Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Успехи чистой геометрии/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Четвертая эпоха:
Успѣхи чистой геометріи. — Галлей. — Arithmetica universalis и Principia Ньютона. — Treatise of fluxions Маклорена. — Симсонъ. — Стевартъ — Ламбертъ.

авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Успехи чистой геометрии/ДО въ новой орѳографіи


Четвертая эпоха, n° 12-38.


[178] 12. Успѣхи чистой геометріи. Возвратимся къ геометріи теоретической и попытаемся дать отчетъ о характерѣ и размѣрахъ изслѣдованій, способствовавшихъ ея развитію; для этого мы представимъ разборъ главныхъ сочиненій геометровъ, изучавшихъ эту науку или для нея самой, или чтобы пользоваться ею какъ пособіемъ при изученіи явленій природы. [179]

Галлей (1656 — 1742). Знаменитый астрономъ Галлей, обладавшій обширными свѣдѣніями и отличавшійся особенно глубокимъ знаніемъ геометріи греческой школы, соорудилъ превосходный памятникъ древней наукѣ своими переводами важнѣйшихъ сочиненій древнихъ геометровъ, болѣе вѣрными, чѣмъ всѣ предшествовавшіе. Особенно замѣчательно великолѣпное изданіе коническихъ сѣченій Аполлонія, гдѣ съ замѣчательнымъ талантомъ возстановлена 8-я книга, текстъ которой до сихъ поръ не былъ еще найденъ. Продолженіе составляютъ двѣ книги Серена о сѣченіяхъ конуса и цилиндра.

Галлею же мы обязаны переводомъ съ арабской рукописи неизвѣстнаго до тѣхъ поръ сочиненія De sectione rationis и возстановленіемъ, на основаніи указаній Паппа, трактата De sectione spatii.

Предметъ этихъ двухъ сочиненій состоялъ, какъ извѣстно, въ проведеніи черезъ точку, взятую внѣ двухъ линій, такой сѣкущей, которая на этихъ прямыхъ, начиная отъ двухъ постоянныхъ точекъ, образовала бы отрѣзки, имѣющіе въ первомъ случаѣ данное отношеніе, a во второмъ — данное произведеніе.

Каждый изъ этихъ вопросовъ допускаетъ вообще два рѣшенія и слѣдовательно въ анализѣ приводился бы къ уравненію второй степени. Интересно видѣть, съ какимъ искуствомъ Аполлоній рѣшаетъ первый вопросъ помощію средней пропорціональной. Его геометрическія соображенія соотвѣтствуютъ дѣйствіямъ, которыя мы употребили бы для уничтоженія втораго члена въ квадратномъ уравненіи.

Ньютонъ, питавшій уваженіе къ геометріи древнихъ, особенно отличалъ этотъ трактатъ Аполлонія. „Я слышалъ не разъ, говоритъ ученый Пембертонъ[1], что онъ одобрялъ намѣреніе Гуго Омерика возстановить древній анализъ и чрезвычайно [180]хвалилъ книгу Аполлонія De sectione rationis, — книгу, которая болѣе всѣхъ твореній древности раскрываетъ передъ нами сущность этого анализа“.

Переводъ Галлея обогащенъ многими примѣчаніями; въ нихъ даны общія и изящныя построенія, обнимающія собою большинство частныхъ случаевъ задачи, разсматриваемыхъ Аполлоніемъ отдѣльно и весьма подробно, такъ какъ они имѣли назначеніе служить формулами, которыя всякій геометръ долженъ былъ имѣть подъ руками при рѣшеніи задачъ. Изъ одного примѣчанія видно, что самый общій случай приводится къ проведенію черезъ данную точку дкухъ касательныхъ къ параболѣ, опредѣляемой вполнѣ посредствомъ данныхъ вопроса. Это счастливое замѣчаніе даетъ средство для яснаго и простаго изслѣдованія всѣхъ частныхъ случаевъ задачи; оно привело Галлея къ различнымъ свойствамъ касательныхъ къ параболѣ, между прочимъ къ слѣдующему:

Если около параболы описанъ четыреугольникъ, то всякая касательная дѣлитъ противоположныя стороны его на части пропорціональныя.

Всѣ подобныя предложенія суть только частные случаи одного общаго предложенія, названнаго нами ангармоническимъ свойствомъ касательныхъ коническаго сѣченія. (См. Примѣчаніе XVI).

Галлей не зналъ ни слова по арабски, когда любовь къ геометріи заставила его предпринять переводъ рукописи de sectione rationis. Въ предисловіи онъ разсказываетъ исторію этой рукописи, остававшейся въ теченія многихъ лѣтъ забытою въ Бодлейенской библіотекѣ. Онъ сожалѣетъ объ утратѣ множества другихъ сочиненій греческой школы и не сомнѣвается, что многія изъ нихъ могли бы еще быть найдены, если бы съ большимъ стараніемъ позаботились объ этомъ. По этому поводу онъ обращается съ мольбою ко всѣмъ ученымъ, которымъ доступны библіотеки, обладающія рукописями. Мы считаемъ долгомъ привести здѣсь эти мысли и желанія знаменитаго Галлея, которыя должны имѣть важное значеніе въ глазахъ всѣхъ просвѣщенныхъ людей, имѣющихъ [181]возможность какимъ бы то ни было образомъ принести пользу математическимъ наукамъ.

Галлеемъ было приготовлено изданіе сферики Менелая въ трехъ книгахъ, свѣренное съ еврейскою рукописью. Но оно появилось только въ 1758 году, благодаря стараніямъ друга Галлея доктора Костарда, автора исторіи астрономіи.

Съ глубокимъ знаніемъ геометріи древнихъ Галлей соединялъ полное пониманіе способа Декарта. Онъ пользовался имъ преимущественно для усовершенствованія пріемовъ построенія уравненій третьей и четвертой степени, употребляя для этой цѣли какую нибудь данную параболу и кругъ[2].

Его изданія сочиненій Аполлонія, Серена и Менелая весьма высоко цѣнятся любителями геометріи[3]; ихъ однихъ было бы достаточно, чтобы дать Галлею почетное мѣсто въ ряду ученыхъ, способствовавшихъ развитію математическихъ наукъ, если бы труды по астрономіи безъ того не ставили его на ряду съ знаменитѣйшими людьми той эпохи: Доминикомъ Кассини, Гюйгенсомъ и Ньютономъ.

13. Хотя Ньютонъ и Маклоренъ, о прекрасныхъ изысканіяхъ которыхъ въ теоріи геометрическихъ кривыхъ мы уже говорили, не писали особо о геометріи древнихъ, однако они такъ высоко цѣнили способы древнихъ, что почти исключительно употребляли ихъ въ своихъ физико-математическихъ изслѣдованіяхъ. Поэтому мы должны бросить еще взглядъ на сочиненія этихъ геометровъ.

Изъ трудовъ Ньютона мы остановимся на Arithmetica universalis и на его большомъ сочиненія Principia.

Arithmetica universalis[4] есть превосходный образецъ приложенія способа Декарта къ рѣшенію геометрическихъ вопросовъ и къ построенію корней уравненій; здѣсь находится [182]множество разнообразныхъ предложеній, относящихся ко всѣмъ отдѣламъ математики. Это сочиненіе въ наше время читаютъ слишкомъ мало, забывая вѣроятно, что знаменитый авторъ, излагая здѣсь свои лекціи, читанныя въ Кембриджскомъ университетѣ, считалъ это сочиненіе способнымъ ознакомить его слушателей съ наукой и со всѣми знаніями, необходимыми для геометра.

14. Первая книга Prinsipia содержитъ множество различныхъ предложеній чистой геометріи. Особенно замѣчательны прекрасныя свойства коническихъ сѣченій и задачи о построеніи этихъ кривыхъ по даннымъ точкамъ и касательнымъ, или также по данному при этомъ фокусу. Подобныя изысканія были въ то время по большей части новы; они служили Ньютону вступленіемъ къ объясненію всѣхъ небесныхъ явленій изъ его закона всеобщаго тяготѣнія и къ выводу a priori и вычисленію при помощи этого единственнаго начала движенія всѣхъ небесныхъ тѣлъ. Этимъ Ньютонъ оказалъ величайшую почесть изслѣдованіямъ древнихъ геометровъ о коническихъ сѣченіяхъ, послѣ того, какъ Кеплеръ изъ нихъ же почерпнулъ открытіе истинной формы планетныхъ орбитъ.

Въ настоящее время почти совсѣмъ не употребляются геометрическія предложенія и многочисленныя свойства коническихъ сѣченій, которыя необходимы для изслѣдованія вопросовъ о системѣ міра по способу Ньютона; этимъ объясняется, почему такой способъ, независимо отъ выгодъ, представляемыхъ способомъ аналитическимъ, теперь оставленъ и почему его считаютъ долгимъ и труднымъ и не ожидаютъ отъ него ничего, или почти ничего, въ будущемъ. Такое мнѣніе усиливается съ каждымъ днемъ, потому что анализъ, которымъ всѣ занимаются исключительно, дѣлаетъ постоянные успѣхи и вмѣстѣ съ тѣмъ упрощаются и совершенствуются болѣе и болѣе тѣ первые аналитическіе пріемы, которые замѣнили собою способъ Ньютона. Послѣдній же, оставленный безъ разработки, остается въ томъ же состояніи, въ какомъ онъ вышелъ изъ рукъ своего знаменитаго автора. [183]И когда эти способы сравниваютъ между собою, никто не указываютъ на первоначальныя попытки аналистовъ, когда прекрасные выводы Ньютона превращены были сначала въ тяжелый и неизящный анализъ, совершенствовавшійся потомъ съ каждымъ днемъ, благодаря постояннымъ усиліямъ знаменитѣйшихъ геометровъ. Отчего же при этомъ не принимаютъ по крайней мѣрѣ въ соображеніе тѣхъ усовершенствованій, которыя могли бы быть сдѣланы въ геометрическомъ способѣ, дающемъ иногда такіе наглядные результаты, если бы только онъ не былъ совершенно оставленъ?

Внимательный разборъ различныхъ предложеній чистой геометріи, употребляемыхъ въ Prinsipia Ньтотона, даетъ намъ понятіе о томъ, каковы бы могли быть эти усовершенствованія. Такъ мы узнаемъ, что эти предложенія, кажущіяся совершенно различными и доказываемыя каждое особымъ способомъ, могутъ быть приведены къ двумъ, или тремъ главнымъ свойствамъ коническихъ сѣченій, изъ которыхъ они проистекаютъ, какъ частные случаи, или простыя слѣдствія. Такимъ образомъ теперь новый комментарій къ Prinsipia Ньтотона, составленный въ духѣ и со средствами новой геометріи, сократилъ и упростилъ бы въ высшей степени чтеніе этого безсмертнаго сочиненія.

