Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XV/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Примѣчаніе XV. : Объ ангармоническомъ свойствѣ точекъ коническаго сѣченія. Доказательство самыхъ общихъ свойствъ этихъ кривыхъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XV/ДО въ новой орѳографіи


Объ ангармоническомъ свойствѣ точекъ коническаго сѣченія. Доказательство самыхъ общихъ свойствъ этихъ кривыхъ.

Примѣчаніе къ n° 26.


[302]1. Подобно тому, какъ въ теоремѣ Дезарга объ инволюціи шести точекъ, представимъ себѣ четыреугольникъ, вписанный въ коническое сѣченіе, и какую-нибудь сѣкущую.

[303]

Изъ двухъ противоположныхъ вершинъ четыреугольника проведемъ прямыя къ двумъ точкамъ, въ которыхъ сѣкущая встрѣчается съ коническимъ сѣченіемъ; каждая изъ этихъ вершинъ будетъ точкою, изъ которой выходятъ четыре прямыя. Легко видѣть, что инволюціонное соотношеніе Дезарга [см. Прим. X, § 23] выражаетъ собою равенство между ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ точекъ пересѣченія сѣкущей съ четырьмя прямыми, выходящими изъ одной вершины четыреугольника, и ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ точекъ пересѣченія той же сѣкущей съ четырьмя прямыми, выходящими изъ противоположной вершины четыреугольника; отсюда мы заключаемъ, что ангармоническое отношеніе первыхъ четырехъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ.

2. Итакъ мы имѣемъ слѣдующую общую теорему, взаимную тому заключенію, которое мы вывели изъ теоремы Дезарга:

Когда два пучка изъ четырехъ прямыхъ соотвѣтствуютъ другъ другу такъ, что ангармоническое отношеніе четырехъ первыхъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ, то прямыя одного пучка встрѣчаются съ соотвѣтственными прямыми другаго въ четырехъ точкахъ, лежащихъ на коническомъ сѣченіи, проходящемъ еще черезъ двѣ точки, именно черезъ центры обоихъ пучковъ.

Эта теорема, какъ видно изъ предложеннаго нами здѣсь доказательства ея, въ сущности есть только другое выраженіе теоремы Дезарга; но ея слѣдствія, чрезвычайно многочисленныя, обнимаютъ часть такихъ свойствъ коническихъ сѣченій, на которыя, кажется, не распространяются теоремы Дезарга и Паскаля. Дѣйствительно, кромѣ преимущества своей особой формы, эта теорема имѣетъ нѣчто болѣе общее, чѣмъ тѣ двѣ теоремы, которыя поэтому получаются изъ нея уже не какъ видоизмѣненія ея, но какъ ея слѣдствія. Мы сейчасъ подтвердимъ это, указывая на приложенія, къ которымъ способна эта теорема.

[304]

Но прежде дадимъ прямое доказательство ея, такъ какъ мы ею хотимъ замѣнить самыя общія изъ употреблявшихся до сихъ поръ теоремъ и вывести ихъ всѣ изъ нея же.

3. Доказательство это до крайности легко и просто. Такъ какъ теорема выражаетъ равенство ангармоническихъ отношеній въ двухъ пучкахъ четырехъ линій, и такъ какъ эти отношенія сохраняютъ свою величину въ перспективѣ, то достаточно доказать, что равенство существуетъ въ кругѣ, служащемъ основаніемъ того конуса, на которомъ разсматривается коническое сѣченіе. Но въ кругѣ углы между линіями перваго пучка соотвѣтственно равны угламъ между соотвѣтствующими линіями втораго пучка, потому что эти углы опираются на тѣ же дуги; такъ какъ синусы ихъ также равны между собою, то ангармоническое отношеніе синусовъ угловъ перваго пучка равно ангармоническому отношенію синусовъ угловъ втораго пучка.

Такимъ образомъ теорема доказана.

