Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание X/ДО

Примѣчаніе X. : Теорія инволюціи шести точекъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Теорія инволюціи шести точекъ.

Примѣчаніе къ n° 34

1. Мы раздѣлимъ это примѣчаніе на двѣ части. Въ первой изложимъ уже извѣстныя свойства инволюціи шести точекъ. Во второй же дадимъ новыя выраженія инволюціи, которыя, какъ намъ кажется, могутъ упростпть эту теорію и расширить ея приложенія.

Первая часть.

2. Когда шесть точекъ, лежащихъ на прямой линіи и соотвѣтствующихъ другъ другу попарно, напр. $A$ и $A'$ и $B$ и $B'$, $C$ и $C'$, образуютъ между собою такіе отрѣзки, что существуетъ соотношеніе:

${\frac {CA.CA'}{CB.CB'}}={\frac {C'A.C'A'}{C'B.C'B'}}$,

то говорятъ, что эти шесть точекъ находятся въ инволюціи и соотвѣіствующія другъ другу точки называются сопряженными.

3. Шесть точекъ въ инволюціи обладаютъ двоякаго рода свойствами, изъ которыхъ одни мы называемъ ариѳметическими, потому что они состоятъ въ соотношеніяхъ между различными отрѣзками, заключающимися между этими точками; другія свойства мы назовемъ геометрическими, потому что они относятся къ извѣстнымъ фигурамъ, которыя можно построить на этихъ шести точкахъ, или въ которыхъ обнаруживается инволюція шести точекъ.

Свойства ариѳметическія.

4. Предыдущее уравненіе приводитъ къ двумъ слѣдующішъ:

${\frac {BA.BA'}{BC.BC'}}={\frac {B'A.B'A'}{B'C.B'C'}}$, ${\frac {AB.AB'}{AC.AC'}}={\frac {A'B.A'B'}{A'C.A'C'}}$.

(A.)

Такимъ образомъ каждое изъ трехъ уравненій (A) заключаетъ въ себѣ два другія.

5. Свойство шести точекъ быть въ инволюціи можетъ быть выражено уравненіемъ, содержащимъ только шесть изъ образуемыхъ имъ отрѣзковъ, именно:

$AB'.BC'.CA'=AC'.CB'.BA'$, или $AB'.BC.C'A'=AC.C'B'.BA'$, или $AB.B'C'.CA'=AC'.CB.B'A'$, или $AB.B'C.C'A'=AC.C'B.B'A'$,

(B.)

Такимъ образомъ каждое изъ уравненій (B) выражаетъ инволюію шести точекъ и ведетъ за собою три другія.

6. Уравненія (B) легко выводятся изъ уравненій (A) посредствомъ перемноженія; и обратно, посдѣднія также легко выводятся изъ уравреній (B). Но такъ какъ каждое изъ этихъ семи уравненій само по себѣ выражаетъ инволюцію, то необходимо, также, чтобы изъ каждаго уравненія могли быть выведены остальныя уравненія той же группы, т. е. изъ одного уравненія (A) два другія и изъ одного уравненія (B) — три остальныя. И дѣйствительно, этого можно достигнуть вычисленіемъ, замѣняя надлежащимъ образомъ различные отрѣзки, входящіе въ составъ разсматриваемаго уравненія. Но подобное подтвержденіе a posteriori приходится дѣлать ощупью; оно продолжительно и вовсе не изящно.

Поэтому, для доказательства, что каждое изъ семи уравненій (A) и (B) заключаетъ въ себѣ шесть другихъ, пользуются однимъ геометрическимъ свойствомъ шести точекъ въ инволюціи, именно тѣмъ, что черезъ нихъ можно провести четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника. Такъ поступали Бріаншонъ и Понселе.

Мы нашли, что понятіе объ ангармоническомъ отношеніи четытрехъ точекъ ведетъ къ болѣе прямому и еще болѣе простому доказательству и доставляетъ много другихъ соотношеній, которыя также какъ уравненія (A) и (B), будутъ имѣть свою долю пользы. Объ этомъ предметѣ мы будемъ говорить во второй части настоящаго Примѣчанія.

7. Уравненія (А) между восемью отрѣзками составляются очень просто. Но не такъ легко съ перваго взгляда замѣтить и выразить составъ уравненій (B), въ каждое изъ которыхъ входятъ только шесть отрѣзковъ. Вотъ правило, которое, намъ кажется, безъ большаго труда можно удержать въ памяти.

Возьмемъ три точки $A,\,B,\,C$, принадлежащія къ тремъ парамъ; каждая изъ нихъ въ совокупности съ точками, сопряженными двумъ другимъ, опредѣляетъ два отрѣзка; такихъ отрѣзковъ будетъ слѣдовательно шесть; произведеніе трехъ изъ этихъ отрѣзковъ, не имѣющихъ общихъ конечныхъ точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ.

8. Разсмотримъ четвертую пару сопряженныхъ точекъ $D$ и $D'$ и положимъ, что онѣ составляютъ инволюцію съ четырьмя точками $A,\,A'$ и $B,\,B'$, будемъ имѣть уравненіе

${\frac {AB.AB'}{AD.AD'}}={\frac {A'B.A'B'}{A'D.A'D'}}$.

Сравнивая это уравненіе съ третьимъ изъ уравненій (A), найдемъ:

${\frac {AC.AC'}{AD.AD'}}={\frac {A'C.A'C'}{A'D.A'D'}}$.

Это показываетъ, что шесть точекъ $A,\,A',\,C,\,C'$ и $D,\,D'$ находятся въ инволюціи.

Отсюда проистекаетъ слѣдующее общее свойство инволюціи шести точекъ:

Если на прямой линіи имѣемъ нѣсколько паръ точекъ, изъ которыхъ двѣ первыя пары составляютъ инволюцію съ каждою изъ остальныхъ, то какія угодно три пары также составляютъ инволюцію.

Эта теорема ведетъ ко многимъ слѣдствіямъ, весьма важнымъ для теоріи инволюціи.

9. Вотъ, напримѣръ, одно изъ слѣдствій, ведущихъ къ полезнымъ приложеніямъ.

Если на прямой линіи имѣемъ четыре пары точекъ, изъ которыхъ каждыя три пары образуютъ инволюцію, то ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ, принадлежищихъ четыремъ парамъ, равно ангармоническому отношенію четырехъ остальныхъ точекъ.

Это значитъ, что для четырехъ паръ $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$, $D$ и $D'$ будемъ имѣть

${\frac {AC}{AD}}:{\frac {BC}{BD}}={\frac {A'C'}{A'D'}}:{\frac {B'C'}{B'D'}}$.

Дѣйствительно, три первыя пары образуютъ, какъ сказано, инволюцію, а потому (уравненія B):

${\frac {AC}{BC}}={\frac {A'C'}{B'C'}}{\frac {AB'}{A'B}}$;

точно также, вслѣдствіе инволюціи трехъ паръ $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $D$ и $D'$ будемъ имѣть:

${\frac {AD}{BD}}={\frac {A'D'}{B'D'}}{\frac {AB'}{A'B}}$.

Дѣля почленно эти уравненія, получимъ то, которое доказываемъ.

