Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Папп Александрийский/ДО

Первая эпоха: Паппъ Александрійскій
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Первая эпоха: Паппъ Александрійскій

23. Здѣсь оканчивается первый изъ трехъ періодовъ, на которые мы раздѣлили 1700 лѣтъ, отдѣляющихъ Архимеда и Аполлонія отъ времени возрожденія наукъ въ Европѣ.

Великія открытія въ математическихъ наукахъ, доставшіяся на долю древнему міру, закончены. Съ этого времени мы встрѣчаемъ уже не оригинальныхъ писателей, а только извѣстныхъ ученыхъ комментаторовъ, вышедшихъ деъ Александрійской школы. Впрочемъ, Паппа, стоящаго во главѣ ихъ, должно отличить отъ всѣхъ другихъ, потомучто въ его сочиненіяхъ видѣнъ еще духъ и производительная сила предшествующихъ столѣтій.

24. Этотъ геометръ около конца четвертаго столѣтія по Р. X. соединилъ въ своемъ Математическомъ Собраніи^[1] разрозненныя открытія знаменитыхъ математиковъ, и чтобы облегчить чтеніе ихъ трудовъ, присоединилъ къ этому множество теоремъ и леммъ. Въ этомъ собраніи, которое есть самый драгоцѣнный памятникъ математики древнихъ, находится много открытій, сдѣланныхъ самимъ Паппомъ, котораго Декартъ считалъ однимъ изъ самыхъ замѣчательныхъ геометровъ древности^[2]. Въ этомъ сочиненіи мы паходимъ образованіе кривой двоякой кривизны на шарѣ. Паппъ получаетъ именно спираль, подобную Архимедовой, посредствомъ равномѣрнаго движенія точки по большому кругу, который самъ вращается около своего діаметра (кн. 4-я, теор. 30). Паппъ выводитъ выраженіе части сферической поверхности, заключающейся между этою кривою и ея основаніемъ; это — первый примѣръ квадратуры кривой поверхности.

Знаменитая теорема Гюльдена, въ которой центръ тяжести служитъ для опредѣленія размѣровъ фигуръ, находится также въ Математическомъ Собраніи и, кажется, была придумана самимъ Паппомъ^[3].

25. Тотчасъ послѣ 30-й теоремы 4-й книги мы находимъ мѣсто, служащее вступленіемъ къ задачѣ о дѣленіи угла на три части, гдѣ сказано, что ученіе о кривыхъ поверхностяхъ и о получаемыхъ на нихъ, посредствомъ составнаго движенія, линіяхъ двоякой кривизны (какъ вышеупомянутая сферическая спираль) было уже разработано древними. Паппъ говоритъ здѣсь о мѣстахъ на поверхности и упоминаетъ сочиненія Димитрія Александрійскаго и Филона Тіанскаго объ этомъ предметѣ. Первое изъ нихъ носило заглавіе περί γραμμάτων έπιστάσεων, но кромѣ этого заглавія намъ болѣе отъ него ничего не осталось; второе имѣло предметомъ изслѣдованіе кривыхъ, происходящихъ отъ пересѣченія двухъ поверхностей; оно называлось περί πληκτοειδών. Монтукла замѣчаетъ справедливо, что по такимъ ничтожнымъ указаніямъ не легко судитъ, какія это были поверхности и линіи. Но ученому историку было вѣроятно неизвѣстно одно мѣсто у Паппа (кн. 4, теор. 29), изъ котораго мы узнаемъ, что поверхность винта съ четыреугольною нарѣзкою (la vis à filets carrés) есть плектоида; это ведетъ насъ къ предположенію, что слово плектоида означало вообще линейчатыя поверхности и вѣроятно выражало собою сплетеніе (l'entrelacement) прямыхъ линій, представляемое этими поверхностями; или, можетъ-быть, оно обозначало поверхности, называемыя теперь конусообразными (коноидами), которыя образуются движеніемъ прямой, опирающейся на неподвижную прямую и кривую линіи, параллельно данной плоскости; наконецъ, можетъ-быть, этимъ словомъ обозначались въ особенности винтообразныя поверхности и даже только поверхность винта съ четыреугольною нарѣзкою.

Неаполитанскій геометръ Флаути въ своемъ сочиненіи соединилъ подъ именемъ плектоидъ всѣ поверхности, образуемыя прямою линіею^[4].

Коммандинъ, въ комментаріяхъ къ Паппу, высказываетъ мнѣніе, что слово πληκτοειδής могло произойти отъ ошибки переписчика и должно быть замѣнено словомъ κυλινδρικός. Но такое предположеніе во всякомъ случаѣ невѣрно, потомучто въ томъ мѣстѣ Паппа^[5], которое послужило Коммандину поводомъ къ этому замѣчанію, слово πληκτοειδής безспорно относится не къ цилиндрической, а къ винтовой поверхности съ четыреугольною нарѣзкою.

26. По поводу квадратриксы Динострата Паппъ указываетъ на два свойства винтовыхъ поверхностей, о которыхъ мы здѣсь должны упомянуть, потомучто они доставляютъ два способа построенія квадратриксы и сверхъ того представляютъ собою одно изъ лучшихъ изысканій древнихъ о кривыхъ поверхностяхъ и линіяхъ двоякой кривизны.

Показавъ сперва построеніе квадратриксы посредствомъ пересѣченія вращающагося около центра радіуса круга съ діаметромъ, перемѣщающимся параллельно самому себѣ, — построеніе, которое онъ называетъ механическимъ (кн. 4, теор. 25), Паппъ говоритъ, что та же кривая можетъ быть получена посредствомъ мѣстъ на поверхности и посредствомъ Архимедовой спирали. Оба эти способа построенія суть слѣдующіе: Первый способъ, теорема 28. «Начертимъ винтовую линію на прямомъ кругломъ цилиндрѣ: перпендикуляры, опущенные изъ точекъ этой кривой на ось цилиндра, образуютъ винтообразную поверхность. Если проведемъ черезъ одинъ изъ такихъ перпендикуляровъ плоскость подъ нѣкоторымъ угломъ къ основанію цилиндра, то она пересѣчетъ винтовую поверхность по кривой, прямоугольное положеніе которой на плоскость основанія цилиндра будетъ квадратрикса.»

Второй способъ, теорема 29. «Примемъ Архимедову спираль за основаніе прямаго цилиндра и представимъ себѣ конусъ вращенія, имѣющій осью ту образующую цилиндра, которая проходитъ черезъ начало спирали; этотъ конусъ пересѣчется съ поверхностію цилиндра по кривой двоякой кривизны.^[6] Перпендикуляры, опущенные изъ точекъ этой кривой на вышесказанную образующую цилиндра, составляютъ винтообразную поверхность (въ этомъ именно мѣстѣ Паппъ называетъ ее плектоидой). Плоскость, проведенная подъ извѣстнымъ наклоненіемъ черезъ одинъ изъ перпендикуляровъ, пересѣкаетъ поверхность по кривой, прямоугольное проложеніе которой на плоскость спирали есть квадратрикса.»