15. Покажемъ теперь, что предложенія Ньютона могутъ, какъ мы сказали, быть выведены только изъ двухъ, или трехъ, болѣе общихъ свойствъ коническихъ сѣченій.

Въ предложеніяхъ 19, 20 и 21 рѣшены всѣ задачи о построеніи коническаго сѣченія, имѣющаго данный фокусъ и касающагося данныхъ прямыхъ, или проходящаго черезъ данныя точки. Но рѣшеніе всѣхъ подобныхъ вопросовъ непосредственно приводится теперь къ такимъ же вопросамъ о кругѣ, удовлетворяющемъ тремъ условіямъ, посредствомъ или теоріи гомологическихъ фигуръ, какъ это показалъ Понселе, или посредствомъ поляръ, какъ это указано нами (Annales de mathématiques, t. XVIII.)

Леммы 17, 18 и 19 представляютъ свойство четыреугольника, вписаннаго въ коническое сѣченіе, или теорему древнихъ [184]ad quatuor lineas. Мы показали, что эта теорема чрезвычайно легко выводится изъ предложенія, названнаго нами ангармоническимъ свойствомъ точекъ коническаго сѣченія. Свойство же это доказывается съ совершенною очевидностію безъ помощи всякаго другаго свойства коническихъ сѣченій. (См. Примѣчаніе ХV).

Леммы 20 и 21 имѣютъ предметомъ образованіе коническихъ сѣченій посредствомъ пересѣченія двухъ прямыхъ, вращающихся около неподвижныхъ полюсовъ.

Въ первой изъ этихъ леммъ вращающіяся прямыя проводятся черезъ точки пересѣченія параллельныхъ сѣкущихъ съ двумя неподвижными прямыми. Объ этой теоремѣ мы упоминали, говоря о Де-Виттѣ, и указали частный случай ея въ сочиненіи Кавальери. [См. гл. III, n° 8.]

Если бы сѣкущія не были параллельны, a проходили бы черезъ одну точку, то получалась бы во всей общности теорема Маклорена и Брайкенриджа; мы видѣли, что она, изложенная въ иной формѣ, ведетъ къ теоремѣ Паскаля о шестиугольникѣ; въ Примѣчаніе ХV показано, что она непосредственно выводится изъ ангармоническаго свойства точекъ коническаго сѣченія.

Въ 21 леммѣ вращающіяся прямыя суть стороны двухъ постоянныхъ по величинѣ угловъ, другія стороны которыхъ пересѣкаются на неизмѣняемой прямой. Этотъ способъ органическаго образованія коническихъ сѣченій изложенъ Ньютономъ также въ Enumeratio linearum tertii ordinis и въ Arithmetica universalis. Мы показали уже (въ томъ же Примѣчаніи, [n° 8]), что этотъ способъ образованія, который доказывался всегда довольно длиннымъ путемъ, выводится необыкновенно легко, подобно предыдущему, изъ того же ангармоническаго свойства.

Леммы 23, 24 и 25 съ ихъ слѣдствіями представляютъ частные случаи общаго свойства четыреугольника, описаннаго около коническаго сѣченія, — свойства сходнаго съ общимъ свойствомъ вписаннаго четыреугольника и названнаго [185]нами ангармоническимъ свойствомъ касательныхъ коническаго сѣченія. (См Примѣчаніе XVI.)

3-е слѣдствіе 25-Й леммы представляетъ слѣдующее прекрасное предложеніе, которое было потомъ доказано разными способами: «во всякомъ четыреугольникѣ, описанномъ около коническаго сѣченія, прямая проведенная черезъ средины діагоналей, проходитъ черезъ центръ кривой».

Многія предложенія относятся къ задачѣ о построеніи коническаго сѣченія по даннымъ пяти условіямъ, именно по давнымъ точкамъ и касательнымъ. Всѣ подобные вопросы, какъ извѣстно, рѣшаются теперь очень просто.

Лемма 22 служитъ къ преобразованію однихъ фигуръ въ другія того же рода. Въ слѣдующихъ предложеніяхъ Ньютонъ ею пользуется для превращенія прямыхъ, проходящихъ черезъ одну точку, въ прямыя параллельныя между собою съ цѣлію облегчить рѣшеніе нѣкоторыхъ вопросовъ. Въ третьей эпохѣ мы говорили объ этомъ пріемѣ и показали тамъ, что онъ есть ни что иное, какъ одинъ изъ способовъ перспективы. Намъ кажется, что замѣчаніе это можетъ облегчить пониманіе этого пріема.

16. Во всѣхъ предварительныхъ предложеніяхъ и ихъ слѣдствіяхъ Ньютонъ ограничивалъ свои изысканія только тѣмъ, что ему было рѣшительно необходимо для его великаго предпріятія. Но изъ самой сущности его предложеній видно, что еслибы онъ имѣлъ въ виду развитіе и усовершенствованіе теоріи коническихъ сѣченій, то эти предложенія привели бы его безъ труда къ естественному обобщенію полученныхъ уже имъ результатовъ, т.-е. къ болѣе общимъ свойствамъ коническихъ сѣченій.

Отъ него не ускользнуло бы также и то, что его способъ преобразованія фигуръ прилагается естественнымъ образомъ также къ фигурамъ трехъ измѣреній; тогда мы за цѣлые полтора вѣка ранѣе узнали бы то, что сдѣлано было только въ самое недавнее время; напримѣръ преобразованіе сферы во всякую поверхность втораго порядка, подобно тому, какъ [186]со временъ Дезарга и Паскаля преобразовываютъ помощію перспективы кругъ для открытія и изслѣдованія свойствъ коническихъ сѣченій.

Самъ Ньютонъ не имѣлъ въ виду подобныхъ обобщеній. Но они не могли бы остаться незамѣченными тѣми геометрами, которые захотѣли бы подумать надъ чисто-геометрическимъ отдѣломъ Principia; это обстоятельство ясно показываетъ, какъ мало послѣ того времени разрабатывалась геометрія.

17. Въ сочиненіи Ньютона дано было въ первый разъ распрямленіе эпициклоидъ. До тѣхъ поръ не было ничего писано объ этихъ знаменитыхъ кривыхъ, хотя онѣ, по свидѣтельству Лейбница, были изобрѣтены еще за десять лѣтъ до этого времени Ремеромъ. По словамъ Де-Лагира первое открытіе этихъ кривыхъ и употреблевіе ихъ при построеніи зубчатыхъ колесъ восходитъ даже до Дезарга, геній котораго, мало цѣнимый въ настоящее время, былъ дѣйствительно достаточенъ для такаго важнаго и полезнаго открытія. Черезъ нѣсколько лѣтъ послѣ изданія сочиненія Ньютона появилоcь сочиненіе Де-Лагира Traité géométrique des épicycloïdes.

Прибавленіе. Эпициклоиды разсматривались еще въ самыя отдаленныя времена, потому что они играли важную роль въ астрономической системѣ Птоломея. Но характеръ и свойства этихъ кривыхъ, кажется, вовсе не изучались въ то время геометрическимъ путемъ. Альбертъ Дюреръ помѣстилъ ихъ въ число кривыхъ, которыя можно построить по точкамъ, и говорилъ, что онѣ могутъ быть полезны въ строительномъ искуствѣ; но онъ также не изучалъ ни одного свойства ихъ.

Первая эпициклоида, свойства которой были найдены, указана Карданомъ: это — линія, образуемая точкою окружности, катящейся по вогнутой сторонѣ другой окружности, имѣющей вдвое большій радіусъ; линія эта, какъ извѣстно, есть прямая. Карданъ доказалъ это предложеніе въ книгѣ подъ заглавіемъ: Opus novum de proportionibus numerorum, motuum, etc. (prop. 173, p. 186).

Потомъ въ 1678 году Гюйгенсъ нашелъ, что огибающая отраженныхъ волнъ при отраженіи параллельныхъ лучей отъ окружности есть эпициклоида, образуемая точкою окружности, катящейся [187]по вогнутой сторонѣ освѣщаемаго круга; при этомъ діаметръ первой окружности, вчетверо менѣе второй. Гюйгенсъ показалъ распрямленіе и квадратуру такой эпициклоиды (Tractatus de lumine, cap. VI).

Около того же времени Де-Лагиръ обнаружилъ, что каустическая Чирнгаузена при отраженіи кругомъ параллельныхъ лучей есть также эпициклоида, образуемая точкою круга, катящагося по выпуклой сторонѣ неподвижнаго круга, имѣющаго діаметръ вдвое большій.

Эта кривая есть развертка эпициклоиды Гюйгенса.

Вотъ, сколько мнѣ извѣстно, первыя эпициклоиды, нѣкоторыя геометрическія свойства которыхъ были изучены. Кривыя эти встрѣчались потомъ во мвогихъ другихъ вопросахъ физики и механики, гдѣ онѣ играютъ замѣтную роль.

18. Укажемъ еще въ книгѣ Principia на знаменитые овалы, которые изобрѣтены были Декартомъ, какъ кривыя, собирающія посредствомъ преломленія въ одинъ фокусъ всѣ лучи, исходящія изъ одной точки, подобно тому, какъ эллипсъ и гипербола собираютъ лучи параллельные[5]. Ньютонъ показываетъ очень просто, что эти кривыя представляютъ геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ отъ двухъ окружностей находятся въ постоянномъ отношеніи. Это же самое видно изъ геометрическаго построенія Декарта и Гюйгенсъ прямо, безъ всякаго доказательства, получилъ такое же заключеніе изъ теоріи волнъ въ его трактатѣ о свѣтѣ.

Сдѣлаемъ здѣсь одно замѣчаніе о геометріи Декарта, замѣчаніе, котораго мы не имѣли случая высказать ранѣе. Геометрическое построеніе оваловъ удовлетворяло той цѣли, для которой знаменитый философъ назначалъ ихъ въ своей діоптрикѣ; но оно не было достаточно для полнаго изслѣдованія этихъ кривыхъ. Ни Роберваль, который, спустя немного времени, далъ построеніе оваловъ и изслѣдовалъ ихъ формы, ни Гюйгенсъ, ни Ньютонъ не были вполнѣ знакомы съ этими кривыми съ геометрической точки зрѣнія. Дѣло [188]въ томъ, что каждый овалъ, взятый въ отдѣльности, не представлялъ вполнѣ того геометрическаго мѣста, которое удовлетворяетъ свойству, указанному Ньютономъ, или уравненію четвертой стевеви, найденному Декартомъ: это геометрическое мѣсто состоитъ всегда изъ совокупности двухъ сопряженныхъ оваловъ (conjuguées), нераздѣльныхъ другъ отъ друга въ аналитическомъ выраженіи.