10. Изслѣдуемъ нѣкоторые частные случаи инволюціи шести точекъ. Если предположимъ, что двѣ точки $C,\,C'$ сливаются въ одну, которую означимъ черезъ $E$, то уравненія (A) и (B) обратятся въ слѣдующія четыре:

${\frac {AB.AB'}{A'B.A'B'}}={\frac {AE^{2}}{A'E^{2}}}$,

${\frac {BA.BA'}{B'A.B'A'}}={\frac {BE^{2}}{B'E^{2}}}$,

${\frac {EA.EB}{EA'.EB'}}={\frac {AB}{A'B'}}$,

${\frac {EA'.EB'}{EA'.EB}}={\frac {AB'}{A'B}}$.

Каждое изъ этихъ четырехъ уравненій заключаетъ въ себѣ три остальныя.

Дезаргъ, который изслѣдовалъ этотъ случай, назвалъ его инволюціею пяти точекъ.

Мы будемъ называть точку $E$ — двойною точкою.

11. Предположимъ тепѣрь, что точка $C'$ удалена въ безконечность и сопряженную ей точку означимъ, вмѣсто $C$, черезъ $O$: уравненія (A) и (B) обратятся въ слѣдующія:

$OA.OA'=OB.OB'$

${\frac {BA.BA'}{B'A.B'A'}}={\frac {BO}{B'O}}$

${\frac {AB.AB'}{A'B.A'B'}}={\frac {AO}{A'O}}$

${\frac {AB'}{A'B}}={\frac {OB'}{OA'}}$

${\frac {AB'}{A'B}}={\frac {OA}{OB}}$

${\frac {AB}{A'B}}={\frac {OB}{OA'}}$

${\frac {AB}{AB'}}={\frac {OA}{OB'}}$

Каждое из этихъ семи уравненій заключаетъ въ себѣ шесть другихъ и въ отдѣльности выражаетъ инволюцію пяти точекѵ $A,\,A',\,B,\,B'$ и $O$. Характеристическая особенность точки $O$ состоитъ въ томъ, что ея сопряженная точка находится въ безконечности.

Мы назовемъ эту точку центральною точкою двухъ паръ $A,\,A'$ и $B,\,B'$.

Положеніе центральной точки опредѣлено каждымъ изъ семи предыдущихъ уравненій. Первое изъ нихъ показываетъ, что произведеніе разстояній этой точки отъ двухъ первыхъ сопряженныхъ точекъ равно произведенію разстояній ея отъ двухъ другихъ сопряженныхъ точекъ; изъ этого предложенія мы выведемъ сейчасъ замѣчательное свойство инволюціи шести точекъ.

12. Пусть $A,\,A,\,B,\,B'$ и $C,\,C'$ будутъ шесть точекъ и $O$ центральная точка по отношенію къ первымъ четыремъ, такъ что $OA.OA'=OB.OB'$. Назовемъ на одно мгновеніе черезъ $O'$ сопряженную ей точку, находящуюся въ безконечности. Шесть точекъ $A,\,A,\,B,\,B'$ и $O,\,O'$ составляютъ инволюцію. Поэтому изъ теоремы n°8 слѣдуетъ, что двѣ пары $C,\,C'$ и $O,\,O'$ образуютъ инволюцію съ каждою изъ двухъ другихъ паръ, напримѣръ съ $A,\,A'$. Слѣдовательно точка $O$ есть также центральная для двухъ паръ $A,\,A'$ и $C,\,C'$. Такимъ образомъ получаемъ $OA.OA'=OC.OC'$. Но мы уже имѣли $OA.OA'=OB.OB'$ и потому можемъ высказать такую теорему:

Когда три пары точекъ составляютъ инволюцію, то всегда существуетъ такая точка, для которой произведенія ея разстояніи отъ двухъ точекъ каждой пары одинаковы.

Обратно: Если на прямой линіи будемъ брать пары точекъ, для которыхъ произведеніе разстояній отъ какой-нибудь неподвижной точки $O$ этой прямой постоянно, то три пары такихъ точекъ будутъ въ инволюціи.

Если первыя точки будутъ при этомъ взяты по одну сторону точки $O$, то также точно надобно брать и двѣ другія пары, чтобы произведенія ихъ разстояній имѣли одинаковый знакъ; тоже нужно замѣтить и въ такомъ случаѢ, когда двѣ первыя точки берутся съ противоположныхъ сторонъ точки $O$.

Прибавленіе

12 bis. Изъ теоремы n° 12 слѣдуетъ, что, если три пары точекъ $A,\,A',\,B,\,B'$ и $C,\,C'$ гарманически сопряжены относительно двухъ постоянныхъ точекъ $E,\,F$, то шесть точекъ $A,\,A',\,B,\,B',\,C,\,C'$ находятся въ инволюціи.

Дѣйствительно, пусть $O$ будетъ средина отрѣзка $EF$, тогда

$OA.OA'=OE^{2}$, $OB.OB'=OE^{2}$, $OC.OC'=OE^{2}$.

Слѣдовательно шесть точекъ $A,\,A',\,B,\,B',\,C,\,C'$ составляютъ инволюцію (n° 12).

13. Предыдущая теорема еще не обратила, кажется, достаточнаго вниманія тѣхъ, кто писалъ объ этомъ предметѣ; но по моему мнѣнію, она выражаетъ самое простое свойство инволюціи шести точекъ; въ большинствѣ геометрическихъ изысканій инволюція обнаруживается посредствомъ этого именно свойства.

Точку $O$, разсматривашую относительно шести точекъ въ инволюціи, мы будемъ называть центральною точкою инволюціи.

14. Центральная точка естественнымъ образомъ ведетъ къ двойнымъ точкамъ, о которыхъ мы уже говорили, и показываетъ, что эти точки могутъ быть мнимыми.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть $A,\,A',\,B,\,B'$ будутъ четыре первыя точки инволюціи. Ихъ достаточно для опредѣленія центральной точки $O$. Если двѣ точки $A,\,A'$ лежатъ по одну сторону точки $O$, то также будутъ лежать точки $B,\,B'$ и двѣ другія точки $C,\,C'$, дополняющія инволюцію. Поэтому можно предположить, что двѣ послѣднія точки сливаются въ одну, которую мы означимъ черезъ $E$; для опредѣленія этой точки получаемъ уравненіе

$OA.OA'=OB.OB'=OE^{2}$.

Точка $E$ можетъ быть взята и съ той и съ другой стороны относительно $O$ и слѣдовательно подобныхъ точекъ будетъ двѣ.

Итакъ, если даны четыре первыя точки $A,\,A'$ и $B,\,B'$, то инволюція двоякимъ образомъ можетъ быть пополнена пятою точкою, которая разсматривается какъ двойная.

Но если предположимъ, что двѣ первыя точки $A,\,A'$ лежатъ по разныя стороны точки $O$, то будетъ то же самое для точекъ $B,\,B'$ и $C,\,C'$, дополняющихъ инволюцію; по этому двѣ послѣднія точки никогда не могутъ совпадать. Такимъ образомъ въ этомъ случаѣ не существуетъ двойныхъ точекъ; анализъ далъ бы для построенія ихъ мнимое выраженіе.

