Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XVI

Примечание XVI. : Об ангармоническом свойстве касательных конического сечения.
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

Об ангармоническом свойстве касательных конического сечения.

Продолжение Примечания XV.

Теоремы, о которых говорилось в предыдущем Примечании, относятся к точкам конического сечения. Известно, что многим из этих теорем соответствуют подобные же относительно касательных кривой. Так Паскалеву шестиугольнику соответствует теорема Брианшона об описанном шестиугольнике; теореме Дезарга соответствует следующая теорема, которая, как мне кажется, дана была в первый раз Штурмом^[1]: «Когда четыреугольник описан около конического сечения, то прямые, проведенные из какой-нибудь точки к четырем его вершинам, вместе с двумя касательными, проведенными к кривой из той же точки, составляют пучек в инволюции.» Теореме древних ad quatuor lineas соответствует, по нашему мнению, следующая теорема, которая доказана нами в Mémoire sur les transformations paraboliques^[2]: «если четырехугольник описан около конического сечения, то произведение расстояний какой-нибудь касательной от двух противоположных вершин находится в постоянном отношении к произведению её расстояний от двух других вершин». Наконец Понселе в Théorie des polaires réciproques показал, что для теоремы Ньютона об органическом образовании конических сечений существует также соответствующая теорема; точно также, как и для теоремы Карно об отрезках, образуемых коническим сечением на трех сторонах треугольника^[3].

Следует ожидать, что все эти новые теоремы, выражающие общие свойства шести касательных конического сечения, должны проистекать, подобно теоремам, им соответствующим, из одного предложения, которое должно само соответствовать предложению, названному нами в предыдущем Примечании ангармоническим свойством точек конического сечения.

Такое новое предложение действительно существует и его можно выразить так:

Представим себе на плоскости две прямые, из которых каждая разделена на отрезки четырьмя точками; если точки деления первой прямой соответствуют точкам деления второй так, что ангармоническое отношение четырех первых точек равно ангармоническому отношению четырех других, то четыре прямые, соединяющие попарно соответственные точки, вместе с двумя данными прямыми будут шесть касательных к одному коническому сечению.^[4]

Не трудно видеть, что теорема эта заключает в себе бесчисленное множество различных предложений, относящихся к органическому образованию конических сечений посредством касательных. Действительно, две прямые могут быть бесконечно разнообразно разделены так, чтоб ангармонические отношения каких-нибудь четырех точек на одной прямой и соответствующих им точек на другой, были равны между собою.

Рассматривая в конических сечениях Аполлония и у новых писателей различные предложения, относящиеся к касательным конического сечения, мы заметили, что почти все они суть приложения и следствия только что изложенной теоремы. Важнейшие теоремы, упомянутые нами в начале этого Примечания, как например теорема Брианшона, представляют только разные выражения или преобразования этой теоремы, которая, таким образом составляет связь между этими различными предложениями и служит для перехода от одного из них к другому.

Мы будем называть эту теорему ангармоническим свойством касательных конического сечения.

Нам остается доказать эту теорему. Для этого достаточно немногих слов.

Так как теорема выражает равенство ангармонических отношений, равенство, которое сохраняется при перспективном приложении фигуры, то достаточно доказать ее для круга, служащего основанием конусу, на котором начерчено коническое сечение. Другими словами, надобно доказать, что, если угол описан около круга и проведены какие-нибудь четыре касательные, то ангармоническое отношение четырех точек пересечения этих касательных с с одною стороною угла равно ангармоническому отношению точек пересечений её с другою стороною. Но это очевидно; потому что отрезок каждой касательной между сторонами угла виден из центра круга под постоянным углом^[5]; следовательно отрезки двух касательных между сторонами угла видны из центра под равными углами. Отсюда заключаем, что четыре прямые, проведенные из центра к точкам встречи четырех касательных с одною стороною угла, имеют одинаковое ангармоническое отношение с четырьмя прямыми, проведенными к точкам встречи касательных с другою стороною, a потому и точки деления на той и другой стороне угла имеют одинаковые ангармонические отношения.

Теорема таким образом доказана.

Этой теореме можно дать иной вид, выразив ее трехчленным уравнением, и тогда она является новым предложением, способным к новым многочисленным применениям.