4. Представимъ себѣ, что три прямыя перваго пучка и три соотвѣтствующія прямыя втораго — неподвижны; что четвертая прямая перваго пучка вращается около своего центра и что соотвѣтствующая ей прямая втораго пучка также вращается и притомъ такимъ образомъ, что всегда сохраняется равенство ангармоническихъ отношеній въ обоихъ пучкахъ: эти двѣ вращающіяся прямыя будутъ пересѣкаться всегда на коническомъ сѣченіи, опредѣляемомъ пятью неподвижными точками фигуры, именно: центрами двухъ пучковъ и точками, въ которыхъ три неподвижныя прямыя перваго пучка пересѣкаются съ соотвѣтствующими имъ линіями втораго.

5. Отсюда проистекаетъ безчисленное множество способовъ образованія коническихъ сѣченій чрезъ пересѣченіе двухъ прямыхъ, вращающихся около двухъ неподвижныхъ точекъ. Потому что безконечно разнообразно можно составить два пучка прямыхъ, соотвѣтствующихъ одна другой и притомъ такъ, что ангармоническое отношеніе какихъ-нибудь

[305]четырехъ прямыхъ перваго пучка всегда будетъ равно ангармоническому отношенію четырехъ прямыхъ во второмъ пучкѣ.

6. Напримѣръ, представимъ себѣ постоянный уголъ; пусть около данной точки, какъ около полюса, вращается прямая линія, которая во всякомъ положеніи будетъ встрѣчаться съ сторонами угла въ двухъ точкахъ. Четыре, опредѣленныя такимъ образомъ, точки на одной изъ сторонъ угла будутъ имѣть одинаковое ангармоническое отношеніе съ четырьмя соотвѣтствующими точками на другой сторонѣ (потому что оба эти отношенія равны ангармоническому отношенію четырехъ сѣкущихъ, служащихъ для опредѣленія этихъ точекъ). Отсюда слѣдуетъ, что, если мы соединимъ какую-нибудь неподвижную точку съ точками, отмѣченными на одной сторонѣ угла, и другую неподвижную точку — съ точками, отмѣченными на другой сторонѣ, то получимъ два пучка соотвѣтствующихъ прямыхъ, пересѣкающихся между собою на коническомъ сѣченіи, проходящемъ черезъ двѣ неподвижныя точки. Итакъ

Фиг. къ n° 6

Если три стороны треугольника, измѣняющаго свой видъ, вращаются около трехъ неподвижныхъ точекъ и двѣ вершины его перемѣщаются по двумъ неподвижнымъ прямымъ, то третья вершина описываетъ коническое сѣченіе, проходящее черезъ двѣ точки, около которыхъ вращаются стороны, прилежащія къ этой вершинѣ[1]

[306]

Эта теорема есть ничто иное, какъ мистическій шестиугольникъ Паскаля, только представленный въ иной формѣ. Теорема въ этомъ видѣ находится y Маклорена и Брайкенриджа; она именно и привела перваго изъ этихъ геометровъ къ изложенію теоремы Паскаля.

7. Разсмотримъ два пучка прямыхъ, выходящихъ изъ двухъ различныхъ центровъ и пересѣкающихся по-парно на одной прямой, взятой произвольно въ плоскости. Ангармоническое отношеніе какихъ-нибудь четырехъ прямыхъ перваго пучка равно ангармоническому отношенію четырехъ соотвѣтствующихъ линій во второмъ пучкѣ (оба равны именно ангармоническому отношенію четырехъ точекъ, въ которыхъ эти прямыя встрѣчаются съ постоянной прямой). Измѣнимъ теперь относительное положеніе пучковъ, перенеся ихъ на плоскости въ другія мѣста; соотвѣтствующія прямыя уже не будутъ пересѣкаться на одной прямой, но изъ нашей теоремы слѣдуетъ, что онѣ будутъ пересѣкаться на коническомъ сѣченіи, проходящемъ черезъ вершины обоихъ пучковъ.

8. Положимъ, что первоначальные пучки сохранили при перемѣщеніи свои прежніе центры, т.-е. что мы повернули ихъ около ихъ центровъ; тогда изложенная нами теорема обращается прямо въ теорему Ньютона объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій.

