Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/330

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта страница была вычитана

что въ каждой точкѣ описываемой кривой отношеніе разстояній этой точки отъ двухъ окружностей есть величина постоянная.

Такой способъ черченія имѣетъ еще то преимущество, что онъ безъ всякаго новаго построенія даетъ касательныя къ кривой; въ самомъ дѣлѣ, каждой точкѣ кривой соотвѣтствуютъ по построенію двѣ точки на двухъ окружностяхъ и касательныя къ кривой и къ двумъ кругамъ въ этихъ трехъ точкахъ проходятъ черезъ одну и ту же точку, какъ это легко доказать при помощи одной геометрической теоремы[1].

Всегда полезно знать какъ можно болѣе различныхъ способовъ построенія одной и той же кривой, потому что каждое изъ нихъ выражаетъ отличительное свойство кривой, изъ котораго естественно проистекаютъ многія другія свойства, не столь легко выводимыя изъ другихъ способовъ построенія.

Въ предыдущихъ способахъ построенія кривой мы пользовались обоими ея фокусами; но есть еще способъ въ которомъ употребляется только одинъ фокусъ и который представляетъ еще многія другія преимущества; именно:

Даны кругъ и въ его плоскости произвольная неподвижная точка; если изъ этой точки проведемъ радіусъ-векторъ къ точкѣ окружности и еще другую прямую, образующую съ постоянной осью уголъ вдвое большій угла между радіусомъ-векторомъ съ тою-же осью, за тѣмъ на этой второй прямой отложимъ, начиная отъ названной точки, отрѣзокъ, пропорціональный квадрату радіуса-вектора, то геометрическимъ мѣстомъ конца этого отрѣзка будетъ апланетическая линія, состоящая изъ двухъ сопряженныхъ оваловъ и имѣющая фокусомъ неподвижную точку.

Такъ какъ здѣсь апланетическая линія выводится прямо изъ круга, то теорема эта особенно удобна для открытія многихъ свойствъ кривой. Такъ напримѣръ, извѣстныя свойства

  1. Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 116.
Тот же текст в современной орфографии

что в каждой точке описываемой кривой отношение расстояний этой точки от двух окружностей есть величина постоянная.

Такой способ черчения имеет еще то преимущество, что он без всякого нового построения дает касательные к кривой; в самом деле, каждой точке кривой соответствуют по построению две точки на двух окружностях и касательные к кривой и к двум кругам в этих трех точках проходят через одну и ту же точку, как это легко доказать при помощи одной геометрической теоремы[1].

Всегда полезно знать как можно более различных способов построения одной и той же кривой, потому что каждое из них выражает отличительное свойство кривой, из которого естественно проистекают многие другие свойства, не столь легко выводимые из других способов построения.

В предыдущих способах построения кривой мы пользовались обоими её фокусами; но есть еще способ в котором употребляется только один фокус и который представляет еще многие другие преимущества; именно:

Даны круг и в его плоскости произвольная неподвижная точка; если из этой точки проведем радиус-вектор к точке окружности и еще другую прямую, образующую с постоянной осью угол вдвое больший угла между радиусом-вектором с тою-же осью, за тем на этой второй прямой отложим, начиная от названной точки, отрезок, пропорциональный квадрату радиуса-вектора, то геометрическим местом конца этого отрезка будет апланетическая линия, состоящая из двух сопряженных овалов и имеющая фокусом неподвижную точку.

Так как здесь апланетическая линия выводится прямо из круга, то теорема эта особенно удобна для открытия многих свойств кривой. Так например, известные свойства

  1. Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 116.