15. Пусть $A,\,A',\,B,\,B'$ и $C,\,C'$ будутъ шесть точекъ въ инволюціи и положимъ, что двѣ первыя точки находятся по одну сторону центральной точки $O$; можно найти двѣ точки $E$ и $F$, лежащія по ту и другую сторону отъ точки $O$, для которыхъ

$OE^{2}=OF^{2}=OA.OA'$.

Это двойное равенство показываетъ, что точки $E,\,F$ суть гармонически сопряженныя относительно двухъ точекъ $A,\,A'$. Но мы имѣемъ въ то же время

$OE^{2}=OF^{2}=OB.OB'$;

поэтому точки $E,\,F$ также гармонически сопряженныя относительно $B,\,B'$, и такимъ же образомъ слѣдовательно относительно $C,\,C'$. Отсюда проистекаетъ слѣдующее, уже извѣстное, свойство инволюціи шести точекъ: существуютъ двѣ точки гармонически сопряженныя относительно двухъ точекъ каждой изъ трехъ паръ, составляющихъ инволюцію. Эти двѣ точки лежатъ по ту и по другую сторону отъ центральной точки и на одинаковомъ разстояніи отъ нея. Онѣ могутъ впрочемъ быть мнимыми.

16. Не трудно видѣть, что если точки $B,\,B'$ лежатъ обѣ внутри отрѣзка $A,\,A'$, или обѣ внѣ этого отрѣзка, то двойныя точки $E,\,F$ будутъ дѣйствительныя.

Наоборотъ, если одна изъ точекъ $B,\,B'$ будетъ лежать на отрѣзкѣ $A,\,A'$, а другая на его продолженіи, то двойныя точки будутъ мнимыя.

Въ самомъ дѣлѣ, въ первомъ случаѣ точка $O$, которая всегда дѣйствительна, очевидно, будетъ лежать внѣ отрѣзковъ $AA',\,BB'$, иначе уравненіе $OA.OA'=OB.OB'$ не могло бы имѣть мѣста; поэтому точки $A,\,A'$ будутъ находиться по одну сторону отъ $O$ и слѣдовательно двѣ точки $E,\,F$ будутъ дѣйствительныя. Во второмъ случаѣ точка $O$ будетъ, очевидно, лежать на общей части отрѣзковъ $AA',\,BB'$; точки $A,\,A'$ будутъ на разныхъ сторонахъ отъ $O$ и слѣдовательно точки $E,\,F$ будутъ мнимыя.^[1]

17. Двѣ точки $E,\,F$ обладаютъ другимъ характеристическимъ свойствомъ, которое было доказано Аполлоніемъ въ его сочиненіи de section determinata, какъ это видно изъ предложеній 61, 62 и 64 седьмой книги Математическаго Собранія Паппа; свойство это состоитъ въ томъ, что отношеніе

${\frac {EA.EA'}{EB.EB'}}$ или ${\frac {FA.FA'}{FB.FB'}}$

есть maximum, или minimum. Это значитъ, что если возьмемъ какую-нибудь другую точку $m$, то отношеніе

${\frac {mA.mA'}{mB.mB'}}$

достигаетъ maximum, или minimum, когда точка $m$ сливается съ одною изъ точекъ $E,\,F$, гармонически сопряженныхъ какъ относительно $A,\,A'$, такъ и относительно $B,\,B'$.

18. Двѣ пары точекъ $A,\,A'$ и $B,\,B'$ и ихъ центральная точка $O$ имѣютъ еще слѣдующее свойство, которое доказано у Паппа (предложенія 45, 46, ... и 56 седьмой книги Математическаго Cобранія):

Если на прямой $AB$, или на ея продолженіи, возьмемъ какую-нибудь точку $m$, то всегда будемъ имѣть соотношеніе

$mA.mA'-mB.mB'=(AB+A'B').mO$.

Если возьмемъ средины $\alpha ,\,\beta$ отрѣзковъ $AA',\,BB'$, то это соотношеніе приметъ такой видъ:

$mA.mA'-mB.mB'=2\alpha \beta .mO$.

19. Предпологая, что точка $m$ сливается послѣдовательно съ $A,\,A',\,B,\,B'$ получимъ, какъ частные случаи, соотношенія между пятью точками $A,\,A',\,B,\,B'$ и $O$, которыя также были доказаны Паппомъ въ предложеніяхъ 41, 42 и 43.

Свойства геометрическія.

20. Самое древнее геометрическое свойство инволюціи шести точекъ находимъ у Паппа въ 130-мъ предложеніи седьмой книги, изъ котораго видно, что если четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника пересѣчены какою-нибудь сѣкущею въ шести точкахъ $A,\,A',\,B,\,B'$ и $C,\,C'$, изъ которыхъ двѣ первыя относятся къ двумъ противоположнымъ сторонамъ, двѣ слѣдующія къ другимъ двумъ противоположнымъ сторонамъ, наконецъ двѣ послѣднія къ двумъ діагоналямъ, то отрѣзки, получаемыя между этими точками, удовлетворяютъ уравненіямъ (B).

Изъ этого предложенія очевидно слѣдуетъ, что и обратно, если одно изъ уравненій (B) имѣетъ мѣсто, то черезъ шесть точекъ можно провести четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника; а отсада заключаемъ, что тогда, на основаніи предложенія Паппа, и три остальныя уравненія (B) будутъ удовлетворяться.

Вотъ какимъ образомъ при помощи геометрическаго предложенія Паппа доказывается ариометическое свойство инволюціи шести точекъ, состоящее въ томъ, что каждое изь уравненій (B) заключаетъ въ себѣ остальныя.

Такъ какъ отъ сочетанія этихъ уравненій получаются прямо уравненія (A), то въ этомъ же предложеніи Паппа заключается доказательство того, что шесть точекъ пересѣченія произвольной сѣкущей съ четырьмя сторонами и двумя діагоналями четыреугольника удовлетворяютъ соотношеніямъ, выраженнымъ уравненіями (A).

21. Доказательство теоремы Паппа не трудно; но, пользуясь тѣмъ, что инволюціонное отношеніе проективно, можно еще болѣе упростить это доказательство, пролагая четыреугольникъ такъ, что бы онъ обратился въ параллелограммъ.

Такимъ способомъ доказалъ эту теорему Бріаншонъ въ мемуарѣ о кривыхъ втораго порядка.

22. Соотношенія (A) между восемью отрѣзками не были, кажется, извѣстны Паппу. Между его предложеніями о четыреугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью, есть только одно, принадлежащее къ этимъ соотношеніямъ: это одинъ изъ частныхъ случаевъ. Сѣкущая проводится черезъ точку встрѣчи противоположенныхъ сторонъ паралельно одной изъ діагоналей (предложеніе 133). Два предыдущія предложенія можно также разсматривать какъ частные случаи соотнощеній (A); но такъ какъ они сдѣдуютъ тотчасъ послѣ предложенія 130 и составляютъ также его частные случаи, то мы доджны отнести ихъ къ этому предложенію и рассматривать какъ слѣдствія соотношеній (B), выраженныхъ въ этомъ 130-мъ предложеніи.

23. Уравненія (A) стали, кажется, извѣстны не ранѣе Дезарга; этотъ геометръ ими именно характеризовалъ инволюцію шести точекъ по поводу слѣдующей прекрасной теоремы, которая сдѣлалась такъ плодотворна въ новѣйшей геометріи, именно:

Если четыреуголникъ вписанъ въ коническое сѣченіе, то точки пересѣченія какой-нибудь сѣкущей съ кривою и съ четырьмя сторонами четыреугольника находятся въ инволюціи.