Оба построенія состоятъ въ томъ, что винтовая поверхность пересѣкается плоскостію, проходящею черезъ образующую, и послѣ того сѣченіе пролагается на плоскость перпендикулярную къ оси винта. Въ первомъ построеніи винтовая поверхность получается при помощи винтовой линіи, черезъ которую проводятся образующія этой поверхности; во второмъ — образующія опредѣляются по линіи двоякой кривизны, нроисходящей отъ пересѣченія прямаго цилиндра, имѣющаго основаніемъ спираль, съ конусомъ вращенія, имѣющимъ осью образующую цилиндра, проходящую черезъ начало спирали.

27. Эти два построенія основываются, какъ мы видимъ, на слѣдующихъ двухъ свойствахъ винтообразныхъ поверхностеій — свойствахъ, хотя прямо и не высказанныхъ Паппомъ, но доказательство которыхъ заключается въ его теоремахъ 28 и 29.

1. Если винтообразная поверхность пересѣчена плоскостію, проходящею черезъ образующую линію, то кривая сѣченія пролагается на плоскость, перпендикулярную къ оси поверхности, въ видѣ квадратиксы Динострата^[7].
2. Конусъ вращенія, имѣющій одну и ту же ось съ винтообразною поверхностію, пересѣкаетъ эту поверхность по кривой двоякой кривизны, проложеніе которой на плоскость перпендикулярную къ оси есть Архимедова спираль.

Обѣ теоремы ведутъ къ построенію спирали помощію мѣстъ на поверхности, подобно указанному Паппомъ построенію квадратриксы.

28. Эти изслѣдованія кривыхъ поверхностей и линій двоякой кривизны въ примѣненіи къ построенію плоскихъ кривыхъ, находящія теперь свое мѣсто въ начертательной геометріи и составляющія отличительный характеръ школы Монжа, заслуживаютъ, какъ мнѣ кажется, чтобы въ сочиненіи Паппа на нихъ было обращено вниманіе. Онн могли бы привести этого геометра къ построенію касательныхъ къ спирали и квадратриксѣ; для этого было бы достаточно замѣчанія, что касательныя эти суть проложенія касательныхъ къ кривымъ, проведеннымъ на винтообразной поверхности, и что касательная въ точкѣ пересѣченія двухъ поверхностей есть пересѣченіе касательныхъ плоскостей къ поверхностямъ въ этой точкѣ. Этимъ путемъ очень легко получаются всѣ извѣстныя свойства касательныхъ спирали и квадратриксы^[8]. Такія изслѣдованія совершенно въ духѣ современной начертательной геометріи; но едва ли вѣроятно, чтобы познанія древнихъ о кривыхъ поверхностяхъ могли простираться такъ далеко; сомнительно даже, существовало ли во времена Паппа достаточно ясное понятіе о касательной плоскости въ данной точкѣ винтовой поверхности.

29. Вдумываясь въ сущность вышеприведенныхъ построеній, мы замѣтимъ, что на нихъ можно смотрѣть, какъ на простыя приложенія двухъ общихъ способовъ превращать всякія плоскія кривыя въ другія, совершенно съ ними различныя, посредствомъ винтообразной поверхности. Помощію такихъ преобразованій обнаруживаются соотношенія между построеніями и свойствами такихъ кривыхъ, которыя повидимому ничего не имѣютъ общаго, кромѣ одинаковой формы уравненія между совершенно разнородными перемѣнными. Таковы, напримѣръ, разнаго наименованія спирали по отношенію къ тѣмъ кривымъ, которыя носятъ то же наименованіе въ обыкновенной системѣ координатъ. Нѣкоторыя мысли объ этомъ я изложу въ Примѣчаніи VIII.

30. Въ Математическомъ Собраніи находится много теоремъ, которыя въ наше время относятся къ теоріи трансверсалей, между прочимъ и та теорема, которая служитъ основаніемъ этой теоріи и которая заставляетъ предполагать, что изящное и полезное ученіе о трансверсаляхъ употреблялось уже древними, преимущественно въ сочиненіяхъ, относившихся къ геометрическому анализу.

Изъ теоремъ, относящихся къ теоріи трансверсалей и изъ которыхъ многія имѣютъ предметомъ гармоническую пропорцію, мы приведемъ нѣкоторыя, доказанныя въ 7-й книгѣ и назначенныя служитъ леммами для пониманія поризмъ Евклида.

Теорема 129-я говоритъ: если четыре линіи исходятъ изъ одной точки, то онѣ образуютъ на сѣкущей, проведенной произвольно въ той же плоскости, четыре отрѣзка, которые имѣютъ между собою опредѣленное постоянное стношеніе, каково бы нибыло положеніе сѣкущей. Пусть $a,\,b,\,c,\,d$ будутъ точки, въ которыхъ четыре прямыя встрѣчаются съ произвольною сѣкущей, и $ac,\,ad,\,bc,\,bd$ четыре отрѣзка: отношеніе ${\tfrac {ac}{ad}}:{\tfrac {bc}{bd}}$ остается то же, какова бы ни была сѣкущая.

Мы посвящаемъ этой теоремѣ весь настоящій параграфъ, чтобы обратить на нее все вниманіе нашихъ читателей. Теоремы 136, 137, 140, 142 и 145 суть или частные случаи, или предложенія обратныя этой главной теоремы. Изъ того, что она повторена у Паппа въ столь различныхъ видахъ, слѣдуетъ предполагать, что для поризмъ Евклида она имѣла особенное значеніе. Теперь же она остается безъ примѣненій.

Справляясь о тѣхъ новыхъ геометрахъ, которые употребляли эту теорему, мы найдемъ, что Паскаль въ Essai pour les coniques считаетъ ее главною теоремою, которою онъ пользовался въ своемъ Traité о коническихъ сѣченіяхъ; далѣе, что Дезаргъ принялъ за основаніе своей теоріи перспективы (édition de Bosse, 1648, p. 336) частный случай этой теоремы (именно 137-ю теорему Паппа) и что Р. Симсонъ доказалъ эту лемму Паппа и пользовался ею для доказательства одного предложенія въ Traité des porismes. Въ послѣднее время Бріаншонъ упоминаетъ объ ней въ мемуарѣ о линіяхъ втораго порядка и Понселе приводитъ ее въ Traité des propriétés projectives (стр. 12). Но оба эти искусные геометра не дѣлаютъ изъ нея никакаго особаго употребленія и подробно занимаются только частнымъ случаемъ, когда четыре линіи образуютъ гармоническій пучекъ.

