между трансверсалью $mA$ и касательной, величина $R$ радиуса кривизны будет: $R={\tfrac {1}{2\sin \Theta }}.{\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$ .
Если кривая m-ой степени, то произведения $\mathrm {T}$ и $\Pi$ будут состоять из $m$ линейных множителей, $P$ — из $m-1$ , a $T$ — из $m-2$ . Когда кривая начерчена, то эти множители будут отрезки на трансверсалях; если же кривая дана уравнением, то из вего найдем непосредственно величины четырех произведений $P,T,\Pi ,\mathrm {T}$ , как это известно из общей теории уравнений.
Кривая должна быть начерчена вполне, т. е. со всеми своими ветвями, чтобы число точек пересечения с трансверсалями соответствовало порядку кривой. Если, например, кривая принадлежит к числу линий четвертого порядка, называемых овалами Декарта, то нужно знать и второй сопутствующий овал (compagne), обдадающий теми же свойствами; он не указывается в построениях данных Декартом и другими геометрами, но заключается в том же уравнении (См. Прим. XXI).
Предыдущие построения могут быть упрощены, потому что вместо четырех попарно параллельных трансверсалей можно провести только три, из которых две должны выходить из рассматриваемой точки кривой, a третья может быть проведена произвольно. Это видоизменение в решении рассматриваемых задач основывается на прекрасном общем свойстве геометрических кривых, данном Карно в Géométrie de position, p. 291.
Понселе также дает построение касательных к геометрическим кривым в мемуаре, представлевном Парижской Академии Наук в сентябре 1831 года: Analyse des transversales, appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques (Crelle's Journal, t. VII, p. 229).

[1]

[1]