Это новое предложение мы изложим следующим образом:

На плоскости даны две секущие; на первой из них произвольно взяты две постоянные точки $O$, $E$, и на второй также две постоянные точки $O'$, $E'$; если две точки $a$, $a'$ перемещаются по этим прямым так, что всегда существует соотношение

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O'a'}{E'a'}}=\mu$,

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные.

То прямая $aa'$ во всяком своем положении будет касаться конического сечения, касающегося двух данных неподвижных секущих.

Это предложение ведет ко множеству следствий, которые мы получаем, располагая различным образом данными вопроса, т. е. двумя секущими, четырьмя взятыми на них точками и двумя коэффициентами $\lambda ,\,\mu$.

Если между этими данными существует соотношение:

${\frac {OS}{ES}}+\lambda {\frac {O'S}{E'S}}=\mu$,

где $S$ есть точка пересечения двух секущих, то коническое сечение обращается в одну точку; т. е. прямая $aa'$ будет во всех своих положениях проходить через одну и ту же точку.

Это, например, будет, когда точки $E$, $E'$ поместим в точке $S$ пересечения секущих. Тогда уравнение

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O'a'}{Sa'}}=\mu$

выражает одну точку.

Мы еще возвратимся в другом месте к теореме, составляющей предмет этого Примечания. Там мы будем рассматривать ее как свойство гомографических фигур и изложим ее в ином виде, обнаруживающем многочисленность её приложений; именно:

Когда две прямые на плоскости разделены гомографически, то прямые, соединяющие точки деления соответствующими точками другой огибают коническое сечение, касающееся двух данных прямых.

В предыдущей теореме можно систему двух секущих заменить окружностью круга. Тогда получается такая теорема:

Даны какие-нибудь четыре постоянные точки $O,\,E,\,O',\,E'$ на окружности; если будем брать на этой окружности две переменные точки $a,\,a'$ так, чтобы всегда существовало соотношение:

${\frac {\sin {\frac {aO}{2}}}{\sin {\frac {aE}{2}}}}+\lambda {\frac {\sin {\frac {a'O'}{2}}}{\sin {\frac {a'E'}{2}}}}=\mu$,

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные: То хорда $aa'$ будет огибать коническое сечение, имеющее двойное прикосновение с окружностью и касающееся прямой $EE'$.

Это предложение вместе с изложенными уже двумя другими, представляющими аналогию с ангармоническим отношением четырех и инволюциею шести точек, составляет особую теорию, в которой множество свойств системы двух прямых переносятся на окружность круга и все эти свойства, после надлежащих преобразований распространяются на какое угодно коническое сечение; это есть новый источник для вывода свойств этих кривых.

Здесь мы ограничимся только замечанием, что, если в предыдущей теореме возьмем точки $E,\,E'$ на концах диаметров, проходящих через точки $O,\,O'$; то уравнение принимает следующую, более простую, форму:

$\tan {\frac {1}{2}}aO+\lambda \tan {\frac {1}{2}}a'O'=\mu$,

и это составляет новую теорему.

Между следствиями, проистекающими из этой теоремы, мы находим следующее свойство круга кривизны в какой-нибудь точке конического сечения:

Если в точке $A$ конического сечения проведем круг кривизны, то всякая касательная кривой будет встречать его в двух таких точках, что разность котангенсов полу-дуг, заключающихся между этими точками и точкою $A$, — постоянна.

Примечания

1. Эта теорема должна была быть содержанием обещанного Штурмом мемуара, который должен был составлять продолжение двух первых его мемуаров о теории линий второго порядка, напечатанных в Annales de Mathématiques, t. XVI et XVII; но мемуар этот не был издан.
2. Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, art. 10, p. 289.
3. Journal de mathématiques de M. Crelle, t. ИV.
4. Когда две данные прямые не находятся в одной плоскости, то прямые, соедивяющие точки их делений, образуют гиперболоид с одною полостью. Мы доказали это в иной форме в Correspondance de l'école Polytechnique, t. II, p. 446. Из этой-то общей теоремы в пространстве мы и вывели свойство конических сечений, о котором здесь идет речь. (См. Correspondance mathématique de M. Quetelet, t IV, p. 364).
5. [См., напр., Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. МЦНМО, 2002. Задача 3.1. ]