Вслѣдствіе этого намъ кажется, что теорема эта недостаточно обратила на себя вниманіе геометровъ.

Мы думаемъ однако, что она способна къ многочисленнымъ приложеніямъ и можетъ сдѣлаться самою полезною и богатою слѣдствіями теоремою геометріи. Она играетъ важную роль въ нашихъ принцинахъ двойственности и преобразованія фигуръ, составляя основное начало той ихъ стороны, которая касается количественныхъ соотношеній. Мы будемъ также ею пользоваться въ этомъ сочиненіи; поэтому считаемъ необходимымъ назвать особымъ именемъ отношеніе четырехъ отрѣзковъ, о которомъ здѣсь идетъ рѣчь. Въ частномъ случаѣ, когда это отношеніе равно единицѣ, оно получило названіе гармоническаю отношенія; въ общемъ случаѣ мы будемъ называть его ангармоническимь отношеніемъ, или ангармоническою функціею. Такимъ образомъ, если четыре прямыя, выходящія изъ одной точки, пересѣчены трансверсалью въ точкахъ $a,\,b,\,c,\,d$, то отношеніе ${\tfrac {ac}{ad}}:{\tfrac {bc}{bd}}$ будетъ ангармоническая функція четырехъ точекъ $a,\,b,\,c,\,d$.

Теорема Паппа заключается въ томъ, что эта функція сохраняетъ постоянно одну и ту же величину, каково бы ни было положеніе трансверсали, если только прямыя, проходящія черезъ одну точку, остаются тѣ же. Таково прекрасное свойство ангармонической функціи четырехъ точекъ, отличающее ее отъ всякой другой функціи, составленной изъ отрѣзковъ между четырьмя точками.

Намъ кажется, что понятіе объ ангармонической функціи должно привести къ значительному упрощенію большинства геометрическихъ задачъ и что оно, гораздо лучше Птоломеевой теоремы, можетъ служить основаніемъ теоріи трансверсалей. Съ помощію его получается наглядное доказательство всѣхъ извѣстныхъ теоремъ о системѣ прямыхъ линій и выводится много новыхъ теоремъ. Особенно будетъ оно полезно въ теоріи коническихъ сѣченій, указывая связь между множествомъ отдѣльно стоящихъ теоремъ и соотношеній, которыя всѣ такимъ образомъ будутъ приведены къ небольшому числу основныхъ предложеній.

Мы намѣрены посвятить теоріи ангармоническаго отношенія особое сочиненіе; но нѣкоторыя главныя теоремы и въ особенности другую алгебраическую форму, въ которой можетъ представляться теорема Паппа, мы сообщимъ теперь же, и для этого отсылаемъ читателей къ Примѣчанію IX.

31. Возвращаемся къ Паппу. Теорема 130-я представляетъ соотношеніе между шестью отрѣзками, образуемыми на сѣкущей четырьмя сторонами и двумя діагоналями четыреугольника. Теоремы 127-я и 128-я суть частные случаи 130-й.

Чертежъ въ сочиненіи Паппа, представляющій четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника, пересѣченныя трансверсалью, можно также разсматривать, какъ три стороны треугольника, къ вершинамъ котораго изъ одной точки проведены три другія прямыя. Эти шесть прямыхъ образуютъ на трансверсали шесть отрѣзковъ, изъ которыхъ каждый заключается между стороною треугольника и одною изъ линій, проведенныхъ черезъ вершины, лежащія на этой сторонѣ. При такомъ толкованіи теорему Паппа легко выразить словами и удержать въ памяти: она заключается въ томъ, что произведеніе трехъ отрѣзковъ, не имѣющихъ общихъ конечныхъ точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ; это соотношеніе сходно съ тѣмъ, которое составляетъ Птоломееву теорему. Разсматриваемая съ этой точки зрѣнія, теорема Паппа можетъ быть употребляема для доказательства, что три линіи, извѣстнымъ образомъ проведенныя черезъ вершины треугольника, проходятъ черезъ одну и ту же точку; подобно тому, какъ употребляется Птоломеева теорема для доказательства, что три точки, расположенныя извѣстнымъ образомъ на сторонахъ треугольника, лежатъ на одной прямой.

Теорема 131-я показываетъ, что въ каждомъ четыреугольникѣ діагопаль дѣлится гармонически другою діагональю и линіею, соединяющею точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ.

Въ предложеніи 132-мъ разсматривается особый случай этой теоремы, которая сама есть опять слѣдствіе общей 130-й теоремы. Теоремы 134, 138, 141 и 143 суть или обратныя предложенія, или частные случаи теоремы 139-й, въ которой доказывается, что если шесть вершинъ шестиугольника лежатъ по три на двухъ прямыхъ линіяхъ, то точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ лежатъ на одной прямой. Это предложеніе замѣчательно не только само по себѣ, но и потому, что на него можно смотрѣть, какъ на первый шагъ къ знаменитой теоремѣ Паскаля о шестиугольникѣ, вписанномъ въ коническое сѣченіе. Вмѣсто системы двухъ прямыхъ, въ которую Паппъ вписываетъ шестиугольникъ, въ теоремѣ Паскаля входитъ какое бы то ни было коническое сѣченіе^[9]. Приведенная выше 130-я теорема допускаетъ подобное же обобщеніе, на которое мы укажемъ, когда будемъ говорить о Дезаргѣ.

Въ предисловіи Паппъ приводитъ, какъ обобщеніе одной поризмы Евклида, прекрасную теорему о видоизмѣненіи многоугольника, стороны котораго проходятъ черезъ точки, лежащія на одной прямой, когда вершины его, за исключеніемъ одной, перемѣщаются по произвольнымъ прямымъ. Эта теорема получила въ послѣднемъ столѣтіи нѣкоторую извѣстность, благодаря новому обобщенію, данному ей Маклореномъ и Брайкенриджемъ (Braikenridge), и благодаря соперничеству, которое она возбудила между этими замѣчательными геометрами. Понселе вновь изслѣдовалъ этотъ предметъ съ полнотою и ясностію, составляющпми принадлежность его ученаго труда: Traité des propriétés projectives de figures (отд. 4, гл. II п III).

32. Мы должны упомянуть еще объ одномъ изслѣдованіи, которое, подобно предыдущимъ, относится къ теоріи трансверсалей; это знаменитая задача ad tres aut plures lineas, о которой Паппъ говоритъ, какъ о камнѣ преткновенія для древнихъ, и которая обязана новою извѣстностію Декарту, сдѣлавшему изъ нея первое приложеніе своей геометріи. Задача эта состоитъ въ томъ, чтобы Паскаля входитъ какое бы то ни было коническое сѣченіе^[10]. Приведенная выше 130-я теорема допускаетъ подобное же обобщеніе, на которое мы укажемъ, когда будемъ говорить о Дезаргѣ.