Замѣчаніе это ускользнуло отъ Декарта, какъ въ его Геометріи, такъ и въ Діоптрикѣ, также какъ отъ другихъ названныхъ нами знаменитыхъ геометровъ. Оно могло быть опущено въ Діоптрикѣ, но должно было, по нашему мнѣнію, быть указано въ Геометріи. Отъ этого произошло, что одна изъ формъ этихъ кривыхъ укрылась отъ анализа Декарта; это именно случай, когда два сопряженные овала имѣютъ одну общую точку и образуютъ одну кривую съ двойною точкой; кривая въ этомъ случаѣ есть ничто иное, какъ улиткообразная Паскаля (limaçon). Такимъ образомъ эта замѣчательная кривая, представляющая, какъ извѣстно, въ одно и тоже время круговую эпициклоиду и конхоиду, отличается еще тѣмъ до сихъ поръ незамѣченнымъ свойствомъ, что она, какъ и всѣ овалы Декарта, имѣетъ два фокуса.

Въ послѣднее время овалы опять появились въ геометріи. Знаменитый астрономъ Гершель назвалъ ихъ апланетическими линіями[6], имѣя въ виду употребленіе ихъ въ оптикѣ. Кетле открылъ въ нихъ особыя любопытныя свойства, которыя мы покажемъ въ Примѣчаніи XXI.

19. Маклоренъ, также какъ Ньютонъ, питалъ любовь къ чистой геометріи и также умѣлъ прилагать ее съ чрезвычайнымъ искуствомъ къ философскимъ изысканіямъ. Сочиненіе его Treatise of fluxions имѣло цѣлію показать связь и соотношеніе между способами Архимеда и Ньютона и доказать послѣдній способъ со всею строгостію греческой школы; въ этомъ сочиненіи мы находимъ множество синтетическихъ [189]доказательствъ для разнообразныхъ вопросовъ механики и высшей геометріи; анализъ не могъ бы быть въ этомъ случаѣ ни проще, ни быстрѣе. Всѣ знаютъ, съ какимъ изяществомъ и простотою рѣшилъ онъ этимъ путемъ важный вопросъ о видѣ земли; одного этого изслѣдованія достаточно, чтобы сдѣлать имя Маклорена безсмертнымъ.

Вопросъ состоялъ въ томъ, чтобы опредѣлить притяженіе эллипсоида вращенія на точки, лежащія внутри, или на поверхности. Изъ нѣкоторыхъ свойствъ коническихъ сѣченій Маклоренъ съумѣлъ извлечь средства, достаточныя для рѣшенія этого вопроса, всегда считавшагося самыми знаменитыми аналистами однимъ изъ труднѣйшихъ. Чтобы оцѣнить достоинство этого изслѣдованія и способа, употребленнаго Маклореномъ, мы приведемъ лучше всего мнѣніе, высказанное объ этомъ предметѣ знаменитымъ Лагранжемъ. Замѣтивъ, что есть вопросы, въ которыхъ геометрическій способъ древнихъ представляетъ преимущества передъ анализомъ, Лагранжъ прибавляетъ: „Задача объ опредѣленіи притяженія эллиптическаго сфероида на точку, помѣщенную на самой поверхности, или внутри ея, принадлежитъ къ этому роду. Маклоренъ, первый, рѣшилъ эту задачу въ своемъ превосходномъ сочиненіи о приливѣ и отливѣ моря, увѣнчанномъ Парижскою Академіею Наукъ въ 1740 году; онъ слѣдовалъ методу чисто геометрическому, основанному исключительно на нѣкоторыхъ свойствахъ эллипса и эллиптическихъ сфероидовъ; и надобно признаться, что эта часть сочиненія Маклорена представляетъ превосходный образецъ геометріи, который можно сравнить съ самыми лучшими и геніальными сочиненіями, оставленными намъ Архимедомъ. Маклоренъ имѣлъ какое-то особое призваніе къ способу древнихъ и потому не удивительно, что онъ воспользовался имъ для рѣшенія упомянутаго нами вопроса; но намъ кажется необыкновеннымъ то, что такая важная задача не была и послѣ того рѣшена прямымъ аналитическимъ путемъ, особенно въ послѣднее время, когда анализъ вошелъ въ такое широкое и всеобщее употребленіе. Причину этого, кажется, [190]можно приписать только трудности вычисленій, необходимыхъ для рѣшенія этой задачи, когда она разсматривается съ чисто аналитической точки зрѣнія.... Въ настоящемъ мемуарѣ я хочу показать, что разсматриваемая задача не только не представляется недоступною анализу, но можетъ быть рѣшена аналитически, если не также просто, какъ путемъ синтеза, то по крайней мѣрѣ болѣе прямо и съ большею общностью и пр.“[7].

Большая общность заключалась въ вычисленіи притяженія трехоснаго эллипсоида вмѣсто эллипсоида вращенія, изслѣдованнаго Маклореномъ. Но это обобщеніе уже показано было Даламбертомъ и получено имъ путемъ чисто геометрическихъ соображеній, путемъ совершенно тѣмъ же, который указанъ былъ Маклореномъ[8].

20. Въ другой части сочиненія Маклорена, о которой Лагранжъ ничего еще не говоритъ въ упомянутомъ нами первомъ мемуарѣ, обнаруживается дѣйствительное преимущество геометрическаго способа передъ анализомъ. Мы говоримъ о знаменитой теоремѣ объ эллипсоидахъ, главныя сѣченія которыхъ имѣютъ одни и тѣ же фокусы. Теорема эта заключается [191]въ томъ, что притяженія, обнаруживаемыя такими двумя эллипсоидами на внѣшнюю точку, имѣютъ одинаковое направленіе и по величинѣ пропорціональны массамъ этихъ тѣлъ. Маклоренъ доказалъ только простѣйшій частный случай этой прекрасной теоремы, когда притягиваемая точка находится на одной изъ главныхъ осей обоихъ эллипсоидовъ (Treitise of fluxions, art. 653). Ho и этотъ частный случай представлялъ столько затрудненій, что всѣ усилія Даламберта рѣшить его аналитически кончились тѣмъ, что великій геометръ призналъ теорему Маклорена невѣрною[9]; Лагранжъ же, доказавшій ее нѣсколько позднѣе, ограничился тѣмъ же частнымъ случаемъ[10]. Даламбертъ, чтобы поправить свою ошибку, предложилъ тогда еще три рѣшенія, но и онъ, какъ Лагранжъ, не пошелъ далѣе Маклорена[11]. Вскорѣ послѣ того Лежандръ сдѣлалъ шагъ въ этомъ вопросѣ, доказавъ теорему для случая, когда притягиваемая точка находится въ одной изъ главныхъ плоскостей эллипсоидовъ; подозрѣвая послѣ этого всю общность теоремы[12], онъ аналитически доказалъ ее вполнѣ чрезъ нѣсколько лѣтъ въ мемуарѣ, который можетъ служить образцомъ побѣжденныхъ трудностей. Этотъ превосходный и глубоко ученый мемуаръ былъ бы еще болѣе богатъ интересными выводами, если бы Лежандръ показалъ геометрическое значеніе многихъ изъ формулъ, черезъ которые онъ долженъ былъ перейти, чтобы достигнуть до окончательнаго вывода теоремы[13].

Послѣ того найдено было много доказательствъ теоремы Лежандра, изъ которыхъ мы укажемъ здѣсь на одно, получаемое синтетическимъ путемъ. Оно проистекаетъ изъ прекрасной теоремы Эйвори, помощію которой вычисленіе притяженія эллипсоида на внѣшнія точки приводится къ притяженіямъ на внутреннія точки. Различныя доказательства [192]теоремы Эйвори мало отличаются отъ предложеннаго самимъ знаменитымъ изобрѣтателемъ и основываются на нѣкоторыхъ преобразованіяхъ формулъ. Но теорема эта по своему характеру должна бы относиться къ геометрической теоріи притяженія эллипсоидовъ и потому можно желать. чтобы было найдено для нея болѣе синтетическое рѣшеніе, независимое отъ формулъ анализа.

Со стороны вычисленія вопросъ о притяженіи эллипсоидовъ рѣшенъ въ настоящее время вполнѣ, насколько это позволяютъ средства анализа, формулы притяженія приведены къ эллиптическимъ квадратурамъ, интегрированіе которыхъ въ конечномъ видѣ невозможно. Но разсматриваемый съ другой точки зрѣнія вопросъ этотъ далеко еще не исчерпанъ и поведетъ еще, безъ сомнѣнія, ко многимъ изысканіямъ и прекраснымъ открытіямъ[14]. Новѣйшія работы двухъ [193]знаменитыхъ аналистовъ Франціи и Кенигсберга, Пуассона и Якоби, доказываютъ, что многое еще остается сдѣлать; они привлекутъ новое вниманіе на этотъ предметъ, исполненный высокаго интереса.

21. Задача о притяженіи эллипсоидовъ, разсматриваемая независимо отъ многихъ приложеній ея къ вопросамъ философіи природы, принадлежитъ къ геометріи и рѣшеніе ея, данное Маклореномъ, представляетъ одно изъ изслѣдованій, наиболѣе способныхъ возбудить любовь и интересъ къ чистой наглядной геометріи, такъ мало извѣстной уже около вѣка. Надѣемся, что по этой причинѣ намъ извинятъ подробности, въ которыя мы вошли по этому поводу и которыя отвлекли насъ отъ разбора геометрическихъ изслѣдованій Маклорена; мы укажемъ теперь, на какихъ свойствахъ коническихъ сѣченій основывалъ Маклоренъ свое рѣшеніе предъидущей задачи, и такимъ образомъ снова возвратимся къ нашему предмету.

Одного свойства достаточно для вычисленія притяженія нa точку поверхности, или на точку внутреннюю, именно:

«Даны два подобные, подобно расположенные и концентрическіе эллипса; черезъ вершину меньшаго изъ нихъ проводимъ касательную, которая пересѣчется съ другимъ эллипсомъ въ двухъ точкахъ.

Черезъ одну изъ этихъ двухъ точекъ проводимъ во второмъ эллипсѣ двѣ хорды, одинаково наклоненныя къ вышесказанной касательной.

Чрезъ вершину перваго эллипса проводимъ двѣ его хорды, параллельныя хордамъ другаго эллипса.

Сумма этихъ хордъ равна суммѣ двухъ другихъ.»