Эту теорему очень легко доказать посредствомъ простыхъ геометрическихъ сображеній^[2].

24. Изъ нея послѣдовательно выводяся двѣ слѣдующія, болѣе общія, теоремы.

Два коническія сеченія описаны около четыреугольника; проведемъ какую-нибудь сѣкущую, встрѣчающуюся въ четырехъ точкахъ съ двумя этими кривыми и еще в двухъ точкахъ — съ двумя противоположными сторонами четыреугольника: эти шесть точекъ будутъ въ инволюціи.

Всякая сѣкущая пересѣкается съ тремя коническими сеченіями, описанными около одного и того же четыреугольника, въ шести точкахъ, составляющихъ инволюцію. Эти двѣ теоремы представляютъ, какъ мы видимъ, обобщеніе теоремы Дезарга, которая вытекаетъ изъ нихъ, какъ слѣдствіе. Онѣ были въ первый разъ доказаны аналитически Штурмомъ.^[3]

25. Послѣдняя теорема можетъ служить для доказательства многихъ свойствъ, названныхъ нами ариѳметическими свойствами инволюціи шести точекъ. Для этого, кромѣ трехъ первыхъ коническихъ сѣченій, можно разсматривать еще различпыя другія коническія сѣченія, проходящія черезъ тѣ же четыре точки; каждое изъ нихъ будетъ опредѣляться пятымъ условіемъ. Если проведемъ коническое сѣченіе, которое при этомъ касается сѣкущей, то найдемъ двойныя точки; коническое сѣченіе, имѣющее асимптоту, параллельную сѣкущей, укажетъ центральную точку и т. п.

26. Весьма важное свойство инволюціи шести точекъ состоитъ въ томъ, что, если изъ произвольной точки проведемъ прямыя къ этимъ шести точкамъ, то тѣ же инволюціонныя соотношенія (A) и (B), которыя имѣютъ мѣсто для отрѣзковъ между точками, будутъ существовать между синусами угловъ, образуемыхъ шестью линіями, наключающими эти отрѣзки.

Обыкновенно доказываютъ это свойство, выражая отрѣзки въ функціи синусовъ соотвѣтственныхъ угловъ. Но теорія ангармоническаго отношенія четырехъ точекъ доставляетъ болѣе простое доказательство. Для этого достаточно замѣтить, что каждое изъ инволюціонныхъ соотношеній (A) и (B) представляетъ равенства ангармоническихъ отношеній (какъ мы это покажемъ во второй части этого Примѣчанія). Но эти отношенія сохраняютъ свою величину, когда въ нихъ вмѣсто отрѣзковъ подставляются синусы соотвѣственныхъ угловъ; слѣдовательно инволюціонныя отношенія существуютъ также между синусами угловъ, образуемыхъ шестью прямыми.

Обратно, если подобное соотношеніе существуетъ между синусами угловъ, образуемыхъ шестью прямыми, выходящими изъ одной точки, то всякая сѣкущая пересѣчется съ этими шестью прямыми въ шести точкахъ въ инволюціи. Въ такомъ случаѣ говорятъ, что шесть прямыхъ образуютъ пучекъ въ инволюціи.

27. Таковы напримѣръ шесть касательныхъ, проведенныхъ изъ одной точки къ тремъ коническимъ сѣченіямъ, вписаннымъ въ одинъ четыреугольникъ.

28. Прямую, соединяющую двѣ противоположныя вершины четыреугольника, можно разсматривать, какъ коническое сѣченіе, одна изъ осей котораго равна нулю; прямую соединяющую двѣ другія вершины, — какъ второе коническое сѣченіе; наконецъ прямую, соединяющую точки встрѣчи противоположныхъ сторонъ, какъ третье коническое сѣченіе. Тогда изъ общей, только что высказанной, теоремы мы получимъ многія слѣдствія; одно изъ нихъ составляетъ слѣдующую теорему:

Шесть прямыхъ, проведенныхъ изь одной точки къ четыремъ вершинамъ и къ двумъ точкамъ пересѣченія противоположныхъ сторонъ четыреугольника, составляютъ пучекъ въ инволюціи; такъ что каждая сѣкущая встрѣчается съ этими шестью прямыми въ шести точкахъ, составляющихъ инволюцію.

29. У Паппа мы находимъ только одно предложеніе, которое можно отнести къ этой теоремѣ, именно 135-е предложеніе седьмой книги. Надобно предположить, что двѣ стороны четыреугольника параллельны между собою и что сѣкущая также параллельна имъ и проведена черезъ точку пересѣченія двухъ другихъ сторонъ.

30. Намъ кажется, что инволюціонное соотногаеніе должно очень часто встрѣчаться во многихъ геометрическихъ теоріяхъ, преимущественно въ теоріи коническихъ сѣченій. Между тѣмъ до сихъ поръ его разсматривали только въ системѣ трехъ коническихъ сѣченій вписанныхъ или описанныхъ около четыреугольника и въ частныхъ случаяхъ такой системы.

Мы покажемъ въ концѣ второй части этого Примѣчанія, что соотношеніе это можетъ встрѣчаться во многихъ другихъ обстоятельствахъ.

Вторая часть.

31. Свойства инволюціи шести точекъ, изложенныя въ первой части этого Примѣчанія, составляютъ, кажется, все, что до сихъ поръ было извѣстно; я не знаю даже, было ли опредѣлительно высказано существованіе центральной точки и важность ея роли въ этой теоріи.

Но инволюція шести точекъ обладаетъ многими другими свойствами и можетъ, кромѣ уравненій (A) и (B), выражаться въ различныхъ другихъ формахъ, которыя могутъ оказаться полезными при геометрическихъ изслѣдованіяхъ.

Самое важное свойство инволюціоннаго соотношенія, служащее по нашему мнѣнію источникомъ всѣхъ другихъ свойствъ, основывается на понятіи объ ангармоническомъ отношеніи. Это основное свойство позволяетъ дать новое опредѣленіе инволюціи шести точекъ, опредѣленіе, которое заключаетъ въ себѣ въ одно время оба рода уравненій (A) и (B) и естественнымъ образомъ ведетъ къ различнымъ другимъ выраженіямъ инволюціи шести точекъ.

32. Мы скажемъ, что

Шесть точекъ, попарно сопряженныхъ, находятся въ инволюціи, когда ангармоническое отношеніе четырехъ изъ нихъ равно ангармоническому отношенію имъ сопряженныхъ точекъ.