9. Если бы лучи первоначальныхъ пучковъ встрѣчались не на прямой линіи, a на коническомъ сѣченіи, проходящемъ чрезъ два центра ихъ, то пучки эти все-таки удовлетворяли бы условію равенства ангармоническихъ отношеній между четырьмя лучами одного и четырьмя соотвѣтствующими лучами другаго пучка (на основаніи теоремы n° 2). Слѣдовательно и послѣ какого-нибудь перемѣщенія этихъ пучковъ соотвѣтствующіе лучи ихъ будутъ опять пересѣкаться на коническомъ сѣченіи.

10. Если пучки повернемъ только около ихъ центровъ, то получится теорема:

[307]

Когда два какіе-нибудь постоянные угла вращаются около своихъ вершинъ такъ, что точка пересѣченія двухъ ихъ сторонъ описываетъ коническое сѣченіе, проходящее черезъ двѣ вершины, то двѣ другія стороны пересѣкаются въ точкахъ другаго коническаго сѣченія, также проходящаго черезъ вершины.

11. Эта теорема, представляющая обобщеніе теоремы Ньютона, сама представляетъ одинъ изъ безчисленнаго множества подобныхъ же частныхъ способовъ построенія коническихъ сѣченій чрезъ пересѣченіе двухъ прямыхъ, вращающихся около двухъ постоянныхъ точекъ или чрезъ пересѣченіе сторонъ угловъ, которые движутся около своихъ вершинъ; притомъ вмѣсто угловъ постоянной величины, которые мы брали сейчасъ, можно предполагать углы перемѣнные и при этомъ установить безконечно разнообразное соотношеніе между ихъ величинами.

Такъ напримѣръ, можно предполагать, что каждый изъ нихъ образуетъ на постоянной прямой отрѣзки постоянной величины.

Такамъ образомъ, теорема Ньютона, имѣвшая нѣкоторую знаменитость и казавшаяся основною въ теоріи коническихъ сѣченій, оказывается не болѣе, какъ весьма частнымъ случаемъ общаго способа образованія этихъ кривыхъ.

12. Это обстоятельство ведетъ, какъ намъ кажется, къ двумъ заключеніямъ. Оно показываетъ, вопервыхъ, что всегда полезно восходить къ начальному происхожденію геометрическихъ истинъ и съ этой возвышенной точки зрѣнія обозрѣвать и открывать разнообразныя формы, въ которыхъ онѣ могутъ представляться и которыя могутъ расширить ихъ приложенія; такъ, теорема Ньютона, которую многіе весьма замѣчательные геометры считали нужнымъ доказывать, какъ одну изъ лучшихъ теоремъ въ теоріи коническихъ сѣченій, не приводила однако къ важнымъ результатамъ, потому что форма ея удобна для полученія только немногихъ слѣдствій. Общая же теорема, изъ которой

[308]мы ее вывели, способна, напротивъ, ко множеству разнообразныхъ выводовъ.

Вовторыхъ, мы видимъ здѣсь доказательство той истины, что самыя общія и богатыя предложенія суть въ то же время самыя простыя и легче всего доказываются. Ни одно изъ извѣстныхъ доказательствъ теоремы Ньютона не можетъ сравниться по краткости съ доказательствомъ общей теоремы, которое дано нами въ n° 3; при этомъ послѣднее имѣетъ еще то преимущество, что въ немъ не требуется предварительнаго знанія никакихъ свойствъ коническихъ сѣченій.

13. Возьмемъ опять два пучка, пересѣкающіеся по прямой линіи, и предположимъ, что прямая эта находится въ безконечности; т.-е. что прямыя двухъ пучковъ соотвѣтственно параллельны между собою. Перемѣстимъ пучки, обращая ихъ около центровъ; соотвѣтствующія прямыя будутъ пересѣкаться на коническомъ сѣченіи, проходящемъ черезъ оба центра. Отсюда проистекаетъ такая теорема: Если имѣемъ въ плоскости двѣ подобныя, но не подобно расположенныя, фигуры, то прямыя, проведенныя на первой фигурѣ черезъ произвольную точку, будутъ пересѣкаться на коническомъ сѣченіи съ соотвѣтствующими прямыми второй фигуры. Теорему эту мы изложили уже безъ доказательства въ сочиненіи о перемѣщеніи твердаго тѣла въ пространствѣ (Bulletin universel des sciences, t. XIV, p. 321).