Маклоренъ доказываетъ эту теорему для круга помощію начальной геометріи; пролагая потомъ оба эллипса на плоскость, параллельную разсматриваемой касательной и наклоненную [194]такъ, чтобы проложенія были кругами, онъ выводитъ и самую теорему[15].

22. Вычисленіе притяженія на внѣшнюю точку было не такъ просто: Маклоренъ употреблялъ для этого два предложенія, изъ которыхъ онъ самъ изложилъ только одно, другое же вытекаетъ изъ доказательства перваго; именно:

«1) Представимъ себѣ два эллипса, описанные изъ однихъ и тѣхъ же фокусовъ; если черезъ точку, взятую на одной изъ главныхъ осей, проведемъ двѣ сѣкущія такъ, чтобы косинусы угловъ ихъ съ другою осью были пропорціональны діаметрамъ эллипсовъ по направленію этой оси, то отрѣзки сѣкущихъ, заключающіеся между двумя кривыми, будутъ соотвѣтственно пропорціональны діаметрамъ по направленію первой оси.

2) Если въ двухъ эллипсахъ, описанныхъ изъ однихъ и тѣхъ же фокусовъ, проведемъ два какіе-нибудь діаметра, оканчивающіеся въ соотвѣтственныхъ точкахъ этихъ кривыхъ, то разность квадратовъ ихъ будетъ величина постоянная.»

Соотвѣтственными точками мы называемъ такія, разстоянія которыхъ отъ главныхъ осей пропорціональны діаметрамъ обоихъ эллипсовъ, перпендикулярныхъ соотвѣтственно этимъ осямъ.

Маклорену было достаточно перваго изъ этихь предложеній для доказательства, что притяженія двухъ однофокусныхъ эллипсоидовъ вращенія на точку, взятую на продолженіи оси вращенія, относятся какъ массы эллипсоидовъ. Отсюда, при помощи втораго предложенія, онъ заключаетъ, что таже теорема справедлива для всѣхъ внѣшнихъ точекъ, [195]находящихся въ плоскости экватора обоихъ cфероидовъ. Затѣмъ онъ замѣчаетъ, что доказательство второй теоремы прилагается также къ однофокуснымъ эллипсоидамъ съ тремя неравными осями, если притягиваемая точка лежитъ на продолженіи одной изъ осей; отсюда и проистекаетъ та знаменитая теорема, о которой мы говорили выше.

Даламбертъ и впослѣдствіи Лагранжъ и Лежандръ думали, что Маклоренъ только высказалъ свою теорему, но не далъ ея доказательства; это — ошибка со стороны трехъ знаменитыхъ геометровъ, потому что доказательство здѣсь совершенно тожественно съ предъидущимъ и авторъ ограничился поэтому, какъ и слѣдовало, словами: такимъ же образомъ докажемъ и т. д.; не было надобности повторять разсужденія, изложенныя нѣсколькими строками выше, и въ которыхъ ненужно было ни измѣнять, ни прибавлять, ни выкидывать ни одного слова.[16]. [196]

23. Два изложенныя нами свойства эллипсовъ, описанныхъ изъ однихъ и тѣхъ же фокусовъ, принадлежатъ самому Маклорену; вѣроятно это были первыя предложенія объ однофокусныхъ коническихъ сѣченіяхъ, также какъ въ его теоремѣ о притяженіи эллипсоидовъ, главныя сѣченія которыхъ имѣютъ одинаковые фокусы, въ первый разъ говорится о такихъ эллипсоидахъ. Эти поверхности нѣсколько лѣтъ спустя встрѣтились въ другихъ вопросахъ и въ настоящее время онѣ, по нашему мнѣнію, должны играть важную роль въ поверхностяхъ втораго порядка. Онѣ обладаютъ множествомъ еще незамѣченныхъ свойствъ, о которыхъ мы будемъ говорить въ Примѣчаніяхъ къ пятой эпохѣ.

24. Маклоренъ доказываетъ свойства эллипса, разсматривая его какъ косвенное сѣченіе круглаго цилиндра, и выводитъ ихъ изъ свойствъ круга. Онъ не ограничился упомянутыми нами предложеніями; усвоивъ себѣ этотъ весьма удобный способъ, онъ желалъ распространить его приложенія далѣе Маркиза Лопиталя, который еще прежде указалъ этотъ способъ въ концѣ своего аналитическаго трактата о коническихъ сѣченіяхъ (кн. VI). На немногихъ страницахъ Маклоренъ съ чрезвычайною простотою доказалъ главныя свойства эллипса. Здѣсь находимъ естественное и болѣе краткое, чѣмъ у Ньютона, изслѣдованіе задачи о центральной [197]силѣ для эллипса, когда притягивающая точка имѣетъ какое бы то ни было положеніе въ плоскости кривой: изъ этого изслѣдованія непосредственно видно, что притяженіе будетъ прямо пропорціонально разстоянію, когда притягивающая точка находится въ центрѣ эллипса, и обратно пропорціональна квадрату разстоянія, когда она лежитъ въ фокусѣ кривой.

По поводу Treatise of fluxions Маклорена можно было бы сдѣлать много подобныхъ же замѣчаній, относящихся къ исторіи развитія геометріи; во мы и безъ того уже перешли за предѣлы, указываемые назначеніемъ нашего труда; поэтому оканчиваемъ здѣсь обозрѣніе трудовъ этого великаго геометра.

25. Р. Симсон (1687—1768). Робертъ Симсонъ, о которомъ мы имѣли уже случай упоминать нѣсколько разъ, есть одинъ изъ геометровъ предшествующаго столѣтія, наиболѣе изучавшихъ геометрію древнихъ и наиболѣе способствовавшихъ ея распространенію. Большое сочиненіе его о коническихъ сѣченіяхъ въ пяти книгахъ написано въ строгомъ стилѣ Аполлонія, въ стилѣ, который въ то время начинали уже оставлять для исключительно аналитическаго способа. Сочиненіе это есть первое, въ которомъ включены были двѣ знаменитыя теоремы Дезарга и Паскаля. Въ немъ находимъ также теорему ad quatuor lineas; но эта теорема появилась еще раньше въ сочиненіи о коническихъ сѣченіяхъ Milnes'a[17], который заимствовалъ ее изъ Principia Ньютона. [198]

Только то обстоятельство, что въ сочиненіи Симсона заключаются три упомянутыя нами основныя теоремы, и даетъ этому сочиненію нѣкоторое преимущество персдъ большимъ трактатомъ Де-Лагира; относительно же метода послѣднее сочиненіе кажется намъ несравненно выше; оно представляло замѣтное улучшеніе древнихъ способовъ, тогда какъ сочиненіе Симсона въ этомъ отношеніи замѣтно отстало.

Въ самомъ дѣлѣ, Симсонъ, по образцу небольшаго трактата Де-Лагира 1679 года и по образцу Лопиталя, разсматриваетъ коническія сѣченія въ плоскости, опредѣляя каждое особымъ частнымъ свойствомъ. Параболу — равенствомъ разстояній каждой точки отъ фокуса и директрисы; эллипсъ и гиперболу — постоянного суммою и разностію разстояній точекъ этихъ кривыхъ отъ двухъ фокусовъ. Изъ этихъ опредѣленій трехъ кривыхъ Симсонъ выводитъ важнѣйшія свойства каждой изъ нихъ и потомъ показываетъ, что эти кривыя одинаковы съ тѣми, которыя Аполлоній получалъ на косомъ конусѣ при помощи осеваго треугольника.

Изучивъ такимъ образомъ три вида коническихъ сѣченій въ трехъ первыхъ книгахъ своего сочиненія, Симсонъ только въ двухъ слѣдующихъ книгахъ разсматриваетъ коническія сѣченія въ совокупности и въ общемъ видѣ и доказываетъ множество ихъ общихъ свойствъ.

Теорема ad quatuor lineas есть 28-е предложеніе его четвертой книги; шестиугольникъ Паскаля — 47-е пятой книги; теорема Дезарга доказана въ предложеніяхъ 12 и 49 той же книги. Симсону была неизвѣстна близская связь этихъ трехъ теоремъ, составляющихъ, можно сказать, различныя выраженія одного и того же общаго свойства коническихъ сѣченій. [199]Ho онъ умѣлъ оцѣнить всю пользу двухъ послѣднихъ теоремъ: онъ показалъ, что изъ одной изъ нихъ выводится вся теорія полюсовъ, изъ другой же вывелъ шесть слѣдствій и прибавилъ къ этому, что въ двухъ сказанныхъ теоремахъ заключается общее доказательство большинства предложеній первой книги Principia Ньютона.

Жаль, что Симсонъ не воспользовался этимъ счастливымъ замѣчаніемъ и не заключилъ въ одномъ общемъ предложеніи и въ одномъ доказательствѣ множество отдѣльныхъ частныхъ теоремъ, для которыхъ имъ были даны еще прежде многочисленныя и разнородныя доказательства. Это — единственное средство упростить теорію коническихъ сѣченій, облегчить и распространить знакомство съ нею и употребленіе ея и подготовить для нея новыя пріобрѣтенія.

26. Мы не будемъ здѣсь останавливаться на его знаменитомъ трактатѣ о поризмахъ, гдѣ въ первый разъ опредѣлена сущность этихъ предложеній, составлявшихъ до тѣхъ поръ неразрѣшимую загадку для самыхъ ученыхъ геометровъ; объ этомъ мы говорили уже подробно въ статьѣ объ Евклидѣ и въ Примѣчаніи III.

Возстановленная Симсономъ книга de sectione determinata помѣщена въ одномъ томѣ съ его поризмами.

Онъ возстановилъ также loca plana Аполлонія[18] точнѣе и вѣрнѣе, чѣмъ Шутенъ и Ферматъ.

Онъ приготовилъ еще новый переводъ сочиненій Паппа, найденый между рукописями, завѣщанными имъ Глазговской коллегіи; жаль, что переводъ этотъ не былъ никогда изданъ, такъ какъ онъ представляетъ работу, далеко не такъ легкую, какъ прежде думали, и требовавшую глубокихъ познаній въ древней геометріи. Никто не могъ бы выполнить этотъ трудъ съ такимъ знаніемъ и искусствомъ, какъ ученый Симсонъ. Удивительно, что соотечественники его не озаботились этимъ изданіемъ и что въ этомъ случаѣ благородный примѣръ [200]лорда Стенгопа, издавшаго поризмы и de sectione determinata, не нашелъ себѣ подражателя въ отечествѣ Ньютона, гдѣ древняя геометрія насчитывала всегда много достойныхъ и знаменитыхъ почитателей.