Такъ, шесть точекъ $A,\,B,\,C,\,A',\,B',\,C'$, изъ которыхъ три $A',\,B',\,C'$ сопряжены тремъ первымъ, будутъ въ инволюціи, когда ангармоническое отношеніе четырехъ $A,\,B,\,C$ и $C'$ равно ангармоническому отношенію ихъ сопряженныхъ $A',\,B',\,C'$ и $C$; т. е. когда имѣемъ одно изъ трехъ уравненій:

${\frac {CA}{CB}}:{\frac {C'A}{C'B}}={\frac {C'A'}{C'B'}}:{\frac {CA'}{CB'}}$,

${\frac {CA}{CC'}}:{\frac {BA}{BC'}}={\frac {C'A'}{C'C}}:{\frac {B'A}{B'C}}$,

${\frac {CB}{CC'}}:{\frac {AB}{AC'}}={\frac {C'B'}{C'C}}:{\frac {A'B'}{A'C}}$

или

${\frac {CA.CA'}{CB.CB'}}={\frac {C'A.C'A'}{C'B.C'B'}}$,

$CA.A'B'.BC'=C'A'.AB.B'C$

$CB.B'A'.BC'=C'B'.AB.A'C$

Каждое изъ этихъ трехъ уравненій заключаетъ въ себѣ два остальныя, потому что каждое выражаетъ, что четыре точки $A,\,B,\,C,\,C'$ имѣютъ тоже ангармоническое отношеніе, какъ и четыре имъ соотвѣтствующія точки $A',\,B',\,C',\,C$.

Такимъ образомь наше опредѣленіе инволюціи шести точекъ даетъ три уравненія, изъ которыхъ каждое заключаетъ въ себѣ два другія и достаточно для выраженія инволюціи.

33. Легко видѣть, что каждое изъ этихъ трехъ уравненій ведетъ еще къ четыремъ другимъ, которыя вмѣстѣ съ тремя первыми составляютъ уравненія (A) и (B).

Дѣйствительно, одно изъ уравненій, напримѣръ

$CA.A'B'.BC'=C'A'.AB.B'C$,

можно написать троякимъ образомъ въ видѣ равенства ангармоническихъ отношеній; первый способъ даетъ второе уравненіе изъ первой группы вышеприведенныхъ уравненій; два другіе приведутъ къ уравненіямъ:

${\frac {CA}{CB'}}:{\frac {BA}{BB'}}={\frac {C'A'}{C'B}}:{\frac {B'A'}{B'B}}$,

${\frac {CA}{CB'}}:{\frac {A'A}{A'B}}={\frac {C'A'}{C'B}}:{\frac {AA'}{AB}}$.

Первое изъ этихъ уравненій показываетъ, что четыре точки $A,\,B,\,C,\,B'$ имѣютъ такое же ангармоническое отношеніе, какъ и четыре имъ соотвѣтствующія точки $A',\,B',\,C',\,B$ поэтому мы имѣемъ еще два уравненія:

${\frac {CA}{CB}}:{\frac {B'A}{B'B}}={\frac {C'A'}{C'B'}}:{\frac {BA'}{BB'}}$

${\frac {CA}{CB'}}:{\frac {AB}{AB'}}={\frac {C'A'}{C'B}}:{\frac {A'B'}{A'B}}$

или

$CA.A'B.B'C'=C'A'.AB'.BC$

${\frac {BA.BA'}{BC.BC'}}={\frac {B'A.B'A'}{B'C.B'C'}}$

Подобнымъ же образомъ второе изъ тѣхъ уравненій показываетъ, что четыре точки $A,\,B',\,C,\,A'$ имѣютъ одинаковое ангармоническое отношеніе съ четырьмя соотвѣтствующими имъ точками $A',\,B,\,C',\,A$ и потому мы имѣемъ два другія уравненія:

${\frac {CA}{CA'}}:{\frac {B'A}{B'A'}}={\frac {C'A'}{C'A}}:{\frac {BA'}{BA}}$

${\frac {CB'}{CA'}}:{\frac {AB'}{AA'}}={\frac {C'B}{C'A}}:{\frac {A'B}{A'A}}$;

или

${\frac {AC.AC'}{AB.AB'}}={\frac {A'C.A'C'}{A'B.A'B'}}$

$CB'.BA'.AC'=C'B.B'A.A'C$.

Итакъ семь уравненій (A) и (B) слѣдуютъ изъ даннаго нами опредѣленія инволюціи шести точекъ.

34. Мы видѣли, что уравненіе

$CA.A'B'.BC'=C'A'.AB.B'C$

выражаетъ въ одно и то же время три равенства ангармоническихъ отношеній; именно для четырехъ точекъ $A,\,B,\,C,\,C'$ и ихъ соотвѣтствующихъ $A',\,B',\,C',\,C$; для четырехъ точекъ $A,\,B,\,C,\,B'$ и ихъ соотвѣтствующихъ; наконецъ для четырехъ точекъ $A,\,B',\,C,\,A'$ и ихъ соотвѣтствующихъ.

Каждое другое изъ уравненій (B) точно также выражаетъ равенство ангармоническихъ отношеній въ трехъ различныхъ группахъ четырехъ точекъ и нетрудно замѣтить, что каждое изъ уравненій (А) также выражаетъ равенство ангармоническихъ отношеній для двухъ группъ. Отсюда заключаемъ, что если шесть точекъ $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ находятся въ инволюціи, то четыре какія нибудь изъ нихъ, принадлежащія къ тремъ парамъ, имѣютъ ангармоническое отношеніе одинаковое съ соотвѣтствующими имъ точками.

35. Мы говоримъ, что три изъ четырехъ первыхъ точекъ должны принадлежать тремъ парамъ, потому что иначе двѣ изъ шести точекъ не вошли бы въ уравненіе, выражающее равенство ангармоническихъ отношеній. Такъ напримѣръ, если бы первыя четыре точки были $A,\,B,\,A',\,B'$, то соотвѣтствующія имъ точки были бы $A',\,B',\,A,\,B$; и, сравнивая ангармоническія отношенія тѣхъ и другихъ четырехъ точекъ, мы не получили бы соотношенія между шестью данными точками, такъ какъ въ него не вошли бы точки $C$ и $C'$. Но полученное уравненіе было бы тождественно. Поэтому мы можемь изложить теорему въ слѣдующемъ общемъ видѣ:

Когда шесть точекъ, попарно соотвѣтствующихъ другъ другу, находятся въ инволюціи, то ангармоническое отношеніе какихъ нибудь четырехъ изъ нихъ равно ангармоническому отношенію четырехъ имъ соотвѣтствующихъ точекъ.

Эта теорема, какъ намъ кажется, выражаетъ самое богатое слѣдствіями свойство въ теоріи инволюціи шести точекъ; она естественнымъ образомъ ведетъ къ различнымъ выраженіямъ инволюціи, которыя до сихъ поръ не были замѣчены.

Перейдемъ къ изложенію ихъ.

36. Въ предыдущемъ Примѣчаніи мы видѣли, что равенство ангармоническихъ отношеній двухъ системъ четырехъ точекъ можетъ быть тремя способами выражено посредствомъ трехчленнаго уравненія; поэтому условіе инволюціи шести точекъ можетъ быть выражено трехчленнымъ уравненіемъ въ двѣнадцати различныхъ видахъ. Четыре изъ этихъ двѣнадцати уравненій содержатъ отрѣзокъ $AA'$ между двумя соотвѣтственными точками, четыре содержатъ отрѣзокъ $BB'$, наконецъ четыре — отрѣзокъ $CC'$. Вотъ четыре первыя изъ этихъ двѣнадцати уравненій:

${\frac {AB.AC}{AA'.BC}}+{\frac {AB'.A'C'}{AA'.B'C'}}=1$ ${\frac {AB.AC'}{AA'.BC'}}+{\frac {AB'.A'C}{AA'.B'C}}=1$ ${\frac {AB.A'C}{AA'.BC}}+{\frac {AC'.A'B'}{AA'.C'B'}}=1$ ${\frac {AC.A'B'}{AA'.CB'}}+{\frac {AC'.A'B}{AA'.C'B}}=1$

(C.)

