Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/331

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта страница была вычитана

двухъ и трехъ круговъ непосредственно могутъ быть примѣнены къ системѣ двухъ и трехъ апланетическихъ линій, имѣющихъ общій фокусъ.

Чтобы воспользоваться этою теоремою, замѣтимъ еще, что въ томъ случаѣ, когда конецъ радіуса-вектора описываетъ вмѣсто круга прямую линію, мы получаемъ параболу, имѣющую фокусъ въ неподвижной точкѣ.

Когда, напримѣръ, двѣ прямыя вращаются около двухъ неподвижныхъ точекъ, образуя уголъ постоянной величины, то точка пересѣченія ихъ описываетъ кругъ; отсюда мы заключаемъ:

Положимъ, что мы имѣемъ двѣ группы параболъ, которыя всѣ имѣютъ общій фокусъ и изъ которыхъ однѣ проходятъ черезъ одну, — другія же черезъ другую неподвижную точку; если будемъ братъ изъ обѣихъ группъ тѣ параболы, оси которыхъ составляютъ постоянный уголъ, то точки пересѣченія такихъ двухъ параболъ будутъ лежатъ на апланетической линіи.

Теорема эта ведетъ ко многимъ слѣдствіямъ, изслѣдованіемъ которыхъ мы здѣсь заняться не можемъ[1].

Апланетическія линіи обладаютъ еще однимъ замѣчательнымъ свойствомъ, которое, какъ мнѣ кажется, не было еще никѣмъ указано: онѣ имѣютъ именно не два, a всегда три фокуса, т.-е. кромѣ двухъ фокусовъ, служащихъ для построенія, существуетъ еще третій, который съ каждымъ изъ двухъ первыхъ играетъ такую же роль, какъ и тѣ между собою. Разсмотрѣніе трехъ фокусовъ въ особенности удобно для изученія всевозможныхъ формъ апланетическихъ линій.

Когда одинъ изъ фокусовъ удаляется въ безконечность, то кривая обращается въ коническое сѣченіе, удерживая два остальные фокусы.

  1. Отсюда выводится, между прочимъ, теорема, которую употребляетъ Кетле въ Mémoire sur quelques constructions graphiques des orbites planétaires (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III).
Тот же текст в современной орфографии

двух и трех кругов непосредственно могут быть применены к системе двух и трех апланетических линий, имеющих общий фокус.

Чтобы воспользоваться этою теоремою, заметим еще, что в том случае, когда конец радиуса-вектора описывает вместо круга прямую линию, мы получаем параболу, имеющую фокус в неподвижной точке.

Когда, например, две прямые вращаются около двух неподвижных точек, образуя угол постоянной величины, то точка пересечения их описывает круг; отсюда мы заключаем:

Положим, что мы имеем две группы парабол, которые все имеют общий фокус и из которых одни проходят через одну, — другие же через другую неподвижную точку; если будем брат из обеих групп те параболы, оси которых составляют постоянный угол, то точки пересечения таких двух парабол будут лежат на апланетической линии.

Теорема эта ведет ко многим следствиям, исследованием которых мы здесь заняться не можем[1].

Апланетическия линии обладают еще одним замечательным свойством, которое, как мне кажется, не было еще никем указано: они имеют именно не два, a всегда три фокуса, т. е. кроме двух фокусов, служащих для построения, существует еще третий, который с каждым из двух первых играет такую же роль, как и те между собою. Рассмотрение трех фокусов в особенности удобно для изучения всевозможных форм апланетических линий.

Когда один из фокусов удаляется в бесконечность, то кривая обращается в коническое сечение, удерживая два остальные фокусы.

  1. Отсюда выводится, между прочим, теорема, которую употребляет Кетле в Mémoire sur quelques constructions graphiques des orbites planétaires (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III).