27. Cтевартъ (Стюартъ, Mathieu Stewart, 1717—1785). Стевартъ, ученикъ Симсона и Маклорена въ Глазговской Коллегіи и потомъ въ Эдинбургскомъ университетѣ, заимствовалъ отъ своихъ учителей любовь къ геометріи древнихъ и, какъ они, обязанъ былъ ей своею знаменитостію. Первое сочиненіе его о нѣкоторыхъ общихъ теоремахъ употребляемыхъ въ высшей математикѣ (написано по-англійски, in—8°, 1746) поставило его сразу на почетное мѣсто между геометрами, и черезъ нѣсколько времени доставило ему каѳедру математики послѣ смерти Маклорена. Благодаря характеру обязанностей и направленію первыхъ трудовъ, Стеварту можно было въ особенности заниматься геометрическимъ методомъ и онъ предполагалъ приложить этотъ методъ къ труднѣйшимъ вопросамъ физической астрономіи, которые интересовали въ то время ученыхъ и, по мнѣнію ихъ, считались доступными только для самаго высшаго анализа. Такимъ образомъ Стевартъ имѣлъ намѣреніе продолжать труды Ньюнона и Маклорена относительно вопросовъ о системѣ міра, вопросовъ, которые вслѣдствіе естественнаго прогресса въ наукѣ сдѣлались многочисленнѣе и сложнѣе, чѣмъ во время этихъ двухъ великихъ геометровъ. Съ подобною цѣлью Стевартъ въ 1761 году издалъ сочиненіе Tracts physical and mathematical, etc. т.-е. «Трактаты по физикѣ и математикѣ, содержащіе изъясненія многихъ важныхъ вопросовъ физической астрономіи и новый способъ опредѣленія разстоянія земли отъ солнца помощію теоріи тяготѣнія.» Болѣе обширная теорія центростремительныхъ силъ, вычисленія разстоянія земли отъ солнца и весьма трудная задача о трехъ тѣлахъ, т.-е. вычисленіе взаимодѣйствія между солнцемъ, землею и луною — вотъ важнѣйшіе вопросы, рѣшенные Стевартомъ въ этомъ сочиненіи при помощи только элементовъ плоской геометріи и теоріи коническихъ сѣченій. Порядокъ [201]и ясность въ изложеніи предложеній, простота ихъ доказательства и трудность вопросовъ, разрѣшенныхъ при ихъ помощи, все это заслужило Стеварту большія похвалы и заставило считать его однимъ изъ самыхъ глубокихъ геометровъ того времени. Впрочемъ мы должны замѣтить, что его вычисленіе разстоянія земли отъ солнца было ошибочно. Причина ошибки была открыта и разъяснена сперва Даусономъ (Dawson) въ 1769 году[19], потомъ Ланденомъ въ 1771[20]. Ошибка проистекала не отъ способа изслѣдованія, но отъ пренебреженія нѣкоторыми количествами, сдѣланнаго ошибочно въ видахъ упрощенія. Впослѣдствіи изъ этого обстоятельства сдѣлали возраженіе противъ геометрическаго метода; но чтобы это возраженіе опровергнуть, достаточно припомнить, сколько подобныхъ ошибокъ сдѣлано было знаменитѣйшими аналистами и какъ онѣ обыкновенны, особенно въ астрономіи, гдѣ анализъ можетъ идти только путемъ послѣдовательныхъ приближеній.

28. Мы должны упомянуть еще объ одномъ сочиненіи Стеварта по частой геометріи, именно: Propositiones geometricae, more Veterum demonstratae, at Geometriam antiquam illustrandam et promovendam idoneae. Edimb. 1763, in—8°.

Мы должны войти въ нѣкоторыя подробности, чтобы ознакомить читателей съ этимъ сочиненіемъ Стеварта, также какъ съ его Общими теоремами, которыя были изданы девятнадцатью годами ранѣе. Такъ какъ обѣ книги очень рѣдки, то разборъ и изложеніе заключающихся въ нихъ теоремъ не будетъ, намъ кажется, излишнимъ.

Книга объ общихъ теоремахъ содержитъ шестьдесятъ четыре предложенія, изъ которыхъ только пятьдесятъ названы теоремами. Изъ остальныхъ четырнадцати три находятся въ [202]началѣ сочиненія и служатъ для доказательства теоремъ; послѣдними же одиннадцатью, выражающими большею частію различныя свойства круга, оканчивается книга.

Изъ всѣхъ шестидесяти четырехъ предложеній доказано только восемь первыхъ и въ томъ числѣ пять первыхъ теоремъ. Въ краткомъ предисловіи авторъ объявляетъ, что для изложенія доказательства всѣхъ теоремъ, столь общихъ и трудныхъ, ему нужно бы было болѣе времени, нежели сколько онъ на это можетъ посвятить. Мнѣ неизвѣстно, были ли впослѣдствіи возстановлены доказательства Стеварта, или они были найдены въ его бумагахъ и какое въ такомъ случаѣ сдѣлано изъ нихъ употребленіе.

Два первыя предложенія выражаютъ общія свойства четырехъ точекъ, изъ которыхъ три находятся на прямой линіи, a четвертая имѣетъ произвольное положеніе. Во второмъ предложеніи четвертая точка можетъ быть взята также и на самой прямой. Вотъ это предложеніе, которое, кажется, извѣстно менѣе, чѣмъ заслуживаетъ:

Если возьмемъ три точки на прямой линіи и еще какую нибудь точку внѣ прямой, или опять на ней, то будемъ имѣтъ:

.

Мы уже говорили [въ гл. I, n° 36], что изъ этого предложенія могутъ быть выведены, какъ простыя слѣдствія, восемь леммъ Паппа къ loca plana Аполлонія. Вскорѣ послѣ появленія этой теоремы въ сочиненіи Стеварта Робертъ Симсонъ извлекъ изъ нея удачное примѣненіе въ прибавленіи къ Loca plana restituta и другой извѣстный геометръ, Томасъ Симпсонъ, также доказалъ ее и воспользовался какъ леммою для рѣшенія многихъ задачъ въ изданныхъ имъ упражненіяхъ для учащихся математикѣ[21]. Позднѣе ту же теорему доказалъ Эйлеръ, [203]какъ лемму при рѣшеніи задачи о вписанномъ въ кругъ треугольникѣ, стороны котораго проходятъ черезъ три данныя точки[22]. Наконецъ извѣстный физикъ и геометръ Лесли также доказалъ и употреблялъ эту теорему въ третьей книгѣ своего Геометрическаго анализа[23].

Изъ сказаннаго нами видно, что теорема эта, почти совсѣмъ неизвѣстная въ наше время, имѣетъ право занять мѣсто въ элементахъ, или по крайней мѣрѣ въ дополненіяхъ къ геометріи[24]. [204]

Почти всѣ пятьдесятъ теоремъ Стеварта могутъ быть включены въ слѣдующія четыре болѣе общія предложенія, изъ которыхъ всѣ другія вытекаютъ, какъ слѣдствія.

1. Положимъ, что около круга радіуса описанъ правильный многоугольникъ, имѣющій сторонъ и пусть будетъ число меньшее .

Если изъ какой нибудь точки (взятой внутри многоугольника, если нечетное, и гдѣ угодно, если четное) опустимъ перпендикуляры на стороны многоугольника, то сумма -ыхъ степеней ихъ будетъ равна

,

гдѣ есть разстояніе точки отъ центра круга; есть коэффиціентъ третьяго члена бинома, возвышеннаго въ степень , умноженный на ; — коэффиціентъ пятаго члена, умноженный на ; — коэффиціентъ седьмаго члена, умноженный на ; и. т. д. (Предл. 40).

Такимъ образомъ:

,

[205]

и т. д.

Если точка, изъ которой опускаются перпендикуляры, взята на окружности, то формула обращается въ

. (Предл. 39).

Въ этой общей теоремѣ заключаются предложенія 3, 5, 22, 23, 28, 29 и 45.

2. Положимъ, что въ кругѣ радіуса вписанъ правильный многоугольникъ, имѣющій сторонъ, и пусть будетъ число меньшее .

Если возьмемъ произвольно точку на разстояніи отъ центра круга, то сумма -ыхъ степеней разстояніа этой точки отъ вершинъ многоугольника будетъ равна

и т. д.),

гдѣ есть коэффиціентъ втораго члена бинома, возвышеннаго въ степенъ ; — коэффиціентъ третьяго члена; — четвертаго и т. д. (Предл. 42).

Если точка взята на окружности, то формула обращается въ

. (Предл. 41).

Въ этой общей теоремѣ заключаются предложенія 4, 36, 27 и 34.

3. Даны, гдѣ угодно, точекъ и столько-же количествъ ; пустъ будетъ число меньшее ; можно найти другихъ точекъ такъ, чтобы сумма помноженныхъ соотвѣтственно на -ыхъ степеней разстояній какой угодно точки отъ данныхъ точекъ находилась съ суммою -ыхъ [206]степеней разстояній той же точки отъ найденныхъ точекъ въ отношеніи

(Предл. 44).

Въ этой теоремѣ заключаются предложенія 11, 12, 32, 33, 43.

4. Даны какихъ нибудь прямыхъ и столько же количествъ ; пусть будетъ число меньшее ; можно всегда найти другихъ прямыхъ такъ, чтобы сумма помноженныхъ соотвѣтственно на -ыхъ степеней разстояній произвольной точки отъ данныхъ прямыхъ находилась съ суммою -ыхъ степеней разстояній той же точки отъ найденныхъ прямыхъ въ оттошеніи

. (Предл. 49 и 53).

Эта теорема заключаетъ въ себѣ предложенія 17, 21, 24, 25, 37, 38, 42, 50, 51, 52.

29. Мы нашли, что изложеніе двухъ послѣднихъ теоремъ можно представить въ болѣе общемъ и довольно любопытномъ видѣ. Вмѣстѣ съ тѣмъ соотношеніемъ между -ыми степенями разстояній произвольной точки отъ данныхъ и найденныхъ точекъ, соотношеніемъ, которое составляетъ первую изъ этихъ теоремъ, существуетъ еще подобное же соотношеніе между степенями тѣхъ же разстояній, при чемъ можетъ имѣть всѣ величины ; такимъ образомъ между разстояніями произвольной точки отъ данныхъ и найденныхъ точекъ будетъ существовать соотношеній. Въ теоремѣ Стеварта указывается только одно изъ нихъ.

Послѣднее изъ такихъ соотношеній будетъ имѣть мѣсто между квадратами разстояній. Оно показываетъ, что найденныя точки имѣютъ одинъ центръ тяжести съ данными точками, если въ послѣднихъ предположимъ массы , массы же въ найденныхъ точкахъ предположимъ равными.