Въ предисловіи Паппъ приводитъ, какъ обобщеніе одной поризмы Евклида, прекрасную теорему о видоизмѣненіи многоугольника, стороны котораго проходятъ черезъ точки, лежащія на одной прямой, когда вершины его, за исключеніемъ одной, перемѣщаются по произвольнымъ прямымъ. Эта теорема получила въ послѣднемъ столѣтіи нѣкоторую извѣстность, благодаря новому обобщенію, данному ей Маклореномъ и Брайкенриджемъ (Braikenridge), и благодаря соперничеству, которое она возбудила между этими замѣчательными геометрами. Понселе вновь изслѣдовалъ этотъ предметъ съ полнотою и ясностію, составляющпми принадлежность его ученаго труда: Traité des propriétés projectives de figures (отд. 4, гл. II и III).

32. Мы должны упомянуть еще объ одномъ изслѣдованіи, которое, подобно предыдущимъ, относится къ теоріи трансверсалей; это знаменитая задача ad tres aut plures lineas, о которой Паппъ говоритъ, какъ о камнѣ преткновенія для древнихъ, и которая обязана новою извѣстностію Декарту, сдѣлавшему изъ нея первое приложеніе своей геометріи. Задача эта состоитъ въ томъ, чтобыпо нѣсколькимъ даннымь прямымъ найти геометрическое мѣсто точекъ, имѣющихъ то свойство, что если изъ нихъ на данныя прямыя проведемъ перпендикцляры, или вообще линіи подъ данными уілами, то произведеніе нѣкоторыхъ изъ этихъ линій находится въ постоянномъ отношеніи къ произведенію остальныхъ. ^[11]

Эта задача, получившая со времени Декарта названіе задача Паппа, уже испытала на себѣ глубину соображенія Евклида и Аполлонія. Они рѣшили ее только для трехъ и четырехъ прямыхъ и нашли, что въ этомъ случаѣ искомое геометрическое мѣсто есть коническое сѣченіе; отсюда проистекаетъ слѣдующее общее свойство этихъ кривыхъ: если въ коническое сѣченіе вписанъ какой-нибудь четыреугольникъ, то произведеніе разстояній каждой точки кривой отъ двухъ противоположныхъ сторонъ находится въ постоянномъ отношеніи къ произведенію разстояній той же точки отъ двухъ другихъ сторонъ.

Ньютонъ далъ чисто геометрическое доказательство этой прекрасной теоремы и съ выгодою употреблялъ ее въ Principia mathematica philosophiae naturalis. Сочиненія о коническихъ сѣченіяхъ, появившіяся вскорѣ послѣ этого знаменитаго сочиненія Ньютона, заимствовали изъ него эту теорему, но не извлекли изъ нея всѣхъ приложеній, къ которымъ она способна; позднѣе она какъ бы совершенно исчезла изъ теоріи коническихъ сѣченій^[12]. А между тѣмъ, по нашему мнѣнію, она представляетъ самое общее и плодовитое свойство этихъ кривыхъ. Достаточно сказать, что изъ нея, какъ прямыя слѣдствія, проистекаютъ слѣдующія теоремы: извѣстный мистическій шестиугольникъ Паскаля, теорема Дезарга объ инволюціи шести точекъ; постоянное отношеніе между произведеніемъ ординатъ и произведеніемъ отрѣзковъ главной оси; прекрасная теорема Ньютона объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій; наконецъ еще одна теорема, основывающаяся на понятіи объ ангармоническомъ отношеніи, изъ которой проистекаетъ множество свойствъ коническихъ сѣченій. Кстати прибавимъ здѣсь, что эта послѣдняя теорема обладаетъ сама по себѣ такою общностію и такъ просто доказывается a priori, что мы предполагаемъ принять ее за основное предложеніе теоріи коническихъ сѣченій (см. Примѣчаніе XV).

33. Считаемъ умѣстнымъ сдѣлать здѣсь еще одно необходимое замѣчаніе; оно можетъ служить оправданіемъ важности, которую мы старались придать 129-й теоремѣ Паппа и понятію объ ангармоническомъ отношеніи. Всѣ теоремы, указанныя нами въ 7-й книгѣ Математическаго Собранія, между прочимъ теорема о видоизмѣненіи многоугольника, теорема ad quatuor lineas и многія теоремы объ инволюціи шести точекъ, о которыхъ мы тотчасъ будемъ говорить; всѣ эти теоремы, отличающіяся большою общностію и важнымъ значеніемъ для новѣйшей геометріи, могутъ быть выведены изъ одного источника: — изъ одного свойства ангармоническаго отношенія четырехъ точекъ. Такой способъ ихъ полученія есть вмѣстѣ съ тѣмъ самый простой, потомучто при этомъ не требуется, можно сказать, никакого доказательства.

Прибавимъ къ этому еще слѣдующее. Узнавъ, что большая часть леммъ Паппа, относящихся по всей вѣроятности къ первой книгѣ поризмъ Евклида, можетъ быть выведена изъ одной теоремы, о которой здѣсь идетъ рѣчь, мы думаемъ, что эта же теорема будетъ служить ключемъ ко всей первой книгѣ поризмъ и что она приведетъ къ разъясненію предложеній, оставленныхъ намъ Паппомъ; потомучто во всякой теоріи существуетъ основная истина, изъ которой проистекаютъ всѣ остальныя. И въ самомъ дѣлѣ, принявъ эту теорему за точку отправленія при разъясненіи поризмъ, мы получили нѣсколько теоремъ, которыя, какъ намъ кажется, соотвѣтствуютъ этого рода предложеніямъ.

34. Упомянемъ еще изъ 7-й книги Математическаго Собранія о 40 леммахъ, относящихся къ сочиненію Аполлонія de determinata sectione и принадлежащихъ къ новѣйшимъ геометрическимъ ученіямъ. Эти леммы представляютъ соотношенія между отрѣзками, образуемыми нѣсколькими точками на одной прямой.

Съ самаго начала нельзя скоро понять, въ чемъ заключается истинное значеніе этихъ многочисленныхъ предложеній и какое отношеніе всѣ они имѣютъ къ вопросу; отъ этого пониманіе ихъ вначалѣ затруднительно. Но при нѣкоторомъ вниманіи мы узнаемъ, что они относятся къ теоріи инволюціи шести точекъ, теоріи, созданной Дезаргомъ и принесшей великую пользу новой геометріи. Эти леммы еще не содержатъ въ себѣ самаго общаго инволюціоннаго соотношенія между шестью точками (кажется даже, древніе вовсе не знали преобразованій этого общаго отношенія), но представляютъ свойства многихъ соотношеній, которыя теперь разсматриваются какъ частные случаи общаго соотношенія. Такъ, въ теоремахъ 22, 29, 30, 32, 34, 35, 36 и 44 разсматривается инволюція пяти точекъ. Онѣ относятся къ двумъ системамъ двухъ сопряженныхъ^[13] точекъ и къ ихъ центру, который есть такая точка, что произведеніе разстояній ея отъ двухъ первыхъ точекъ равно произведенію разстояній ея же отъ двухъ другихъ; отсюда же проистекаетъ и другое соотношеніе между пятью точками.