14. Общую теорему, составляющую предметъ этого Примѣчанія, можно изложить еще въ такомъ видѣ: Если шестиугольникъ вписанъ въ коническое сѣченіе и изъ двухъ вершинъ его проведено по четыре прямыя въ четыре остальныя вершины, то ангармоническое отношеніе первыхъ четырехъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ.

Т.-е. Четыре первыя прямыя встрѣчаются съ какою-нибудь сѣкущею въ четырехъ точкахъ, четыре другія съ другою

[309]произвольною сѣкущей — въ четырехъ соотвѣтствующихъ точкахъ: ангармоническое отношеніе первыхъ четырехъ точекъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ.

Въ этомъ изложеніи теорема представляетъ весьма большую общность по причинѣ неопредѣленнаго положенія двухъ сѣкущихъ.

15. Положимъ, что первая сѣкущая есть одна изъ прямыхъ, проведенныхъ черезъ вторую вершину шестиугольника, a вторая сѣкущая — одна изъ прямыхъ, проведенныхъ черезъ первую вершину; получаемая при этомъ теорема будетъ именно первая изъ теоремъ, изложенныхъ Паскалемъ въ Essai pour les coniques и выведенныхъ имъ изъ его шестиугольника.

16. Положимъ далѣе, что обѣ сѣкущія совпадаютъ съ одной изъ сторонъ шестиугольника; — получимъ теорему Дезарга объ инволюціи шести точекъ.

17. Если въ этой теоремѣ Дезарга замѣнимъ отрѣзки, заключающіеся на сѣкущей между двумя точками кривой и между четырьмя сторонами четыреугольника, — выраженіями ихъ въ функціи перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ двухъ точекъ коническаго сѣченія на четыре стороны, то получимъ теорему:

Если изъ какой-нибудь точки коническаго сѣченія опустимъ перпендикуляры на четыре стороны вписаннаго четыреугольника, то произведеніе перпендикуляровъ, опущенныхъ на двѣ противоположныя стороны будетъ имѣть постоянное отношеніе къ произведенію двухъ другихъ перпендикуляровъ, гдѣ бы ни была взята точка коническаго сѣченія.

Вмѣсто перпендикуляровъ можно взять наклонныя, образующія со сторонами четыреугольника, къ которымъ онѣ проводятся, равные углы. Это предложеніе есть ничто иное, какъ теорема ad quatuor lineas, приводимая Паппомъ.

[310]

18. И такъ мы доказали, что мистическій шестиугольникъ, другая теорема Паскаля также о шестиугольникѣ, теорема Ньютона объ органическомъ образованій коническихъ сѣченій, теорема Дезарга объ инволюціи шести точекъ и теорема древнихъ ad quatuor lineas — всѣ суть слѣдствія нашей теоремы. Отсюда понятно, что эта теорема распространяется на множество частныхъ истинъ, указывая незамѣченныя до сихъ поръ соотношенія между ними и представляя для нихъ общее и достаточное основаніе.

Эту теорему можно, въ нѣкоторомъ смыслѣ, разсматривать, какъ центръ, изъ котораго проистекаетъ большая часть, даже самыхъ общихъ, предложеній; вслѣдствіе этого необыкновеннаго богатства и чрезвычайной простоты доказательства она могла бы служить основаніемъ геометрической теоріи коническихъ сѣченій.

19. Такъ какъ главный характеръ этой теоремы, дѣлающій ее способною къ безчисленному множеству выводовъ заключается въ понятіи объ ангармоническомъ отношеніи, то мы будемъ называть ее ангармоническимъ свойствомъ точекъ коническаго сѣченія[2].