Подобнымъ же образомъ во второй теоремѣ, представляющей соотношеніе между -ыми степенями разстояній какой [207]нибудь точки отъ данныхъ и найденныхъ прямыхъ, мы будемъ имѣть подобное же соотношеніе между степенями разстояній; при чемъ можетъ имѣть всѣ величины до , когда нечетное, и до , когда четное. Такимъ образомъ между разстояніями произвольной точки отъ данныхъ и найденныхъ прямыхъ будетъ существовать , или , различныхъ соотношеній вмѣсто одного, заключающагося въ теоремѣ Стеварта. (См. Примѣчаніе XXII).

30. Мы нашли также, что двѣ первыя изъ приведенныхъ выше теоремъ относительно правильныхъ многоугольниковъ вписанныхъ и описанныхъ представляютъ частные случаи подобныхъ же теоремъ для коническихъ сѣченій; онѣ ведутъ ко множеству свойствъ этихъ кривыхъ и эти свойства кажется не были еще до сихъ поръ замѣчены. Проистекающія отсюда многочисленныя теоремы являются въ нѣкоторомъ смыслѣ любопытными обобщеніями извѣстныхъ свойствъ сопряженныхъ діаметровъ и радіусовъ векторовъ, проводимыхъ въ фокусы.

Запасъ разнообразныхъ свойствъ коническихъ сѣченій кажется неистощимымъ. Всякій день открываются новые пути для ихъ изученія. Не должно думать, что подобныя изысканія праздны или имѣютъ мало интереса. Каждое открытіе въ этой области есть предвѣстникъ болѣе важныхъ и общихъ открытій, которыя увеличиваютъ значеніе коническихъ сѣченій во всѣхъ отдѣлахъ математики и даютъ возможность открывать аналогичныя свойства во множествѣ кривыхъ высшихъ порядковъ, — свойства, до которыхъ трудно было бы дойти, изслѣдуя прямо эти весьма сложныя и трудно изучаемыя кривыя.

31. Propositions geometricae Стеварта состоятъ изъ двухъ книгъ: въ первой содержится шестьдесятъ, во второй — пятьдесятъ два предложенія.

Всѣ они относятся къ прямой линіи и кругу. [208]

Въ первыхъ предложеніяхъ выражается общее свойство четыреугольника, доказанное Паппомъ въ леммахъ къ поризмамъ Евклида: всякая прямая встрѣчаетъ четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника въ шести точкахъ образующихъ инволюцію.

Въ Примѣчаніи X сказано, что это соотношеніе можетъ быть выражено помощію шести или помощію восьми отрѣзковъ. Соотношеніе между шестью отрѣзками доказано было Паппомъ; Стевартъ же употреблялъ соотношеніе между восемью отрѣзками; онъ доказалъ его во всей общности въ 59-мъ предложеніи первой книги.

Предшествующія предложенія 51—58 суть частные случаи, служившіе Стеварту для постепеннаго перехода къ общему предложенію. 60-е предложеніе, послѣднее въ первой книгѣ, есть также частный случай, когда двѣ стороны четыреугольника параллельны.

Предложенія 6—13 второй книги представляютъ другія свойства четыреугольника; въ изложеніе ихъ не входитъ инволюціонное соотношеніе, но они могутъ быть изъ него легко выведены. Всѣ эти предложенія относятся къ извѣстной теоремѣ, которая, по свидѣтельству Паппа, входила въ составъ поризмъ Евклида, именно:

Если три стороны перемѣннаго треугольника вращаются около трехъ неподвижныхъ полюсовъ, расположенныхъ на одной прямой, и двѣ вершины его движутся по двумъ даннымъ неподвижнымъ прямымъ, то третья вершина описываетъ прямую, проходящую черезъ точку пересѣченія двухъ первыхъ.

Стевартъ не излагаетъ этой теоремы въ общемъ видѣ, a доказываетъ только различные частные случаи ея. Кажется, онъ не замѣтилъ тѣсной связи этой теоремы съ общіхъ инволюціоннымъ соотношеніемъ между отрѣзками, образуемыми на сѣкущей четырьмя сторонами и двумя діагоналями четыреугольника.

32. Предложенія о кругѣ можно разсматривать, какъ относящіяся къ образованію этой кривой посредствомъ пересѣченія [209]прямыхъ, вращающихся около двухъ неподвижныхъ полюсовъ, причемъ эти прямыя образуютъ на трансверсали отрѣзки, удовлетворяющіе нѣкоторымъ соотношеніямъ. Мы распредѣлили эти предложенія на три группы.

Въ первой — два полюса расположены на окружности, трансверсаль же имѣетъ положеніе произвольное.

Во второй — полюсы помѣщены произвольно, причемъ одинъ изъ нихъ можетъ находиться и на окружности; трансверсаль же параллельна прямой, соединяющей полюсы.

Наконецъ въ третьей группѣ полюсы опять расположены произвольно, но трансверсаль перпендикулярна или наклонна къ прямой, соединяющей полюсы.

Во всѣхъ предложеніяхъ первой группы говорится объ отрѣзкахъ, образуемыхъ на хордѣ круга четырьмя сторонами вписаннаго четыреугольника.

Можно подумать, что здѣсь рѣчь идетъ о теоремѣ Дезарга [см. Прим. X, n° 23], но это не такъ: Стевартъ выражаетъ соотношеніе между отрѣзками не однимъ уравненіемъ, какъ Дезаргъ, a двумя уравненіями, въ которыхъ входитъ одна точка и два вспомогательные отрѣзка.

Исключеніе этихъ отрѣзковъ, которое не было сдѣлано Стевартомъ, привело бы его къ соотношенію между одними только отрѣзками, образуемыми на хордѣ круга четырьмя сторонами четыреугольника; но это соотношеніе представляется не въ обыкновенной формѣ инволюціи шести точекъ, и въ видѣ трехчленнаго уравненія; поэтому мы должны думать, что Стевартъ не зналъ теоремы Дезарга, или по крайней мѣрѣ не пользовался ею въ своемъ сочиненіи.

Теорема, полученная этимъ геометромъ, доказана въ общемъ видѣ въ предложеніяхъ 46, 47 и 48 второй книги. Предложенія 41—45 суть частные случаи, служащіе для перехода къ общему предложенію.

Предложенія 29—38 относятся къ свойствамъ четыреугольника вписаннаго въ кругъ; при изложеніи ихъ Стевартъ [210]употребляетъ только одно уравненіе, въ которомъ мы узнаемъ частные случаи теоремы Дезарга.

Два предложенія 39-е и 40-е заключаютъ въ себѣ слѣдующее замѣчательное свойство вписаннаго въ кругъ четыреугольника:

Квадратъ прямой, соединяющей точки встрѣчи противоположныхъ сторонъ, равенъ суммѣ квадратовъ касательныхъ, проведенныхъ изъ этихъ точекъ къ окружности.

Предложеніе это, подобно предыдущимъ, легко выводится изъ теоремы Дезарга.

33. Почти вся вторая книга посвящена предложеніямъ объ отрѣзкахъ, образуемыхъ на трансверсали двумя подвижными прямыми, вращающимися около двухъ неподвижныхъ полюсовъ, не лежащихъ на окружности.

Въ предложеніяхъ 14—21 и 44—52 трансверсаль параллельна прямой, соединяющей полюсы. Предложенія 23, 25 и 26 первой книги относятся сюда же.

Легко замѣтить, что во всѣхъ этихъ предложеніяхъ соотношенія между отрѣзками выражаются уравненіями второй степени.

Вотъ a priori причина этого обстоятельства и въ то же время средство придти прямо къ теоремамъ Стеварта и возстановить ихъ въ случаѣ утраты.

Когда точка пересѣченія двухъ вращающихся прямыхъ описываетъ вообще коническое сѣченіе, то отрѣзки, образуемые на неподвижной трансверсали, параллельной съ прямой, соединяющей полюсы, удовлетворяютъ соотношенію второй степени; обратно, когда отрѣзки имѣютъ между собою соотношеніе второй степени, — точка встрѣчи вращающихся прямыхъ всегда описываетъ коническое сѣченіе (какъ мы докажемъ это въ приложеніяхъ нашего принципа гомографіи). И такъ, вопервыхъ, если кривая есть кругъ, то отрѣзки должны удовлетворять соотношенію второй степени. Вовторыхъ, если дадимъ себѣ два полюса, положеніе трансверсали и желаемую форму соотношенія второй степени между отрѣзками, то получимъ два условныя уравненія для [211]выраженія требованія, чтобы коническое сѣченіе, описываемое точкою пересѣченія вращающихся прямыхъ, обращалось въ кругъ. Изъ этихъ уравненій можемъ опредѣлить величины двухъ изъ множества неопредѣленныхъ количествъ, именно: коэффиціентовъ соотношенія, положеній двухъ полюсовъ и трансверсали и положенія двухъ на ней точекъ, отъ которыхъ считаются отрѣзки.

Замѣчаніе это даетъ ключъ ко всѣмъ теоремамъ Стеварта. Оно прилагается также и къ другимъ подобнымъ же предложеніямъ этого геометра, помѣщеннымъ Симсономъ въ его Трактатѣ о поризмахъ. Въ четвертомъ изъ пяти предложеній, данныхъ Ферматомъ подъ именемъ поризмъ, мы имѣемъ кажется первый образецъ этого рода предложеній о кругѣ.

34. Въ перечисленныхъ нами предложеніяхъ Стевартъ подражалъ Фермату; потомъ онъ обобщилъ его мысль, разсматривая отрѣзки на трансверсали, имѣющей какое угодно положеніе.

Такія свойства круга заключаются въ девятнадцати предложеніяхъ 22—40.

Здѣсь отрѣзки, образуемые вращающимися прямыми на трансверсали, не имѣютъ уже между собою постояннаго соотношенія второй степени и здѣсь уже не такъ легко, какъ въ предъидущемъ случаѣ, замѣтить общую форму различныхъ соотношеній, доказываемыхъ Стевартомъ. Не смотря на это, мы убѣдились, что эти соотношенія могутъ быть выведены изъ слѣдующаго общаго свойства коническихъ сѣченій.

Даны два неподвижные полюса и трансверсаль, встрѣчающая въ точкѣ прямую, соединяющую полюсы; на трансверсали взята еще неподвижная точка .

Если около полюсовъ будемъ вращать двѣ прямыя, пересѣкающія трансверсаль въ точкахъ , такъ чтобы между величинами и сохранялось постоянное соотношеніе второй степени, то точка пересѣченія прямыхъ будетъ описывать коническое сѣченіе.