Чтобы получить эти предложенія изъ общаго соотношенія между шестью точками, достаточно замѣтить, что точка, сопряженная пятой точкѣ, т. е. центру, находится въ безконечности.

Теоремы 37 и 38 имѣютъ предметомъ инволюцію четырехъ точекъ, именно двухъ сопряженныхъ, одной изъ двойныхъ и центра.

Теоремы 39 и 40 выражаютъ свойство инволюціи пяти точекъ: двухъ паръ сопряженныхъ точекъ и одной изъ двойныхъ.

Теоремы 41, 42, 43 представляютъ соотношеніе между двумя парами сопряженныхъ точекъ и центромъ: это соотиошеніе новое и по формѣ оно отличается отъ извѣстнаго соотношенія между шестью точками. Двѣнадцать теоремъ 45—56 содержатъ въ себѣ также общее соотношеніе между двумя парами сопряженныхъ точекъ, центромъ и еще какою-нибудь точкой. Теоремы 41, 42 и 43 представляютъ слѣдствія предыдущихъ, какъ болѣе общихъ.

Наконецъ, теоремы 61, 62 и 64 выражаютъ собою любопытное свойство наибольшихъ и наименьшихъ по отношенію къ двумъ парамъ сопряженныхъ точекъ и къ двойной точкѣ; это свойство состоитъ въ томъ, что отношеніе произведеній разстояній двойной точки отъ сопряженныхъ точекъ есть наибольшее или наименьшее.

Посредствомъ весьма красиваго построенія Паппъ даетъ геометрическое выраженіе этого отношенія и говоритъ только, что оно есть наибольшее или наименьшее, доказательство же находилось въ самомъ сочиненіи Аполлонія. Утрата геометрическаго доказательства въ этой задачѣ о наиболынихъ и наименынихъ величинахъ, въ томъ видѣ, какъ оно было дано самими древними, есть истинная для насъ потеря; хотя оно и для новаго анализа не представляетъ никакихъ затрудненій. Этотъ вопросъ былъ однимъ изъ первыхъ, послужившихъ Фермату приложеніемъ его превосходнаго способа de maximis et minimis. (Opera mathematica, p. 67).

35. Намъ кажется, что предложенный нами разборъ 43 леммъ Паппа знакомитъ съ ихъ общимъ характеромъ и можетъ облегчить ихъ пониманіе. Мы видимъ, что одна и та же теорема высказывается обыкновенно во многихъ отдѣльныхъ предложеніяхъ, и это зависитъ единственно отъ того, что различные способы выраженія предложеній соотвѣтствуютъ особымъ чертежамъ, различающимся между собою только положеніемъ разсматриваемыхъ точекъ. Это различіе въ относительномъ положеніи данныхъ и искомыхъ точекъ послужило поводомъ къ самому названію сочиненія Аполлонія: de sectione determinata; разные же случаи, представляющіеся при различномъ положеніи точекъ, этотъ геометръ, а за нимъ и Паппъ, обозначали именемъ έπίταγμα ^[14]. Одно изъ важнѣйшихъ преимуществъ новѣйшей геометріи передъ древней заключается въ томъ, что она, благодаря употребленію положительныхъ и отрицательныхъ количествъ, обнимаетъ въ одномъ выраженіи всѣ особые случаи теоремы, каковы бы ни были относительныя положенія частей фигуры. Такимъ образомъ въ настоящее время девять главныхъ задачъ, составлявшихъ вмѣстѣ съ ихъ многочисленными частностями 83 теоремы въ двухъ книгахъ de sectione determinata, представляютъ одну задачу, разрѣшаемую помощію только одной формулы.

Многіе писавшіе о геометрическомъ анализѣ древнихъ занимались сочиненіемъ de sectione determinata, частію пытаясь вполнѣ возстановить обѣ книги, частію разрѣшая отдѣльныя задачи. Таковы въ XVII столѣтіи: Снеллій, Александръ Андерсонъ, Марино Гетальди ; къ концу того же столѣтія: Рожеръ Винтимилья, Гуго Омерикъ; потомъ Р. Симсонъ въ оставшемся послѣ него трудѣ Орега геіідиа 1776 г. и около того же времени Джіаннини въ Оризсиіа таіЬетаііса.

Въ послѣднее время Дж. Лесли посвятилъ также нѣсколько страницъ этой задачѣ въ беотеігісаі Апаіузіз (кн. 2, теор. 10—18). Его изслѣдованіе тѣсно связано съ теоріею инволюціи шести точекъ и рѣшеніе, какъ кажется, выведено изъ этой теоріи. Дѣйствительно, одно новое свойство инволюціи прямо привело насъ къ простому и общему построенію задачи de sectione determinata, рѣшенію, кажется, отличающемуся отъ всѣхъ прежнихъ. Та же теорія ведетъ къ доказательству изслѣдованнаго Аполлоніемъ случая наибольшихъ. (См. Примѣчаніе X).

36. Леммы Паппа къ плоскимъ мѣстамъ Аполлонія представляютъ также нѣкоторыя соотношенія между отрѣзками, образуемыми точками прямой линіи; но эти соотношенія отличаются отъ предыдущихъ и не могутъ быть выведены изъ общаго выраженія инволюціи шести точекъ. Но и они могутъ быть приведены къ одной теоремѣ, выражающей общее свойство четырехъ точекъ, расположенныхъ произвольно на прямой линіи: эта теорема есть вторая общая теорема Стеварта^[15]. Предложенія 123 и 124, представляющія соотношеніе между четырьмя произвольными точками прямой и извѣстнымъ образомъ взятой пятой точкой, суть очень простыя слѣдствія этой теоремы.

Предложеніями 125 и 126 выражается соотношеніе между четырьмя произвольными точками прямой и легко видѣть, что это есть ничто иное, какъ въ высшей степени простое преобразованіе той же теоремы.

Четыре предложенія 119—122, которыя вмѣстѣ съ четырьмя предыдущими составляютъ всѣ восемь леммъ Паппа къ плоскимъ мѣстамъ Аполлонія, относятся къ треугольнику; весьма замѣчательно, что эти четыре предложенія, повидимому совершенно отличныя отъ предыдущихъ и не имѣющія съ ними никакой связи, являются опять слѣдствіями той же теоремы Стеварта.

