Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XVI/ДО

Примѣчаніе XVI. : Объ ангармоническомъ свойствѣ касательныхъ коническаго сѣченія.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Объ ангармоническомъ свойствѣ касательныхъ коническаго сѣченія.

Продолженіе Примѣчанія XV.

Теоремы, о которыхъ говорилось въ предыдущемъ Примѣчаніи, относятся къ точкамъ коническаго сѣченія. Извѣстно, что многимъ изъ этихъ теоремъ соотвѣтствуютъ подобныя же относительно касательныхъ кривой. Такъ Паскалеву шестиугольнику соотвѣтствуетъ теорема Бріаншона объ описанномъ шестиугольникѣ; теоремѣ Дезарга соотвѣтствуетъ слѣдующая теорема, которая, какъ мнѣ кажется, дана была въ первый разъ Штурмомъ^[1]: «Когда четыреугольникъ описанъ около коническаго сѣченія, то прямыя, проведенныя изъ какой-нибудь точки къ четыремъ его вершинамъ, вмѣстѣ съ двумя касательными, проведенными къ кривой изъ той же точки, составляютъ пучекъ въ инволюціи.» Теоремѣ древнихъ ad quatuor lineas соотвѣтствуетъ, по нашему мнѣнію, слѣдующая теорема, которая доказана нами въ

Mémoire sur les transformations paraboliques^[2]: «если четыреугольникъ описанъ около коническаго сѣченія, то произведеніе разстояній какой-нибудь касательной отъ двухъ противоположныхъ вершинъ находится въ постоянномъ отношеніи къ произведенію ея разстояній отъ двухъ другихъ вершинъ». Наконецъ Понселе въ Théorie des polaires réciproques показалъ, что для теоремы Ньютона объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій существуетъ также соотвѣтствующая теорема; точно также, какъ и для теоремы Карно объ отрѣзкахъ, образуемыхъ коническимъ сѣченіемъ на трехъ сторонахъ треугольника^[3].

Слѣдуетъ ожидать, что всѣ эти новыя теоремы, выражающія общія свойства шести касательныхъ коническаго сѣченія, должны проистекать, подобно теоремамъ, имъ соотвѣтствующимъ, изъ одного предложенія, которое должно само соотвѣтствовать предложенію, названному нами въ предыдущемъ Примѣчаніи ангармоническимъ свойствомъ точекъ коническаго сѣченія.

Такое новое предложеніе дѣйствительно существуетъ и его можно выразить такъ:

Представимъ себѣ на плоскости двѣ прямыя, изъ которыхъ каждая раздѣлена на отрѣзки четырьмя точками; если точки дѣленія первой прямой соотвѣтствуютъ точкамъ дѣленія второй такъ, что ангармоническое отношеніе четырехъ первыхъ точекъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ, то четыре прямыя, соединяющія попарно соотвѣтственныя точки, вмѣстѣ съ двумя данными прямыми будутъ шесть касательныхъ къ одному коническому сѣченію.^[4]

Не трудно видѣть, что теорема эта заключаетъ въ себѣ безчисленное множество различныхъ предложеній, относящихся къ органическому образованію коническихъ сѣченій посредствомъ касательныхъ. Дѣйствительно, двѣ прямыя могутъ быть безконечно разнообразно раздѣлены такъ, чтобъ ангармоническія отношенія какихъ-нибудь четырехъ точекъ на одной прямой и соотвѣтствующихъ имъ точекъ на другой, были равны между собою.

Разсматривая въ коническихъ сѣченіяхъ Аполлонія и у новыхъ писателей различныя предложенія, относящіяся къ касательнымъ коническаго сѣченія, мы замѣтили, что почти всѣ они суть приложенія и слѣдствія только что изложенной теоремы. Важнѣйшія теоремы, упомянутыя нами въ началѣ этого Примѣчанія, какъ напримѣръ теорема Бріаншона, представляютъ только разныя выраженія или преобразованія этой теоремы, которая, такимъ образомъ составляетъ связь между этими различными предложеніями и служитъ для перехода отъ одного изъ нихъ къ другому.

Мы будемъ называть эту теорему ангармоническимъ свойствомъ касательныхъ коническаго сѣченія.

Намъ остается доказать эту теорему. Для этого достаточно немногихъ словъ.

Такъ какъ теорема выражаетъ равенство ангармоническихъ отношеній, равенство, которое сохраняется при перспективномъ приложеніи фигуры, то достаточно доказать ее для круга, служащаго основаніемъ конусу, на которомъ начерчено коническое сѣченіе. Другими словами, надобно доказать, что, если уголъ описанъ около круга и проведены какія-нибудь четыре касательныя, то ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ пересѣченія этихъ касательныхъ съ съ одною стороною угла равно ангармоническому отношенію точекъ пересѣченій ея съ другою стороною. Но это

очевидно; потому что отрѣзокъ каждой касательной между сторонами угла видѣнъ изъ центра круга подъ постояннымъ угломъ^[5]; слѣдовательно отрѣзки двухъ касательныхъ между сторонами угла видны изъ центра подъ равными углами. Отсюда заключаемъ, что четыре прямыя, проведенныя изъ центра къ точкамъ встрѣчи четырехъ касательныхъ съ одною стороною угла, имѣютъ одинаковое ангармоническое отношеніе съ четырьмя прямыми, проведенными къ точкамъ встрѣчи касательныхъ съ другою стороною, a потому и точки дѣленія на той и другой сторонѣ угла имѣютъ одинаковыя ангармоническія отношенія.

Теорема такимъ образомъ доказана.

