Оба эти способа образованія даютъ въ совокупности два овала, составляющіе полную апланетическую линію; съ помощію ихъ удобно обнаруживаются различныя формы, въ которыхъ могутъ являться эти кривыя и въ особенности тѣ, которыя ускользнули отъ анализа Декарта.
Мы нашли, что вторая теорема можетъ быть обобщена слѣдующимъ образомъ.
«Если два косые конуса имѣютъ основаніями двѣ окружности въ одной плоскости и если прямыя, соединяющія центры основаній съ вершинами соотвѣтственныхъ конусовъ, пересѣкаются въ пространствѣ въ одной точкѣ, то третій конусъ, имѣющій эту точку вершиною и проходящій черезъ кривую пересѣченія первыхъ двухъ конусовъ, пересѣкаетъ плоскость ихъ основаній по кривой четвертаго порядка, которая есть апланетическая линія»[1].
Апланетическія линіи можно получать на плоскости, не прибѣгая къ мѣстамъ на поверхности и къ проэкціямъ, посредствомъ слѣдующаго построенія, которое ведетъ къ цѣли скорѣе, нежели построеніе Декарта, и имѣетъ еще то преимущество, что доставляетъ за разъ оба сопряженные овала.
На плоскости даны два круга; если около точки, взятой на линіи, соединяющей центры обоихъ круговъ, будемъ вращать сѣкущую, пересѣкающую каждый изъ круговъ въ двухъ точкахъ, то радіусы, проводимые изъ центровъ круговъ къ соотвѣтственнымъ точкамъ пересѣченія съ сѣкущей, будутъ встрѣчаться между собою въ четырехъ точкахъ, геометрическое мѣсто которыхъ есть полная апланетическая линія, имѣющая фокусами центры обоихъ круговъ.
Построеніе это вытекаетъ прямо изъ Птоломеевой теоремы о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью. Дѣйствительно, теорема эта въ приложеніи къ нашей фигурѣ показываетъ,
- ↑ Первую теорему можно также обобщить и разсматривать апланетнческія линіи, вмѣсто конуса, на какой угодно поверхности втораго порядка.
Оба эти способа образования дают в совокупности два овала, составляющие полную апланетическую линию; с помощью их удобно обнаруживаются различные формы, в которых могут являться эти кривые и в особенности те, которые ускользнули от анализа Декарта.
Мы нашли, что вторая теорема может быть обобщена следующим образом.
«Если два косые конуса имеют основаниями две окружности в одной плоскости и если прямые, соединяющие центры оснований с вершинами соответственных конусов, пересекаются в пространстве в одной точке, то третий конус, имеющий эту точку вершиною и проходящий через кривую пересечения первых двух конусов, пересекает плоскость их оснований по кривой четвертого порядка, которая есть апланетическая линия»[1].
Апланетическия линии можно получать на плоскости, не прибегая к местам на поверхности и к проекциям, посредством следующего построения, которое ведет к цели скорее, нежели построение Декарта, и имеет еще то преимущество, что доставляет за раз оба сопряженные овала.
На плоскости даны два круга; если около точки, взятой на линии, соединяющей центры обоих кругов, будем вращать секущую, пересекающую каждый из кругов в двух точках, то радиусы, проводимые из центров кругов к соответственным точкам пересечения с секущей, будут встречаться между собою в четырех точках, геометрическое место которых есть полная апланетическая линия, имеющая фокусами центры обоих кругов.
Построение это вытекает прямо из Птоломеевой теоремы о треугольнике, пересеченном трансверсалью. Действительно, теорема эта в приложении к нашей фигуре показывает,
- ↑ Первую теорему можно также обобщить и рассматривать апланетнческия линии, вместо конуса, на какой угодно поверхности второго порядка.