37. Предпринявъ возстановленіе поризмъ Евклида и сочиненій Аполлонія de sectione determinata и de locis planis, Р. Симсонъ доказалъ въ отдѣльности многочисленныя леммы, относящіяся къ этимъ сочиненіямъ. Мы видѣли выше, что всѣ эти леммы можно привести къ немногимъ предложеніямъ и тѣмъ значительно облегчить подобную работу; но такого рода обобщеніе не было еще въ духѣ геометріи во время Р. Симсона (съ тѣхъ поръ прошло около ста лѣтъ), а если бы и было, то оно не соотвѣтствовало бы цѣли этого искуснаго и глубокомысленнаго геометра, рѣшившагося прослѣдить шагъ за шагомъ каждое слово и каждое указаніе Паппа.

38. Остальныя леммы 7-й книги Математическаго Собранія, которыя мы пройдемъ молчаніемъ, имѣютъ меньшій интересъ. Это совершенно отдѣльныя предложенія, относящіяся къ кругу, треугольнику и къ коническимъ сѣченіямъ, и не представляющія никакой трудности. Онѣ назначены для поясненія сочиненій: de inclinationibus, de tactionibus и octo libri conicorumАполлонія и libri duo locorum ad superficiem Евклида.

Изъ леммъ, относящихся къ книгѣ de tactionibus приведемъ только слѣдующую задачу, очень просто разрѣшенную Паппомъ: «чрезъ три данныя на прямой линіи точки провести три прямыя такъ, чтобы образующійся изъ нихъ треугольникъ былъ вписанъ въ данномъ кругѣ» (теор. 117). Теоремы 105, 107 и 108 суть особые случаи этой задачи, въ которыхъ одна изъ трехъ данныхъ точекъ предполагается на безконечномъ разстояніи.

Если предположимъ, что положеніе трехъ данныхъ точекъ совершенно произвольно, то получимъ болѣе общую задачу, знаменитую и по ея трудности, и по именамъ тѣхъ геометровъ, которые ею занимались, и въ особенности по тому, что самое общее и простое рѣшеніе ея было найдено неаполитанскимъ шестнадцатилѣтнимъ юношею Олтаяно (Oltajano). (См. Примѣчаніе XI).

Приведемъ наконецъ еще 238-ю и послѣднюю лемму, относящуюся къ loci ad superficiem и выражающую свойство директрисъ во всѣхъ трехъ видахъ коническихъ сѣченій. «Разстоянія каждой точки коническаго сѣченія отъ фокуса и отъ директрисы находятся въ постоянномъ отношеніи.» Этой прекрасной теоремы нѣтъ въ коническихъ сѣченіяхъ Аполлонія.

39. Въ 8-й книгѣ Математическаго Собранія говорится главнымъ образомъ о машинахъ, которыя употреблялись въ практической механикѣ, и о примѣненіи ихъ къ органическому образованіго кривыхъ линій. Тутъ же встрѣчаются различныя геометрическія предложенія; изъ нихъ наиболѣе замѣчательна теорема о центрѣ тяжести треугольника, которую можно выразить такъ: «если три тѣла, помѣщенныя первоначально въ вершинахъ треугольника, оставляютъ ихъ въ одно и то же время и движутся въ одномъ и томъ же направленіи по сторонамъ треугольника съ скоростями пропорціональными длинѣ соотвѣтствующихъ сторонъ, то центръ тяжести остается неизмѣннымъ».

Новѣйшіе геометры распространили эту теорему на всякій многоугольникъ, плоскій или косой. Въ изданіи Récréations mathématiques d'Ozanam Монтукла доказалъ ее при помощи механическихъ соображеній и думалъ, что чисто геометрическое рѣшеніе представляетъ значительныя трудности. Рѣшеніе, данное Паппомъ основывается на знаменитой Птоломеевой теоремѣ объ отрѣзкахъ, образуемыхъ сѣкущею на трехъ сторонахъ треугольника. Паппъ при доказательствѣ считаетъ эту послѣднюю теорему извѣстною и потомъ, позднѣе, доказываетъ ее.

40. Теорема 14-я той же книги доставляетъ очень простое рѣшеніе задачи: «по даннымъ двумъ сопряженнымъ діаметрамъ эллипса опредѣлить величину и направленіе главныхъ осей». Паппъ даетъ построеніе этой задачи, но безъ доказательства. Доказательство было возстановлено Эйлеромъ, который показалъ кромѣ того много другихъ рѣшеній той же задачи (Novi Commentarii Petropol. t. III. 1750—1751). Другіе геометры рѣшали ту же задачу различными способами.

Рѣшивъ соотвѣтствующую задачу въ пространствѣ, т. е. задачу объ нахожденіи главныхъ осей эллиисоида по тремъ даннымъ сопряженнымъ діаметрамъ, мы изъ нея извлекли новое построеніе осей эллипса, которое, кажется, превосходитъ всѣ степени простоты, уже достигнутыя во многихъ прежнихъ рѣшеніяхъ^[16]. Вообще при изученіи геометріи мы часто имѣемъ случай замѣтить, что рѣшенія плоской геометріи, имѣющія себѣ соотвѣтственныя въ пространствѣ, всегда бываютъ самыя общія и простыя. Этотъ принципъ можетъ до извѣстной степени служить испытаніемъ и признакомъ того, достигли ли мы всевозможной общности и полноты рѣшенія; или, другими словами, попали ли мы на тотъ способъ, или путь, который прямо соотвѣтствуетъ вопросу.

Прибавленіе. Первое предложеніе IV-й книги Математическаго Собранія Паппа есть общее свойство треугольниковъ, которое авторъ представляетъ, какъ обобщеніе теоремы о квадратѣ гипотенузы прямоугольнаго треугольника. До сихъ поръ еще не было замѣчено, что это предложеніе есть ничто иное, только въ другой формѣ, какъ свойство параллелограммовъ, которое составляетъ въ механикѣ основаніе теоріи моментовъ; это свойство было открыто только въ началѣ послѣдняго столѣтія Вариньономъ, который представилъ его также какъ «нѣчто подобное 47-теоремѣ первой книги элементовъ Евклида (теоремѣ о квадратѣ гипотенузы)» и изложилъ его такимъ образомъ: Если на двухъ смежныхъ сторонахъ параллелограмма и на діагонали, выходящей изъ той же вершины, построимъ три треугольника, имѣющіе общую вершину въ какой нибудь точкѣ въ плоскости фиіуры, то сумма, или разность, двухъ первыхъ треугольниковъ будетъ равна третьему треугольникуѣ. (См. Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, année 1719).

