Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XXI

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов — Примечание XXI
автор Мишель Шаль, пер. Василий Яковлевич Цингер
Язык оригинала: французский. Название в оригинале: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Дата создания: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: М. Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — Москва: М. Катков, 1883. — Т. II. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XXI в дореформенной орфографии


Об овалах Декарта, или об апланетических линиях

Примечание к n° 18


[326]Кетле в своей прекрасной теории вторичных каустических линий (caustiques secondaires), представляющих собою развертывающие каустических линий Чирнгаузена, нашел, что вторичные каустические линии при отражении и преломления на круге, освещенном одною светящеюся [327]точкой, суть овалы Декарта, или апланетические линии[1]. В то же самое время Штурм[2] с своей стороны пришел к тому же результату, представляющему второе приложение к диоптрике овалов, изобретенных Декартом именно для этой науки.

Теорему Кетле можно выразить геометрически в таких словах:

На плоскости даются два неподвижные круга; если будем перемещать центр третьего круга по окружности первого, радиус же брать пропорционально расстоянию — его центра от окружности второго круга, то огибающая подвижного круга будет кривая четвертого порядка, представляющая совокупность двух сопряженных овалов Декарта.

Между различными интересными свойствами, найденными Кетле в этой кривой, мы укажем здесь два способа образования её на поверхностях, или, по выражению древних, посредством loca ad superficiem.

Первый способ: «Вообразим себе шар и прямой конус и сделаем стереографическую проекцию кривой пересечения этих двух поверхностей, поместив глаз в конце того диаметра шара, который параллелен оси конуса и взяв за плоскость проекции — плоскость, перпендикулярную к оси конуса, в проекции получим апланетическую линию»[3].

Второй способ: «Представим себе два прямые конуса, вершины которых находятся в различных точках и оси которых параллельны; пересечение этих двух конусов пролагается на плоскость перпендикулярную к их осям по апланетической линии»[4]. [328]

Оба эти способа образования дают в совокупности два овала, составляющие полную апланетическую линию; с помощью их удобно обнаруживаются различные формы, в которых могут являться эти кривые и в особенности те, которые ускользнули от анализа Декарта.

Мы нашли, что вторая теорема может быть обобщена следующим образом.

«Если два косые конуса имеют основаниями две окружности в одной плоскости и если прямые, соединяющие центры оснований с вершинами соответственных конусов, пересекаются в пространстве в одной точке, то третий конус, имеющий эту точку вершиною и проходящий через кривую пересечения первых двух конусов, пересекает плоскость их оснований по кривой четвертого порядка, которая есть апланетическая линия»[5].

Апланетическия линии можно получать на плоскости, не прибегая к местам на поверхности и к проекциям, посредством следующего построения, которое ведет к цели скорее, нежели построение Декарта, и имеет еще то преимущество, что доставляет за раз оба сопряженные овала.

На плоскости даны два круга; если около точки, взятой на линии, соединяющей центры обоих кругов, будем вращать секущую, пересекающую каждый из кругов в двух точках, то радиусы, проводимые из центров кругов к соответственным точкам пересечения с секущей, будут встречаться между собою в четырех точках, геометрическое место которых есть полная апланетическая линия, имеющая фокусами центры обоих кругов.

Построение это вытекает прямо из Птоломеевой теоремы о треугольнике, пересеченном трансверсалью. Действительно, теорема эта в приложении к нашей фигуре показывает, [329]что в каждой точке описываемой кривой отношение расстояний этой точки от двух окружностей есть величина постоянная.

Такой способ черчения имеет еще то преимущество, что он без всякого нового построения дает касательные к кривой; в самом деле, каждой точке кривой соответствуют по построению две точки на двух окружностях и касательные к кривой и к двум кругам в этих трех точках проходят через одну и ту же точку, как это легко доказать при помощи одной геометрической теоремы[6].

Всегда полезно знать как можно более различных способов построения одной и той же кривой, потому что каждое из них выражает отличительное свойство кривой, из которого естественно проистекают многие другие свойства, не столь легко выводимые из других способов построения.

В предыдущих способах построения кривой мы пользовались обоими её фокусами; но есть еще способ в котором употребляется только один фокус и который представляет еще многие другие преимущества; именно:

Даны круг и в его плоскости произвольная неподвижная точка; если из этой точки проведем радиус-вектор к точке окружности и еще другую прямую, образующую с постоянной осью угол вдвое больший угла между радиусом-вектором с тою-же осью, за тем на этой второй прямой отложим, начиная от названной точки, отрезок, пропорциональный квадрату радиуса-вектора, то геометрическим местом конца этого отрезка будет апланетическая линия, состоящая из двух сопряженных овалов и имеющая фокусом неподвижную точку.

Так как здесь апланетическая линия выводится прямо из круга, то теорема эта особенно удобна для открытия многих свойств кривой. Так например, известные свойства [330]двух и трех кругов непосредственно могут быть применены к системе двух и трех апланетических линий, имеющих общий фокус.

Чтобы воспользоваться этою теоремою, заметим еще, что в том случае, когда конец радиуса-вектора описывает вместо круга прямую линию, мы получаем параболу, имеющую фокус в неподвижной точке.

Когда, например, две прямые вращаются около двух неподвижных точек, образуя угол постоянной величины, то точка пересечения их описывает круг; отсюда мы заключаем:

Положим, что мы имеем две группы парабол, которые все имеют общий фокус и из которых одни проходят через одну, — другие же через другую неподвижную точку; если будем брат из обеих групп те параболы, оси которых составляют постоянный угол, то точки пересечения таких двух парабол будут лежат на апланетической линии.

Теорема эта ведет ко многим следствиям, исследованием которых мы здесь заняться не можем[7].

Апланетическия линии обладают еще одним замечательным свойством, которое, как мне кажется, не было еще никем указано: они имеют именно не два, a всегда три фокуса, т. е. кроме двух фокусов, служащих для построения, существует еще третий, который с каждым из двух первых играет такую же роль, как и те между собою. Рассмотрение трех фокусов в особенности удобно для изучения всевозможных форм апланетических линий.

Когда один из фокусов удаляется в бесконечность, то кривая обращается в коническое сечение, удерживая два остальные фокусы. [331]

Когда два фокуса совпадают, то кривая имеет узел; она обращается в улиткообразную Паскаля (limaçon) и имеет также два фокуса.

Наконец апланетические линии отличаются еще общим родовым характером, который указывает свойственное им место между многочисленными кривыми четвертого порядка; они имеют именно две мнимые сопряженные точки, лежащие в бесконечности. Отсюда мы заключаем, что к такой кривой из внешней точки можно вообще провести восемь касательных и во всяком случае не более.

Примечания

  1. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles, t. III.
  2. Annales des mathématiques de Gergonne. t. XV.
  3. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles, t. V и дополнение Кетле к Traité de la Lumière Гершеля, стр. 403.
  4. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles, t. V и дополнение Кетле к Traité de la Lumière Гершеля, стр. 397.
  5. Первую теорему можно также обобщить и рассматривать апланетнческия линии, вместо конуса, на какой угодно поверхности второго порядка.
  6. Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 116.
  7. Отсюда выводится, между прочим, теорема, которую употребляет Кетле в Mémoire sur quelques constructions graphiques des orbites planétaires (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III).