Этой теоремѣ можно дать иной видъ, выразивъ ее трехчленнымъ уравненіемъ, и тогда она является новымъ предложеніемъ, способнымъ къ новымъ многочисленнымъ примѣненіямъ.

Это новое предложеніе мы изложимъ слѣдующимъ образомъ:

На плоскости даны двѣ сѣкущія; на первой изъ нихъ произвольно взяты двѣ постоянныя точки $O$, $E$, и на второй также двѣ постоянныя точки $O'$, $E'$; если двѣ точки $a$, $a'$ перемѣщаются по этимъ прямымъ такъ, что всегда существуетъ соотношеніе

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O'a'}{E'a'}}=\mu$,

гдѣ $\lambda$ и $\mu$ — постоянныя.

То прямая $aa'$ во всякомъ своемъ положеніи будетъ касаться коническаго сѣченія, касающагося двухъ данныхъ неподвижныхъ сѣкущихъ.

Это предложеніе ведетъ ко множеству слѣдствій, которыя мы получаемъ, располагая различнымъ образомъ данными вопроса, т.-е. двумя сѣкущими, четырьмя взятыми на нихъ точками и двумя коэффиціентами $\lambda ,\,\mu$.

Если между этими данными существуетъ соотношеніе:

${\frac {OS}{ES}}+\lambda {\frac {O'S}{E'S}}=\mu$,

гдѣ $S$ есть точка пересѣченія двухъ сѣкущихъ, то коническое сѣченіе обращается въ одну точку; т.-е. прямая $aa'$ будетъ во всѣхъ своихъ положеніяхъ проходить черезъ одну и ту же точку.

Это, напримѣръ, будетъ, когда точки $E$, $E'$ помѣстимъ въ точкѣ $S$ пересѣченія сѣкущихъ. Тогда уравненіе

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O'a'}{Sa'}}=\mu$

выражаетъ одну точку.

Мы еще возвратимся въ другомъ мѣстѣ къ теоремѣ, составляющей предметъ этого Примѣчанія. Тамъ мы будемъ разсматривать ее какъ свойство гомографическихъ фигуръ и изложимъ ее въ иномъ видѣ, обнаруживающемъ многочисленность ея приложеній; именно:

Когда двѣ прямыя на плоскости раздѣлены гомографически, то прямыя, соединяющія точки дѣленія соотвѣтствующими точками другой огибаютъ коническое сѣченіе, касающееся двухъ данныхъ прямыхъ.

Въ предыдущей теоремѣ можно систему двухъ сѣкущихъ замѣнить окружностію круга. Тогда получается такая теорема:

Даны какія-нибудь четыре постоянныя точки $O,\,E,\,O',\,E'$ на окружности; если будемъ брать на этой окружности двѣ перемѣнныя точки $a,\,a'$ такъ, чтобы всегда существовало соотношеніе:

${\frac {\sin {\frac {aO}{2}}}{\sin {\frac {aE}{2}}}}+\lambda {\frac {\sin {\frac {a'O'}{2}}}{\sin {\frac {a'E'}{2}}}}=\mu$,

гдѣ $\lambda$ и $\mu$ — постоянныя:

То хорда $aa'$ будетъ огибать коническое сѣченіе, имѣющее двойное прикосновеніе съ окружностію и касающееся прямой $EE'$.

Это предложеніе вмѣстѣ съ изложенными уже двумя другими, представляющими аналогію съ ангармоническимъ отношняіемъ четырехъ и инволюціею шести точекъ, составляетъ особую теорію, въ которой множество свойствъ системы двухъ прямыхъ переносятся на окружность круга и всѣ эти свойства, послѣ надлежащихъ преобразованій распространяются на какое угодно коническое сѣченіе; это есть новый источникъ для вывода свойствъ этихъ кривыхъ.

Здѣсь мы ограничимся только замѣчаніемъ, что, если въ предыдущей теоремѣ возьмемъ точки $E,\,E'$ на концахъ діаметровъ, проходящихъ черезъ точки $O,\,O'$; то уравненіе принимаетъ слѣдующую, болѣе простую, форму:

$\tan {\frac {1}{2}}aO+\lambda \tan {\frac {1}{2}}a'O'=\mu$,

и это составляетъ новую теорему.

Между слѣдствіями, проистекающими изъ этой теоремы, мы находимъ слѣдующее свойство круга кривизны въ какой-нибудь точкѣ коническаго сѣченія:

Если въ точкѣ $A$ коническаго сѣченія проведемъ кругъ кривизны, то всякая касательная кривой будетъ встрѣчать его въ двухъ такихъ точкахъ, что разность котангенсовъ полу-дугъ, заключающихся между этими точками и точкою $A$, — постоянна.

Примѣчанія.

1. Эта теорема должна была быть содержаніемъ обѣщаннаго Штурмомъ мемуара, который долженъ былъ составлять продолженіе двухъ первыхъ его мемуаровъ о теоріи линій втораго порядка, напечатанныхъ въ Annales de Mathématiques, t. XVI et XVII; но мемуаръ этотъ не былъ изданъ.
2. Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, art. 10, p. 289.
3. Journal de mathématiques de M. Crelle, t. ІV.
4. Когда двѣ данныя прямыя не находятся въ одной плоскости, то прямыя, соедивяющія точки ихъ дѣленій, образуютъ гиперболоидъ съ одною полостью. Мы доказали это въ иной формѣ въ Correspondance de l'école Polytechnique, t. II, p. 446. Изъ этой-то общей теоремы въ пространствѣ мы и вывели свойство коническихъ сѣченій, о которомъ здѣсь идетъ рѣчь. (См. Correspondance mathématique de M. Quetelet, t IV, p. 364).
5. [См., напр., Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. МЦНМО, 2002. Задача 3.1. ]