Еще задолго до этого времени Вариньонъ доказалъ и употреблялъ въ механикѣ теорему о параллелограммѣ, очень извѣстную въ новѣйшей геометріи и которая въ сущности есть то же, что предыдущая, только въ другомъ видѣ; именно: Если двѣ смежныя стороны параллелограмма и діагональ, выходящую изъ той же вершины проложимъ на какую нибудь прямую, то проэкція діагонали будетъ равна суммѣ, или разности, проэкцій сторонъ. (См. Projet d'une nouvelle Mécanique, in-4°, 1687, p. 189).

41. Въ предисловіи къ 7-й книгѣ Математическаго Собранія находится ясное опредѣленіе анализа и синтеза, не оставляющее никакого сомнѣнія относительно точнаго и опредѣленнаго характера этихъ двухъ методовъ; тѣмъ болѣе, что Паппъ въ этой книгѣ даетъ часто примѣры того и другаго въ примѣненіи къ одной и той же задачѣ.

Послѣ этого опредѣленія Паппъ перечисляетъ сочиненія о locus resolutus, по собственному выраженію древнихъ. Этимъ именемъ обозначились тѣ предмегы, которые долженъ былъ знать всякій, кто желалъ умѣть разрѣшать задачи. Эти сочиненія большею частію относились къ геометрическому аналнзу и вотъ, по указанію Паппа, заглавія ихъ: одна книга Data Евклида; двѣ книги de sectione rationis, двѣ книги de sectione spatii и двѣ книги de lactionibus Аполлонія; три книги Porismata Евклида; двѣ книги de inclinatione, двѣ книги de locis planis и восемь книгъ Conica Аполлонія; пять книгъ de locis solidis древняго Аристея; двѣ книги de locis ad superficiem Евклида; двѣ книги de mesia ratione ЭратосФена. Къ этому перечню должно еще присоединить двѣ книги de sectione determinata Аполлонія, о которыхъ Паппъ говоритъ позднѣе. Изъ всѣхъ этихъ сочиненій до насъ дошли только Data Евклида, семь книгъ Conica и послѣдній отдѣл книги de sectione determinata Аполонія. Остальныя, на основаніи того, что о нихъ говоритъ Паппъ, были возстановлены въ духѣ древности различными геометрами XVI и XVII столѣтія.

42. Любовь къ геометріи древнихъ, около вѣка тому назадъ такъ много способствовавшая въ возвышенію математическихъ наукъ, особенно въ отечествѣ Ньютона, съ тѣхъ поръ значительно уменьшилась и, быть можетъ, исчезла бы совсѣмъ, еслибы ей не оставались вѣрны итальянскіе геометры. Мы обязаны въ наше время Ферголѣ и ученикамъ его Бруно, Флаути и Скорца важными сочиненіями о геометрическомъ анализѣ древнихъ, который возстановленъ ими въ первоначальной чистотѣ. Творенія древнихъ объ этомъ предметѣ, названія которыхъ мы только что выписали у Паппа, составляли дополненія къ геометріи, которыя безъ сомнѣнія ускорили бы движеніе науки еслибы сохранились въ полнотѣ до вромени возрожденія наукъ. Въ новѣйшей геометріи вовсе нѣтъ подобныхъ дополненій и мы чувствуемъ, что вслѣдствіе значительныхъ успѣховъ и усовершрнствованій въ этой наукѣ, эти донолненія должны бы основываться на совершенно иныхъ началахъ, а не на началахъ греческой школы. Они должны бы прежде всего носить на себѣ отпечатокъ простоты и общности, которыя составляютъ главный характеръ новой геометріи.

Примѣчанія.