Точно такимъ же образомъ составятся четыре уравненія, въ которыя войдетъ отрѣзокъ $BB'$ и четыре другія, въ которыя войдетъ отрѣзокъ $CC'$.

Всего двѣнадцать уравненій, изъ которыхъ каждое заключаетъ въ себѣ одиннадцать остальныхъ. Каждое изъ нихъ содержитъ восемь отрѣзковъ, изъ которыхъ семь различны между собою.

37. Имѣемъ еще восемь слѣдующихъ уравненій, которыя отличаются отъ предыдущихъ, хотя состоятъ также изъ трехъ членовъ и содержатъ, каждое, восемь отрѣзковъ, изъ которыхъ семь различны между собою:

1.) ${\frac {AC.AC'}{AB.AB'}}+{\frac {BC.BC'}{BA.BA'}}=1$ 2.) ${\frac {AB.AB'}{AC.AC'}}+{\frac {CB.CB'}{CA.CA'}}=1$ 3.) ${\frac {A'C.A'C'}{A'B.A'B'}}+{\frac {BC.BC'}{BA'.BA}}=1$ 4.) ${\frac {A'B.A'B'}{A'C.A'C'}}+{\frac {CB.CB'}{CA'.CA}}=1$

(D.)

1'.) ${\frac {AC.AC'}{AB'.AB}}+{\frac {B'C.B'C'}{B'A.B'A'}}=1$, 2'.) ${\frac {AB.AB'}{AC'.AC}}+{\frac {C'B.C'B'}{C'A.C'A'}}=1$, 3'.) ${\frac {A'C.A'C'}{A'B'.A'B}}+{\frac {B'C.B'C'}{B'A'.B'A}}=1$, 4'.) ${\frac {A'B.A'B'}{A'C'.A'C}}+{\frac {C'B.C'B'}{C'A'.C'A}}=1$.

(D'.)

Четыре послѣднія изъ этихъ уравненій, означенныя нумерами 1', 2', 3', 4', выводятся соотвѣтственно изъ четырехъ первыхъ, означенныхъ нумерами 1, 2, 3, 4, при помощи уравненій (А).

Ниже (n° 45) мы дадимъ доказательство этихъ восьми уравненій.

38. Вотъ формула другаго вида, выражающая инволюцію шести точекъ посредствомъ четырехчленнаго уравненія между шестью различными отрѣзками.

Означимъ чрезъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ средины отрѣзковъ $AA',\,BB',\,CC'$ и положимъ, что эти точки расположены въ порядкѣ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$; тогда существуетъ соотношеніе:

$\alpha A^{2}.\beta \gamma -\beta B^{2}.\alpha \gamma +\gamma C^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$.

(E.)

Это уравненіе единственно; т. е. не существуетъ другаго подобной же формы.

Доказательство его получится (n° 46) изъ другаго общаго соотношенія, которое мы сейчасъ покажемъ.

39. Когда двѣ точки $C,\,C'$ сливаются въ одну точку $E$, то предыдущее уравненіе обращается въ

$\alpha A^{2}.\beta \gamma -\beta B^{2}.\alpha E=\alpha \beta .\beta E.E\alpha$.

Если точки $B,\,B'$ также сливаются въ $F$, то выходитъ

$\alpha A^{2}=\alpha E.\alpha F$.

Это одна изъ формулъ выражающихъ, что точки $A,\,A'$ гармоничѳски сопряжены относительно $E$ и $F$.

40. Гармоническое отношеніе четырехъ точекъ можно, какъ извѣстно, выразить посредствомъ пятой произвольной точки, къ которой отнесены четыре разсматриваемыя точки. Такимъ же образомъ можно выразить инволюцію шести точекъ при помощи вспомогательной точки, къ которой отнесены эти шесть точекъ; этотъ способъ ведетъ къ безконечному множеству уравненій, изъ которыхъ каждое достаточно для выраженія инволюціи.

Пусть $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ будутъ шесть точекъ въ инволюціи и $m$ седьмая точка, взятая произвольно на той же прямой линіи; пусть $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ будутъ средины отрѣзковъ $AA',\,BB',\,CC'$; положимъ что онѣ расположены въ томъ же порядкѣ, какъ мы ихъ написали; тогда будемъ имѣть соотношеніе:

$mA.mA'.\beta \gamma -mB.mB'.\alpha \gamma +mC.mC'.\alpha \beta =0$.

(F.)

Это уравненіе существуетъ, каково бы ни было положеніе точки $m$.

Предполагая, что эта точка послѣдовательно сливается съ точками въ инволюціи, или съ точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$, или съ какими нибудь другими опредѣленными точками, мы будемъ получать другія соотношенія, которыя всѣ будутъ выражать инволюцію шести точекъ.

41. Доказательство уравненія (F) не трудно. Мы покажемъ, что если это уравненіе имѣетъ мѣсто при одномъ положеніи точки $m$, то оно будетъ справедливо и при всякомъ другомъ положеніи этой точки; т.-е. что, назвавъ черезъ $M$ это новое положеніе точки $m$, мы будемъ имѣть необходимо:

$MA.MA'.\beta \gamma -MB.MB'.\alpha \gamma +MC.MC'.\alpha \beta =0$,

(F'.)

потомъ мы покажемъ, что уравненіе (F) дѣйствительно имѣетъ мѣсто при извѣстномъ положеніи точки $m$. Чтобы вывести уравненіе (F') изъ (F), напишемъ

$mA=MA-Mm$; $mA'=MA'-Mm$, :$mA.mA'=MA.MA'+(MA+MA')Mm+Mm^{2}$,

или

$mA.mA'=MA.MA'-2M\alpha .Mm-Mm^{2}$. Подобнымъ же образомъ:

$mB.mB'=MB.MB'=2M\beta .Mm+Mm^{2}$

и

$mC.mC'=MC.MC'-2M\gamma .Mm+Mm^{2}$.

Уравненіе (F) обратится въ

$MA.MA'.\beta \gamma -MB.MB'.\alpha \gamma +MC.MC'.\alpha \beta -2Mm.(\beta \gamma .M\alpha -\alpha \gamma .M\beta +\alpha \beta .M\gamma )+(\beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta )Mm^{2}=0$.

Но между четырьмя точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,M$ всегда имѣемъ соотношеніе

$\beta \gamma .M\alpha -\alpha \gamma .M\beta +\alpha \beta .M\gamma =0$,

какъ мы доказали это въ Примѣчаніи IX (стр. 48); точно также между точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ существуетъ всегда соотношеніе

$\beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta =0$;

слѣдовательно наше уравненіе дѣйствительно приводится къ уравненію (F).

Остается показать, что уравненіе (F) существуетъ для какого нибудь частнаго положенія точки $m$. Положимъ, что эта точка помѣщена въ центральной точкѣ инволюліи шести точекъ; въ такомъ случаѣ

$mA.mA'=mB.mB'=mC.mC'$

и уравненіе наше приводится къ тождеству

$\beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta =0$.