Замѣтимъ, что, если теоремы Паскаля, Дезарга, Ньютона и предложеніе ad quatuor lineas суть слѣдствія ангармоническаго свойства, то это послѣднее тѣмъ же путемъ можетъ въ свою очередь быть выведено изъ каждой изъ этихъ теоремъ и такимъ образомъ служить для перехода отъ одной изъ нихъ къ другой. Это доказываетъ, что понятіе объ ангармоническомъ отношеніи представляетъ дѣйствительно общую связь между этими различными теоремами, которыя поэтому отличаются другъ отъ друга только по формѣ.

Уже прежде было замѣчено соотношеніе, можно сказать почти тождество, между теоремами Дезарга и Паскаля, но не

[311]между этими теоремами и другими важнѣйшими предложеніями, о которыхъ мы упомянули. Напротивъ, каждое изъ этихъ предложеній доказывалось совершенно особымъ образомъ и эти доказательства были всегда несравненно длиннѣе того очевиднаго доказательства, которое мы дали для общей теоремы.

20. Изъ этой же теоремы можно вывести прекрасное предложеніе Карно о соотношеніи между отрѣзками, образуемыми коническимъ сѣченіемъ на трехъ сторонахъ треугольника, взятаго въ той же плоскости, — предложеніе, которое выражаетъ такое же общее свойство шести точекъ коническаго сѣченія, какъ и теоремы Дезарга, Паскаля и Ньютона.

21. Наконецъ наше ангармоническое свойство можетъ быть представлено еще въ другой формѣ, въ которой оно является новымъ предложеніемъ, отличающимся отъ всѣхъ предыдущихъ и способнымъ къ новому роду чрезвычайно многочисленныхъ выводовъ.

Это новое предложеніе представляется въ видѣ трехчленнаго уравненія; его можно изложить такъ:

На плоскости даны двѣ сѣкущія; возьмемъ на первой изъ нихъ двѣ какія-нибудь точки , и на второй двѣ также какія-нибудь точки , .

Если около неподвижныхъ полюсовъ , , взятыхъ произвольно въ плоскости чертежа, будемъ обращать двѣ прямыя, втрѣчающіяся съ двумя сѣкущими соотвѣтственно въ точкахъ , , опредѣляемыхъ такъ, что всегда существуетъ соотношеніе

,
(A.)

гдѣ и — постоянныя.

То точка пересѣченія двухъ движущихся прямыхъ будетъ описывать коническое сѣченіе, проходящее черезъ оба полюса , .

[312]

22. Эта теорема, въ которой такъ много произвольныхъ элементовъ, именно: направленіе сѣкущихъ, положеніе на нихъ четырехъ точекъ, положеніе двухъ полюсовъ и величина двухъ коэффиціентовъ, — въ сущности не отличается отъ тѣхъ общихъ свойствъ коническихъ сѣченій, о которыхъ говорилось въ этомъ Примѣчаніи; потому что, какъ и каждое изъ нихъ, она выводится изъ нашего ангармоническаго свойства. Но особая форма ея даетъ возможность распространить ея приложенія гораздо далѣе, чѣмъ это сдѣлано для другихъ предложеній.

23. Такъ напримѣръ, если предположимъ, что точки , помѣщены на линіи, соединяющей полюсы , , то уравненіе будетъ выражать уже не коническое сѣченіе, а просто прямую линію. Отсюда будутъ проистекать, какъ слѣдствія безчисленнаго множества свойствъ коническихъ сѣченій, безчисленныя же свойства прямой линіи; между ними будутъ находиться различныя системы координатъ и въ томъ числѣ, какъ частный случай, система Декарта.

Есть много другихъ способовъ выражать этимъ уравненіемъ прямую линію. Для этого вообще достаточно удовлетворить условію между данными вопроса, выражаемому уравненіемъ

,

гдѣ , суть точки пересѣченія двухъ сѣкущихъ съ прямою, соединяющею полюсы , .

Въ другомъ сочиненіи мы покажемъ многочисленныя приложенія, къ которымъ, кажется, способно уравненіе (A) въ теоріи коническихъ сѣченій и въ теоріи трансверсалей.