[212]

И обратно, если точка встрѣчи двухъ прямыхъ описываетъ коническое сѣченіе, то между и , будетъ существовать соотношеніе второй степени.

Эта общая теорема можетъ вести ко множеству свойствъ круга, такъ какъ всегда будемъ имѣть два условія, выражающія, что описываемое коническое сѣченіе есть кругъ. Помощію этихъ условій опредѣлятся или два коэффиціента въ соотношеніи, или положеніе какихъ-нибудь двухъ составныхъ частей фигуры.

35. Кажется, что никто впослѣдствіи не продолжалъ изслѣдованій Стеварта о подобныхъ свойствахъ круга.

Теперь пренебрегаютъ такого рода геометрическими изысканіями, разсчитывая въ случаѣ нужды обратиться къ помощи анализа. Но понятно, что эти изысканія считались бы полезными и необходимыми, если бы имѣлось въ виду продолжать геометрическіе труды древнихъ и геометровъ предшествующаго столѣтія. Мнѣ кажется, что именно эта мысль руководила изслѣдованіями Карно въ его Géométrie de position и Théorie des transversales. По своему философскому плану сочиненія эти, подобно сочиненіямъ Симсона и Стеварта, сближаются, по моему мнѣнію, съ данными и съ поризмами Евклида. Это истинныя дополненія къ геометріи, считавшіяся у древнихъ необходимыми какъ для теоретическихъ, такъ и для практическихъ приложеній геометріи.

36. Предложенный нами разборъ сочиненій Стеварта показываетъ, что въ нихъ заключалось много предложеній, доказанныхъ въ отдѣльности, но представляющихъ частные случаи одни другихъ. Таковъ обыкновенный и неизбѣжный путь геометра, переходящаго отъ предложенія простѣйшаго къ болѣе общему, потомъ къ еще болѣе обширному и т. д.; при этомъ выводъ сколько-нибудь общаго предложенія требуетъ предварительнаго доказательства многихъ частныхъ случаевъ. Теперь мы можемъ доказать сразу и прямымъ путемъ самыя общія изъ этихъ предложеній и затѣмъ, разсматривая [213]ихъ во всей общности, примѣнить къ нимъ тѣ же изысканія, которыя дѣлались прежде надъ ихъ простѣйшими случаями. Такая простота, до крайности облегчающая изученіе, несомнѣнно свидѣтельствуетъ объ успѣхахъ геометріи въ послѣднее время; и та же простота проникла бы и во всѣ приложенія геометріи къ великимъ вопросамъ, изслѣдованнымъ Гюйгенсомъ и Ньютономъ, еслибы исключительная наклонность къ анализу, который одинъ поддерживается въ учрежденіяхъ, назначенныхъ для развитія и распространенія наукъ, не отстранила изученія и употребленія другаго метода[25].

Въ предисловіи къ Propositiones Geometricae Стевартъ заявилъ, что онъ издастъ еще другіе томы о тѣхъ же геометрическихъ предметахъ. Не знаю, были ли найдены въ его рукописяхъ изслѣдованія, долженствовавшія войти въ составъ этихъ томовъ.

37. Ламбертъ (1728—1777). Знаменитый Ламбертъ, второй Лейбницъ по объему и глубинѣ своихъ познаній, [214]долженъ быть включенъ въ число геометровъ, которые въ то время, когда всѣ умы увлечены были богатствомъ анализа, сохранили знаніе геометріи и любовь къ этой наукѣ и воспользовались ею для самыхъ глубокихъ приложеніи.

Въ его многочисленныхъ сочиненіяхъ часто встрѣчаются различные вопросы чистой геометріи. Мы должны особенно указать на его геометрическіе трактаты о перспективѣ и о кометахъ.

Сочиненіе Ламберта о перспективѣ появилось сначала въ 1759 году; потомъ оно издано было въ 1773 году съ прибавленіемъ второй части, въ которой Ламбертъ, пользуясь способомъ перспективы какъ геометрическимъ пріемомъ, доказалъ многія предложенія о начертательныхъ свойствахъ, входящихъ теперь въ теорію трансверсалей, и положилъ начало той части геометріи, которая теперь называется геометріею линейки.

Трактатъ о кометахъ, подъ заглавіемъ Insigniores orbitae cometarum proprietates (in-8°, Augsbourg, 1761), содержитъ чисто геометрическое изложеніе многочисленныхъ свойствъ коническихъ сѣченій, свойствъ или чисто начертательныхъ, или служащихъ къ измѣренію элементовъ коническихъ сѣченій; эти прекрасныя открытія приложены къ опредѣленію движенія кометъ.

Особенно замѣчательно слѣдующее свойство эллипса, которое получило важное значеніе въ теоріи кометъ.

Если въ двухъ эллипсахъ, построенныхъ на общей большой оси, возьмемъ двѣ дуги, стягиваемыя равными хордами, и притомъ такъ, чтобы суммы радіусовъ векторовъ, проведенныхъ изъ фокусовъ къ двумъ соотвѣтствующимъ концамъ этихъ дугъ, были также равны между собою; то площади секторовъ, заключающихся въ каждомъ эллипсѣ между дугою и двумя радіусами векторами, будутъ относиться какъ квадратные корни изъ параметровъ. (Sect. 4, lem. 26.)

[215]Разсматривая эллипсъ какъ планетную орбиту, и вставляя вмѣсто секторовъ времена прохожденія соотвѣтствующихъ имъ дугъ, на основаніи Ньютонова принципа пропорціональности временъ съ площадями секторовъ, раздѣленныя на квадратный корень изъ параметра[26], мы отсюда заключаемъ, что въ двухъ вышеупомянутыхъ эллипсахъ времена употребляемыя на прохожденіе двухъ секторовъ одинаковы.

Теорема эта даетъь средство приводить вычисленіе времени, употребляемаго на прохожденіе дуги даннаго эллипса, ко времени прохожденія дуги какого угодно другаго эллипса, имѣющаго ту же большую ось, и даже — ко времени прохожденія части большой оси, такъ какъ эллипсъ обращается въ свою большую ось, когда другая осъ исчезаетъ, и тогда большая ось дѣлается орбитою движущейся точки.

Геометрическія соображенія Ламберта очень просты, но тѣмъ не менѣе они привели его къ самой важной теоремѣ теоріи кометъ и позднѣйшія аналитическія доказательства этой теоремы потребовали всѣхъ усилій анализа.

Свойство эллипса, лежащее въ основаніи этой теоремы, принадлежитъ также и гиперболическимъ секторамъ; это доказано было геометрически знаменитымъ Лекселемъ, въ мемуарѣ котораго[27] находится много другихъ свойствъ коническихъ сѣченій.

Ламбертъ часто возвращался къ теоріи движенія планетъ и къ вычисленію орбитъ; онъ нашелъ возможнымъ еще извлечь много пользы изъ геометріи при замѣнѣ анализа графическими построеніями въ вопросѣ объ опредѣленіи кометныхъ орбитъ по тремъ наблюденіямъ[28].

Мы не можемъ указать въ многочисленныхъ трудахъ Ламберта другихъ изслѣдованій, заслуживающихъ признательности [216]со стороны любителей чистой геометріи, такъ какъ большая часть его сочиненій написана по нѣмецки.

38. Этимъ мы оканчиваемъ обзоръ развитія и значенія геометріи втеченіе XVIII вѣка, составляющаго нашу четвертую эпоху. Любовь и навыкъ къ геометрическимъ изысканіямъ угасли и мы затѣмъ можемъ встрѣтить только отдѣльныя изслѣдованія, разсѣянныя въ академическихъ изданіяхъ. Нѣкоторыя изъ такихъ изслѣдованій дали бы намъ поводъ упомянуть знаменитыя имена Эйлера, Лагранжа, Фусса, Лекселя и др.; обобщая посредствомъ новѣйшихъ способовъ первые результаты этихъ знаменитыхъ геометровъ, мы могли бы показать, что геометрія сдѣлала въ послѣднее время несомнѣнные успѣхи и что она способна къ рѣшительному усовершенствованію, которое со временемъ должно уменьшить разстояніе, отдѣляющее теперь эту науку отъ математическаго анализа.

Но мы спѣшимъ къ концу, новыя же подробности отдалили бы насъ отъ него.

Примѣчанія.