Такимъ образомъ формула (F') и подобная ей формула (F) — доказаны. 42. Въ уравненіи (F) можно замѣнить отрѣзки $\alpha \beta ,\,\alpha \gamma ,\,\beta \gamma$ отрѣзками между точками $A,\,A',\,B,\,B',\,C,\,C'$, потому что

$\beta \gamma ={\frac {BC+B'C'}{2}}$; $\alpha \gamma ={\frac {AC+A'C'}{2}}$; $\alpha \beta ={\frac {AB+A'B'}{2}}$;

43. Положимъ, что въ инволюціи двѣ точки $C,\,C'$ сливаются въ одну $E$ и двѣ другія $B,\,B'$ также сливаются въ $F$; уравненіе обращается тогда въ

$mA.mA'.EF-mF^{2}.\alpha E+mE^{2}.\alpha F=0$.

(G.)

Это уравненіе выражаетъ соотношеніе между четырьмя точками $A,\,A',\,E,\,F$, изъ которыхъ двѣ первыя гармонически сопряжены относительно двухъ послѣднихъ, и между пятою произвольною точкою $m$.

Давая этой пятой точкѣ различныя положенія, мы получимъ различныя выраженія гармоническаго отношенія четырехъ точекъ.

44. Намъ кажется, что изъ всѣхъ извѣстныхъ до сихъ поръ выраженій инволюціи шести точекъ уравненіе (F) есть самое полное и самое богатое слѣдствіями: изъ него выводятся всѣ разнообразныя уравненія, показанныя нами выше, и многія другія, приводящія къ простымъ выраженіямъ различныхъ соотношеній между произведеніями отрѣзковъ, разсматриваемыми въ этой теоріи.

Такъ напримѣръ, предполагая, что точка $m$ совпадаетъ съ $A$ получаемъ очень простое выраженіе для отношенія между $AC.AC'$ и $AB.AB'$, именно:

${\frac {AC.AC'}{AB.AB'}}={\frac {\alpha \gamma }{\alpha \beta }}={\frac {AC+A'C'}{AB+A'B'}}$.

Для отношенія

${\frac {A'C.A'C'}{A'B.A'B'}}$

получимъ тоже выраженіе; отсюда проистекаютъ уравненія (A).

45. Полагая, что точка $m$ помѣщена въ $B$ найдемъ:

${\frac {BC.BC'}{BA.BA.}}=-{\frac {\beta \gamma }{\beta \alpha }}=-{\frac {BC+B'C'}{BA+B'A'}}$.

Складывая почленно это уравненіе съ предыдущимъ и замѣчая, что $\alpha \gamma -\beta \gamma =\alpha \beta$, получимъ первое изъ восьми уравненій (D).

46. Уравненіе (E) также легко выводится изъ уравненія (F).

Въ самомъ дѣлѣ, между тремя точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ и какою нибудь четвертою точкою $m$ существуетъ слѣдующее соотношеніе, данное Стевартомъ:

$m\alpha ^{2}.\beta \gamma -m\beta ^{2}.\alpha \gamma +m\gamma ^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$.^[4]

Вычитая отсюда уравненіе (F), получимъ:

$(m\alpha ^{2}-mA.mA')\beta \gamma -(m\beta ^{2}-mB.mB')\alpha \gamma +(m\gamma ^{2}-mC.mC')\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$.

Но

$m\alpha ^{2}-\alpha A^{2}=(m\alpha +\alpha A)(m\alpha -\alpha A)=mA.mA'$;

откуда

$m\alpha ^{2}-mA.mA'=\alpha A^{2}$.

Точно также

$m\beta ^{2}-mB.mB'=\beta B^{2}$ и $m\gamma ^{2}-mC.mC'=\gamma C^{2}$.

Поэтому предыдущее уравненіе обращается въ

$\alpha A^{2}.\beta \gamma -\beta B^{2}.\alpha \gamma +\gamma C^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$,

что и требовалось доказать.

47. Изъ уравненія (F) выводится также свойство центральной точки, которое было извѣстно Паппу (n° 18). Для этого положимъ, что точка $C'$ удалена въ безконечность, вслѣдствіе чего точка $C$ обращается въ центральную точку $O$, и напишемъ уравненіе (F) въ такомъ видѣ:

$mA.mA'-mB.mB'.{\frac {\alpha \gamma }{\beta \gamma }}+mC.\alpha \beta .{\frac {mC'}{\beta \gamma }}=0$.

Точка $\gamma$ находится также въ безконечности и мы имѣемъ:

${\frac {\alpha \gamma }{\beta \gamma }}=1$;

$\beta \gamma ={\frac {\beta C+\beta C'}{2}}$;

${\frac {mC'}{\beta \gamma }}=2.{\frac {mC'}{\beta C+\beta C'}}={\frac {2}{{\frac {\beta C}{mC'}}+{\frac {\beta C'}{mC'}}}}$,

но

${\frac {\beta C}{mC'}}=0$; ${\frac {\beta C'}{mC'}}=1$,

слѣдовательно

${\frac {mC'}{\beta \gamma }}=2$;

уравненіе обращается въ

$mA.mA'-mB.mB'+2\alpha \beta .mO=0$.

Замѣняя $\alpha \beta$ чрезъ

${\frac {AB+A'B'}{2}}$,

получимъ уравненіе Паппа.

48. Если положимъ, что двѣ точки $B,\,B'$ сливаются въ одну изъ двойныхъ точекъ инволюціи $E$, то это уравненіе обратится въ

$mA.mA'-mE^{2}+2\alpha E.mO=0$.

(H.)

49. Если двѣ точки $A,\,A'$ сольются въ другой двойной точкѣ $F$ получимъ:

$mF^{2}-mE^{2}+2.EF.mO=0$.

Это уравненіе выражаетъ соотношеніе между какою нибудь точкою $m$, точками $E,\,F$ и срединою двухъ послѣднихъ.

50. Первое изъ уравненій (D) и уравненіе (H) ведутъ къ доказательству того случая maximum, или minimum, который былъ доказанъ Аполлоніемъ и о которомъ мы уже говорили (n° 17). Дѣйствительно, первое изъ этихъ уравненій показываетъ, что отношеніе

${\frac {AC.AC'}{AB.AB'}}$

въ которомъ $A$ разсматривается какъ перемѣнная точка, будетъ maximum, или mimimum, когда произведеніе $BA.BA'$ minimum, или maximum. Но уравненіе (H) даетъ

$BA.BA'=BE^{2}-2\alpha E.BO$.

Слѣдовательно произведеніе $BA.BA'$ будетъ maximum (или minimum, смотря по знаку), когда перемѣнный коэффиціентъ $\alpha E$ будетъ равенъ нулю. Тогда двѣ точки $A,\,A'$ сливаются въ одной точкѣ $E$; это и составляетъ предложеніе Аполлонія.

51. Инволюцію шести точекъ можно выразить уравненіемъ, въ которое войдутъ двѣ точки, взятыя, какъ та, такъ и другая, совершенно произвольно.