24. Я возвращусь также въ другомъ мѣстѣ къ ангармоническому свойству коническихъ сѣченій, выражаемому въ видѣ равенства двухъ членовъ въ теоремѣ n° 2; оно представится намъ въ теоріи гомографическихъ фигуръ, въ которыхъ оно является главнымъ свойствомъ. Тогда мы выразимъ его такими словами:

[313]

Въ двухъ гомографическихъ пучкахъ, находящихся въ одной плоскости, прямыя одного пучка пересѣкаются съ соотвѣтственными прямыми другаго въ точкахъ коническаго сѣченія, проходящаго черезъ центры обоихъ пучковъ.

Въ этомъ изложеніи идея ангармоническаго отношенія, сама по себѣ уже весьма простая, но относящаяся прямо только къ пучку изъ четырехъ прямыхъ, замѣняется другимъ понятіемъ, въ которомъ подразумѣваются всѣ прямыя пучка; это вноситъ еще болѣе быстроты и легкости въ приложенія теоремы.

25. Намъ, быть можетъ, извинятъ продолжительность этого Примѣчанія, если обратятъ вниманіе на то, что въ немъ изложены, вмѣстѣ съ доказательствами, почти всѣ самыя изящныя и общія свойства изъ теоріи коническихъ сѣченій. Анализъ, въ этомъ случаѣ, навѣрно не могъ бы быть такъ кратокъ и простъ, какъ чистая геометрія.

Замѣтимъ по этому поводу, что ни одно изъ этихъ предложеній, которыя однако суть самыя важныя и богатыя въ теоріи коническихъ сѣченій, не вводится теперь въ аналитическихъ сочиненіяхъ, имѣющихъ предметомъ изученіе этихъ кривыхъ. Такія сочиненія совсѣмъ не представляютъ трактатовъ о коническихъ сѣченіяхъ; это приложеніе аналитическій геометріи и введеніе въ общую теорію кривыхъ линій; и въ приложеніяхъ этихъ доказываются не самыя общія и важныя свойства коническихъ сѣченій, но только самыя элементарныя и ограниченныя, потому что они легче выражаются формулами анализа. Другія свойства, которыя были бы гораздо полезнѣе и на которыхъ основывается непрестанное развитіе теоріи коническихъ сѣченій, остаются неизвѣстны для молодыхъ геометровъ, изучающихъ эту важную теорію только по руководствамъ аналитической геометріи.

Такимъ образомъ изученіе коническихъ сѣченій чрезвычайно отстало уже около столѣтія. Это весьма жалко; не только потому, что эти знаменитыя кривыя играютъ весьма

[314]важную роль во всѣхъ частяхъ геометріи, вслѣдствіе чего знаніе ихъ рѣшительно необходимо; но также и на основаніи того общаго положенія, что во всѣхъ понятіяхъ надобно пріучать умъ направлять свои соображенія къ самымъ общимъ истинамъ каждой теоріи. Это самый вѣрный, если не единственный, способъ упростить изученіе науки и упрочить ея развитіе.

Примѣчанія.

  1. Если бы сторона треугольника, противолежащая образующей вершинѣ, вмѣсто того, чтобы вращаться около неподвижной точки, cкользила по коническому сѣченію, касающемуся двухъ неподвижныхъ прямыхъ, то свободная вершина треугольника описывала бы также коническое сѣченіе, проходящее черезъ двѣ неподвижныя точки.
    Это слѣдуетъ изъ того, что четыре касательныя коническаго сѣченія пересѣкаютъ каждую изъ двухъ другихъ касательныхъ въ четырехъ точкахъ, которыя на той и на другой касательной имѣютъ одинаковое ангармоническое отношеніе (см. слѣдующее Примѣчаніе).
    Это обобщеніе теоремы Маклорена и Брайкенриджа можетъ вести ко множеству различныхъ, большею частію новыхъ, предложеній.
  2. Мы говоримъ точекъ коническаго сѣченія, потому что въ слѣдующемъ Примѣчаніи увидимъ, что коническія сѣченія обладаютъ еще, другимъ ангармоническимъ свойствомъ, подобнымъ этому и относящимся къ ихъ касательнымъ.