1. Pappi Alexandrini mathematicae collectiones, a Frederico Commandino in latinum conversae, et commentariis illustratae. Pisanii 1588, fol., и Borioniae 1660, fol.
2. «Я убѣжденъ, что первоначальные зародыши истины, которые природа вложила въ разумъ человѣческій и которые мы заглушаемъ въ себѣ обиліемъ и разнообразіемъ читанныхъ и слышанныхъ заблужденій, имѣли такую силу и такое вліяніе въ простодушномъ древнемъ мірѣ, что люди, озаряемые свѣтомъ разума, поставляющаго добродѣтель выше удовольствія и справедливость выше выгодъ, еще не сознавая этого преимущества, — эти люди составили себѣ ясныя понятія о философіи и математикѣ, хотя и не могли довести этихъ наукъ до совершенства. Такія черты, свойственныа истиннымъ математикамъ, мнѣ кажется, встрѣчаются въ Паппѣ и Діофантѣ...» (Descartes. Règles pour la direction de l'esprit, 4-e правило)
3. См. конецъ предисловія къ 7-ой книгѣ Математич. Собранія.
4. Geometria di sito sul piano e nello spazio; Неаполь 1821.
5. Книга 4-я, теорема 29-я, прим. F, стр. 92 изданія 1660 г.
6. Это есть коническая винтовая линія, принадлежащая къ числу извѣстныхъ древнимъ линій двоякой кривизны. Проклъ говоритъ объ ней въ комментаріѣ къ 4-му опредѣленію первой книги Евклида. Въ новое время многіе геометры занимались этою кривою, въ особенности Паскаль (De la dimension d’un solide formé par le moyen d’une spirale autour d’un cone; oeuvres de Pascal, tome V, p. 422.) и Гвидо-Гранди (Epistola ad Th. Cevani; oeuvres posthumes d’Huygens, tome II.). Варшавскій профессоръ Грабинскій нѣсколько лѣтъ тому назадъ далъ графическое построеніе касательныхъ къ конической спирали (Annales de mathématiques, t. XVI, p. 167 et 376).
7. Если сѣкущая плоскость не будетъ проходить чрезъ образующую винтообразной поверхности, а будетъ проведена произвольно, то мы нашли, что въ проложеніи получится или удлиненная, или укороченпая квадратрикса т. е., говоря другими словами, конхоида.
8. Оливье, профессоръ въ école des arts et manufactures, употреблялъ уже этотъ способъ для проведенія касательной къ Архимедовой спирали. (Bulletin de la Société philomatique de Paris, année 1833, p. 22).
9. 139-я теорема Паппа, выражающая въ вышеприведенной формѣ свойство шестиугольника, вписаннаго между двумя прямыми, можетъ быть разсматриваема съ иной точки зрѣнія, и тогда изъ нея проистекаетъ другое замѣчательное предложеніе, выведенное въ первый разъ Симсономъ, какъ одна изъ поризмъ Евклида; къ этому предложенію относятся слова Паппа: Quod haec ad datum punctum vergit. Оно заключается въ слѣдующемъ. «Если возьмемъ на плоскости двѣ неподвижныя точки и уголъ, вершина котораго лежитъ на линіи, соединяющей эти точки, потомъ будемъ изъ каждой точки нѣкоторой данной прямой проводить линіи къ двумъ неподвижнымъ точкамъ, то каждая пара этихъ линій будетъ пересѣкаться съ сторонами даннаго угла соотвѣтственно въ двухъ точкахъ, причемъ прямыя, соединяющія эти точки, пройдутъ черезъ одну и ту же точку.» (Simson, de Porismatibus, предл. 34). Мы упоминаемъ объ этой теоремѣ, потомучто она будетъ нужна намъ впослѣдствіи. Подобная теорема въ пространствѣ, до сихъ поръ еще никѣмъ не указанная, выводится, какъ естественное слѣдствіе нашего принципа преобразованія фигуръ.
10. 139-я теорема Паппа, выражающая въ вышеприведенной формѣ свойство шестиугольника, вписаннаго между двумя прямыми, можетъ быть разсматриваема съ иной точки зрѣнія, и тогда изъ нея проистекаетъ другое замѣчательное предложеніе, выведенное въ первый разъ Симсономъ, какъ одна изъ поризмъ Евклида; къ этому предложенію относятся слова Паппа: Quod haec ad datum punctum vergit. Оно заключается въ слѣдующемъ. «Если возьмемъ на плоскости двѣ неподвижныя точки и уголъ, вершина котораго лежитъ на линіи, соединяющей эти точки, потомъ будемъ изъ каждой точки нѣкоторой данной прямой проводить линіи къ двумъ неподвижнымъ точкамъ, то каждая пара этихъ линій будетъ пересѣкаться съ сторонами даннаго угла соотвѣтственно въ двухъ точкахъ, причемъ прямыя, соединяющія эти точки, пройдутъ черезъ одну и ту же точку.» (Simson, de Porismatibus, предл. 34). Мы упоминаемъ объ этой теоремѣ, потомучто она будетъ нужна намъ впослѣдствіи. Подобная теорема въ пространствѣ, до сихъ поръ еще никѣмъ не указанная, выводится, какъ естественное слѣдствіе нашего принципа преобразованія фигуръ.
11. [Конец преамбулы к VII книги Математического собрания, см. Pappi Altxandrini Collectionis. Ed. Fr. Hultsch. Vol. 2. Berolini, 1878. Pag. 677.
    Шаль не входит здесь в подробности, поскольку эта задача подробно рассмотрена в первой книге Геометрии Декарта, где приведена оригинальная формулировка Паппа:
    «Вот каково то место к трем или четырем линиям, по поводу которого Аполлоний расточает себе великие похвалы, не обнаруживая никакой благодарности к своему предшественнику. Если даны по положению три прямые и из одной и той же точки проведены под данными углами к этим трем прямым другие три прямые и если дано отношение прямоугольника, построенного на двух из проведенных прямых к квадрату третьей, то точка будет находиться на данном по положению телесном месте, т. е. на одном из трех конических сечений. Далее, если провести к четырем данным по положению прямым под данными углами четыре других прямых и если дано отношение прямоугольника на двух проведенных прямых к прямоугольнику на двух других, то точка также будет находиться на данном по положению коническом сечении. С другой стороны, если прямых будет только две, то установлено, что место будет плоским. В случае, же когда прямых больше четырех, то точка будет находиться на месте, принадлежащем к числу до сих пор неизвестных, которые называют просто линиями и о природе или свойствах которых ничего неизвестно. Одну из этих линий, не первую, но которая представлялась наиболее очевидной, они построили и показали, что она приносит пользу. Вот предложения, относящиеся к этим местам:
    Если к пяти данным по положению прямым из какой-нибудь точки провести под данными углами другие прямые и если дано отношение прямоугольного параллелепипеда, построенного на трех проведенных прямых, к прямоугольному параллелепипеду, построенному на двух других и какой-либо данной, то точка будет находиться на данной по положению линии. Если данных прямых будет шесть и если будет дано отношение тела, построенного на трех проведенных прямых, к телу, построенному на трех других, то точка также будет находиться на данной по положению линии. Если же прямых больше шести, то уже нельзя говорить о данном отношении какого-нибудь предмета, построенного на четырех прямых, к предмету, построенному на других, потому что не существует ничего, что заключало бы больше чем три измерения».
    См.: Декарт. Геометрия. Перев. А.П. Юшкевича. М.-Л., ГОНТИ, 1938, стр. 18 и сл.]
12. Безполезность, въ которой цѣлые вѣка оставалась эта основная теорема, тогда какъ изъ нея могутъ быть выведены почти всѣ свойства коническихъ сѣченій, и незначительная важность, которая до самаго послѣдняго времени приписывалась прекраснымъ теоремамъ Дезарга и Паскаля, представляющимъ естественное слѣдствіе предыдущей, приводятъ намъ на память справедливое замѣчаеіе Бальи: «кажется, что идеи, также какъ и мы сами, имѣютъ время дѣтства и первоначальной слабости; онѣ не могутъ выказаться вполеѣ при самомъ появленіи, но только возрасту и времени обязаны бываютъ своею плодотворною силой.» (Bailly: Histoire de l'astronomie moderne, t. II, p. 60).
13. Чтобы легче понять эти замѣчанія объ леммахъ Паппа, слѣдуетъ прочесть Примѣчаніе X, въ которомъ мы показываемъ различныя свойства инволюціоннаго соотношенія шести точекъ, т. е. различвыя преобразованія и слѣдствія этого соотношенія. Тамъ же объяснено, что слѣдуетъ разумѣть подъ сопряженными точками, центромъ и двойными точками.
14. Таково мнѣніе Галлея и Р. Симсона. Ученый Коммандинъ не могъ опредѣлить значенія этого слова, употребляемаго въ нѣкоторыхъ теоремахъ Аполлонія (Collect. math. стр. 296 въ изд. 1660 г.). Слово μοναχοί, встрѣчающееся также у Паппа, употреблялось, какъ кажется, Аполлоніемъ для обозначенія теоремъ, относящихся къ maxima и minima.
15. Some general theorems of considerable use in the Higher parts of mathematics. Edinburg, 1746, in 8°. — Мы приведемъ эту теорему въ четвертой эпохѣ, когда будемъ говорить о Стевартѣ.
16. Пусть $o$ будетъ центръ эллипса, $oa$ и $ob$ половины данныхъ сопряженныхъ діаметровъ; черезъ $a$ проведемъ перпендикуляръ къ $ob$ и отложимъ на немъ отрѣзки $ae$ и $ae_{1}$, равные $ob$; потомъ проведемъ прямыя $oe$ и $oe_{1}$: главныя оси эллипса дѣлятъ уголъ между этими прямыми и уголъ дополнительный пополамъ; большая ось равна полусуммѣ этихъ прямыхъ, а малая — ихъ полуразности.