  1. View of sir Isaac Newton's philosophy, in — 4°, 1728; переведено на франдузскій языкъ въ 1755 году подъ заглавіемъ: Mémens de la philosophie Newtonienne.
  2. Philosophical Transactions, 1687, n° 188.
  3. Всѣ эти сочиненія очень рѣдки, въ особенности трактатъ De sectione rationis; это до сихъ поръ единственная книга, въ которой можно найти, вмѣстѣ съ переводомъ болѣе точнымъ, чѣмъ переводъ Коммандина, полный греческій текстъ предисловія къ 7-й книгѣ Математическаго Собранія Паппа.
  4. [Руск. перев.: Ньютон И. Всеобщая арифметика или Книга об арифметическом синтезе и анализе. — М.: Изд. АН СССР, 1948.]
  5. Это свойство коническихъ сѣченій, освовывающееся на соотвотствіи между фокусомъ и директрисою, показано также Декартомъ, который доказалъ его въ своей Діоптрикѣ.
  6. Линіи безъ аберраціи.
  7. Mémoires de l'Académie de Berlin. 1773.
  8. Opuscules mathématiques. 1773, t. VI, p. 165.
    Прежде чѣмъ мы узнали, что Даламбертъ, идя по слѣдамъ Маклорена, дошелъ помощію чисто геометрическихъ соображеній до выраженія въ видѣ однократнаго интеграла притяженія трехоснаго эллипсоида на точку поверхности или внутри ея, мы сами старались найти такое же распространеніе теоремы Маклорена; разлагая тѣло на элементарные конусы, какъ это дѣлалъ Лагранжъ, мы получили съ помощію одной геометріи, ту самую формулу въ квадратурахъ, которая выводится обыкновенно аналитически. Пріемъ нашъ заключается въ томъ, что мы геометрическими соображеніями замѣняемъ первое интегрированіе, выполняемое въ анализѣ; основаніемъ этому служитъ замѣчаніе, что сказанное интегрированіе соотвѣтствуетъ въ геометріи вычисленію площади эллипса, именно того, который получается отъ проложенія, на одну изъ трехъ главныхъ плоскостей эллписоида, кривой пересѣченія этой поверхности съ конусомъ вращенія около оси перпендикулярной главной плоскости, имѣющімъ вершину въ центрѣ эллипсоида.
  9. Opuscules mathématiques, t. VI, p. 242.
  10. Mémoires de l'Académie de Berlin, 1774 et 1775.
  11. Opuscules mathématiques, 1780, t. VII, p. 102.
  12. Mémoires des savans étrangers, t. X.
  13. Mémoires de l'Académie des Sciences, 1788.
  14. Такъ напримѣръ хотя въ конечномъ видѣ невозможно опредѣлить по величинѣ или по направленію притяженія эллипсоида на разныя точки, но нельзя ли найти какихъ нибудь отношеній между притяженіями, или ихъ направленіями.
    Но изъ множества вопросовъ, которые можно себѣ вообразить, есть одинъ, который, можно сказать, представляется самъ собою, и которымъ, кажется, не занимался ни одинъ изъ геометровъ, писавшихъ объ этомъ предметѣ. Извѣстно, что въ формулахъ, выражающихъ притяженіе на внѣшнюю точку, входитъ коэффиціентъ, неизвѣстный a priori, но зависящій отъ совершенно опредѣленнаго уравненія третьей степени; геометрическое значеніе этого коэффиціента извѣстно: онъ представляетъ одну изъ главныхъ осей эллипсоида, проходящаго черезъ притягиваемую точку и имѣющаго съ притягивающимъ эллипсоидомъ одни и тѣ же фокусы главныхъ сѣченій. Но приведеніе этого вопроса къ уравненію третьей степени есть аналитическій фактъ, котораго нельзя a priori предвидѣть изъ сущности вопроса; фактъ, который до сихъ поръ еще не разъясненъ. Онъ доказываетъ, что задача о притяженіи эллипсоида проистекаетъ изъ другой болѣе общей задачи, допускающей вообще три рѣшенія. Въ двухъ изъ этихъ рѣшеній два гиперболоида, одинъ съ одною, другой съ двумя полостями, проходящіе черезъ притягиваемую точку и имѣющіе съ даннымъ эллипсоидомъ общіе фокусы главныхъ сѣченій, должны играть ту же роль, какую эллипсоидъ, проходящій черезъ эту же точку, играетъ въ первомъ рѣшеніи, относящімся къ задачѣ о притяженіи.
    Подобныя обстоятельства встрѣчаются въ анализѣ нерѣдко и всегда интересно знать ихъ происхожденіе и значеніе. Только при этомъ можно считать вопросъ окончательно разрѣшеннымъ.
  15. Маклоренъ пользовался единственно этою теоремою, чтобы доказать важное предложеніе, принятое Ньютономъ безъ доказательства, именно: однородная жидкая вращающаяся масса должна приниматъ видъ эллипсоида вращенія при дѣйствіи притяженія обратно пропорціонально квадратамъ разстояній. Клеро считалъ это доказательство настолько хорошимъ, что въ Théorie de la figure de la terre онъ оставилъ аналитическій способъ и послѣдовалъ пути Маклорена.
  16. Заблужденіе трехъ названныхъ мною великихъ геометровъ никѣмъ еще, кажется, не было замѣчено, хотя съ тѣхъ поръ очень много занимались вопросомъ о притяженіи эллипсоидовъ. Я замѣчаю это потому, что это представляетъ ясное доказательство того, что геометрія во второй половинѣ послѣдняго вѣка была совершенно оставлена и что весьма несправедливо было бы теперь обвинять ее въ безсиліи, такъ какъ на этомъ пути не только не дѣлалось никакихъ новыхъ усилій, но даже достаточно не изучались превосходные способы, которые повели Ньютона и Маклорена къ ихъ великимъ открытіямъ. Напротивъ того, переведя эти способы на анализъ, приписывали анализу же великія открытія Ньютона, предполагая, что онъ уже послѣ облекъ ихъ въ геометрическую форму. Это предположеніе произвольно; оно доказываетъ незнакомство съ богатствомъ средствъ геометріи и съ необычайною легкостію ея умозаключеній, которыя иногда бываютъ до очевидности просты въ вопросахъ, доступныхъ по преимуществу геометрическимъ пріемамъ. Мы не будемъ входить въ разсужденія о характерѣ и средствахъ этого геометрическаго способа; для этого нуженъ бы былъ болѣе искусный защитникъ; достаточно будетъ напомнить, что приписывая открытія Ньютона аналитическому способу, мы должны допустить, что геометръ этотъ употреблялъ исчисленіе варіацій, открытіемъ котораго мы обязаны Лагранжу. Возможно ли допуститъ, чтобы великій Ньютонъ съ его глубокимъ умомъ и съ его вѣрнымъ и широкимъ взглядомъ могъ не замѣтитъ особенности и чрезвычайной важности такого открытія, чтобы онъ умолчалъ объ немъ и не воспользовался имъ впослѣдствіи во время тяжелой и ожесточенной борьбы его съ Лейбницемъ? Если такъ, то ему не зачѣмъ бы было писать и исчисленіе флюксій. Притомъ, приписывая анализу открытія Ньютона, слѣдуетъ, чтобы быть послѣдовательнымъ и дѣлать заключенія о безсиліи геометрическаго способа, тоже самое сказать о трудахъ Маклорена, Стеварта и даже о знаменитой формулѣ Ламберта, которую самъ Лагранжъ призналъ лучшимъ и наиболѣе важнымъ открытіемъ во всей теоріи кометъ, хотя она получена была изъ соображеній чисто геометрическихъ.
    Оставимъ же геометріи ея дѣло. Анализъ имѣетъ уже достаточно блестящія пріобрѣтенія и достаточно богатую будущность, чтобы искренне сочувствовать прежнимъ успѣхамъ своей старшей сестры.
  17. Sectionum conicarum elementa nova methoda demonstrata; Oxoniae, 1702. Сочиненіе это написанное, какъ признается въ предисловіи самъ авторъ, въ подражаніе большему трактату Де-Лагира, имѣло большой успѣхъ и много изданій. Въ немъ коническія сѣченія разсматривались какъ сѣченія круглаго конуса совершенно произвольною плоскостію, безъ пособія осеваго треугольника. Впрочемъ методъ кажется намъ менѣе удаченъ, чѣмъ у Де-Лагира, потому что онъ заключался въ предварительномъ доказательствѣ нѣкоторыхъ частныхъ свойствъ гиперболы, которыя служили основаніемъ для перехода къ свойствамъ эллипса.
    Всѣ доказательства въ этомъ сочиненіи чисто синтетическія и чрезвычайно просты; для нашего времени чтеніе становится утомительнымъ вслѣдствіе безпрестаннаго употребленія пропорцій въ древней формѣ: было бы болѣе удобно и болѣе разумно замѣнить эту форму равенствомъ отношеній.
  18. Apollonii Pergaei locorum planorum, libri II restituti; in—4° Glosguae, 1749.
  19. Four Propositions etc. т. е. четыре предложенія, служащія для доказательства, что опредѣленіе Стевартомъ разстоянія земли отъ солнца ошибочно.
  20. Animadversions on Dr. Stewarts commutation of the sun's distance from the earth; in—8° London.
  21. Select exercises for young proficients in the mathematicks; in—8°, 1752.
    Двѣ первыя части этого сочіненія представляютъ обширный сборникъ задачъ по алгебрѣ и геометріи, рѣшенныхъ весьма изящнымъ образомъ. Онѣ были переведены на французскій языкъ подъ заглавіемъ: Elémens d'analyse pratique, ou application des principes de l'Algèbre et de la Géométrie, à la solution d'un très-grand nombre de problèmes numériques et géométriques; in—8°, 1771.
  22. Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, 1780.
  23. Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in—8°. Второе изданіе въ 1821 году.
  24. Когда точка взята на той же прямой, на которой лежатъ три остальныя точки, то теоремою Стеварта выражается общее соотношеніе между четырьмя произвольными точками прямой линіи. Мы нашли что это соотношеніе, также какъ и другія, относящіяся къ четыремъ точкамъ прямой, проистекаютъ изъ слѣдующаго общаго соотношенія между пятью точками прямой линіи:
    .
    Составленіе членовъ этого уравненія — очевидно. Чтобы опредѣлить знаки, раздѣлимъ всѣ члены на уравненіе обратится въ
    ;
    въ этомъ уравненіи надобно брать съ произведенія отрѣзковъ, которые считаются въ одномъ направленіи отъ общей ихъ точки, и съ произведенія отрѣзковъ, считаемыхъ въ противоположныя стороны.
    Вотъ нѣкоторыя соотношенія между четырьмя точками, выводимыя изъ этого общаго соотношенія.
    1) Если предположимъ, что находится въ безконечности, то, раздѣливъ на , получимъ
    .
    Каждый членъ этого уравненія есть произведеніе отрѣзковъ, образуемыхъ тремя изъ четырехъ точекъ.
    2) Если точки и сливаются, то выходитъ
    ;
    это — простѣйшее соотношеніе между четырьмя точками прямой линіи.
    3) Наконецъ, если будетъ въ безконечности, то общее уравненіе обращается въ уравненіе Стеварта, именно:
    .
  25. Скажутъ безъ сомнѣнія, что въ математикѣ, какъ и во всякой другой отрасли наукъ, вкусы свободны и что ученые сами должны отвѣчать за пренебреженіе, въ которомъ они оставляютъ геометрію. Въ отвѣтъ на это скажемъ прежде всего, что мы согласны признать необходимость преимущественнаго и даже исключительнаго преподаванія анализа, по причинѣ его всеобъемлемости, но только въ такихъ учрежденіяхъ, гдѣ науки математическія изучаются сами для себя; въ виду же приложеній математики къ научнымъ вопросамъ и къ интересамъ общественной жизни, на публичныхъ курсахъ, назначающихся исключительно для изложенія новыхъ открытій и для знакомства съ разнообразными отдѣлами математики должна по нашему мнѣнію, найти себѣ мѣсто и геометрія съ прекрасными методами, которыя она доставила великимъ геометрамъ двухъ послѣднихъ столѣтій, и съ ея усовершенствованіями въ послѣднее время. Однако на этихъ курсахъ излагаются только статьи по анализу и только такія открытія, которыя можно изложить помощію анализа: можно ли же сказать, что вкусы свободны? Такое равнодушіе къ столь важной отрасли математическихъ знаній, или, лучше сказать, устраненіе ея, неразумно и очень много вредитъ успѣхамъ этихъ знаній: всѣ науки, такъ тѣсно связаны другъ съ другомъ, что отсталость одной останавливаетъ развитіе другихъ.
  26. Principia, lib. I, sect. 3, prop. XIV.
  27. Петербургскіе Nova Acta, t. I, 1783.
  28. Этотъ способъ развитъ подробно и прпложенъ ко многимъ примѣрамъ въ третьей части собранія мемуаровъ Ламберта: Beiträge zur Mathematick, etc. Berlin, 1765—1772, 4 vol. in—8°.