Пусть $m$ и $n$ будутъ двѣ такія точки; означимъ черезъ $\alpha$ точку гармонически сопряженную съ $n$ относительно $A$ и $A'$, черезъ $\beta$ — гармонически сопряженную съ $n$ относительно $B$ и $B'$ и черезъ $\gamma$ — гармонически сопряженную съ $n$ относительно $C$ и $C'$. Каковы бы ни были точки $m$ и $n$, взятыя на прямой, на которой расположены точки инволюціи, мы будемъ имѣть соотношеніе:

${\frac {mA.mA'}{nA.nA'}}.\beta \gamma .n\alpha -{\frac {mB.mB'}{nB.nB'}}.\alpha \gamma .n\beta +{\frac {mC.mC'}{nC.nC'}}.\alpha \beta .n\gamma =0$

(I.)

Если положимъ, что точка $n$ удалена въ безконечность, то уравненіе обратится въ формулу (F). Этого замѣчанія достаточно, чтобы видѣть справедливость нашего уравненія.

52. Если помѣстимъ $m$ въ центральной точкѣ, то будемъ имѣть $mA.mA'=mB.mB'=mC.mC'$ и соотношеніе (I) приметъ видъ:

${\frac {\beta \gamma .n\alpha }{nA.nA'}}-{\frac {\alpha \gamma .n\beta }{nB.nB'}}+{\frac {\alpha \beta .n\gamma }{nC.nC'}}=0$.

(J.)

Это уравненіе отличается по формѣ отъ уравненія (F) и, подобно ему, выражаетъ инволюцію шести точекъ при помощи седьмой, произвольно взятой точки. 53. Мы сказали выше (n° 30), что инволюціонное соотношеніе можетъ встрѣчаться при многихъ изслѣдованіяхъ, гдѣ оно до сихъ поръ не было можетъ быть замѣчено. Мы закончимъ это Примѣчаніе указаніемъ на нѣкоторые случаи, въ которыхъ это соотношеніе имѣетъ мѣсто.

1° Три пары cопряженныхъ діаметровъ коническаго сѣченія составляютъ пучекъ въ инволюціи.

2° Когда три хорды коническаго сѣченія проходятъ черезъ одну точку, то прямыя, проведенныя изъ какой нибудь точки кривой къ концамъ этихъ хордъ, находятся въ инволюціи.

3° Когда три угла, описанные около коническаго сѣченія, имѣютъ вершины на одной прямой, то стороны ихъ пересѣкаются съ какою угодно касательною коническаю сѣченія въ шести точкахъ въ инволюціи.

4° Положимъ, что четыре хорды коническаго сѣченія проходятъ черезъ одну точку; если черезъ концы первыхъ двухъ хордъ проведемъ произвольное коническое сѣченіе и черезъ концы двухъ другихъ — другое произвольное коническое сѣченіе, то четыре точки пересѣченія этихъ новыхъ коническихъ сѣченій будутъ лежать попарно на двухъ прямыхъ, проходящихъ черезъ точку пересѣченія четырехъ хордъ, и эти двѣ прямыя вмѣстѣ съ четырьмя хордами составляютъ пучекъ въ инволюціи.^[5]

Если двѣ первыя хорды совпадаютъ и двѣ другія — также, то инволюціонное соотношеніе обращается въ гармоническое отношеніе и мы получаемъ такую теорему:

Когда два коническія сѣченія имѣютъ двойное прикосновеніе съ третьимъ, то они пересѣкаются между собою въ четырехъ точкахъ, расположенныхъ попарно на двухъ прямыхъ, проходящихъ черезъ точку встрѣчи двухъ хордъ прикосновенія; эти двѣ прямыя суть гармонически сопряженныя относительно двухъ хордъ прикосновенія.

5° Черезъ всякую точку, взятую въ плоскости коническаго сѣченія, можно провести двѣ такія взаимно перпендикулярныя прямыя, чтобы полюсъ одной, относительно этого коническаго сѣченія, находился на другой.

Шесть прямыхъ, проведенныхъ такимъ образомъ черезъ три точки, взятыя произвольно въ плоскости коническаго сѣченія, пересѣкаютъ каждую изъ двухъ главныхъ осей кривой въ шести точкахъ, находящихся въ инволюціи.

Центральная точка инволюціи есть центръ кривой, а двѣ двойныя точки — фокусы ея. Эти двѣ двойныя точки будутъ дѣйствительными на большой и мнимыми на малой оси.

Для точки, взятой на самомъ коническомъ сѣченіи, такими двумя перпедикулярными прямыми будутъ касательная и нормаль въ этой точкѣ.

Теорема представляетъ, какъ мы видимъ, общее свойство фокусовъ коническаго сѣченія и показываетъ, что существуетъ четыре фокуса, изъ которыхъ два мнимые, но они имѣютъ нѣкоторыя свойства, общія съ двумя дѣйствительными фокусами.

Для поверхностей втораго порядка мы найдемъ теорему, соотвѣтствующую этой; она будетъ служить намъ для характеристики нѣкоторыхъ кривыхъ линій, имѣющихъ для этихъ поверхностей такое же значеніе, какъ фокусы для коническихъ сѣченій. (См. Примѣчаніе XXXI).

Инволюціонное соотношеніе можетъ также встрѣчаться въ вопросахъ высшаго порядка, чѣмъ предыдущіе. Такъ напримѣръ:

6° Представимъ себѣ три какія нибудь кривыя поверхности, имѣющія общую точку прикосновенія и пересѣкающіяся попарно въ этой точкѣ; если проведемъ въ этой точкѣ касательныя къ двумъ вѣтвямъ каждой изъ трехъ кривыхъ пересѣченія, то эти шесть касательныхъ будутъ въ инволюціи.

7° Наконецъ: если черезъ образующую линейчатой поверхности проведемъ три какія нибудь плоскости, то каждая изъ нихъ будетъ касаться поверхности въ одной точкѣ и будетъ нормальна къ ней въ другой точкѣ: шесть подобныхъ точекъ будутъ въ инволюціи.

Каждая изъ предложенныхъ теоремъ ведетъ ко многимъ слѣдствіямъ, которыя будутъ показаны въ другомъ мѣстѣ.

54. Не можемъ окончить это Примѣчаніе, не указавъ еще на одно любопытное свойство круга, состоящее въ томъ, что шесть точекъ, взятыхъ на окружности, могутъ представлять соотношенія, подобныя инволюціи шести точекъ, расположенныхъ на прямой линіи. Это свойство выражается слѣдующей теоремой:

Когда три прямыя, исходящія изъ одной точки, встрѣчаются съ окружностью круга: — первая въ точкахъ $a,a'$, вторая въ $b,b'$, третья въ $c,c'$, — то мы имѣемъ соотношеніе:

${\frac {\sin {\frac {ca}{2}}.\sin {\frac {ca'}{2}}}{\sin {\frac {cb}{2}}.\sin {\frac {cb'}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {c'a}{2}}.\sin {\frac {c'a'}{2}}}{\sin {\frac {c'b}{2}}.\sin {\frac {c'b'}{2}}}}$.

Ясно, какъ составляются два другія подобныя соотношенія; такимъ образомъ получаются между шестью точками $a,a';b,b';c,c'$ три уравненія, подобныя уравненіямъ (A), относящимся къ инволюціи шести точекъ на прямой линіи.

Прибавимъ, что подобнымъ же образомъ найдутся для этихъ шести точекъ соотношенія, подобныя уравненіямъ (B), (C) и (D).

Примѣчанія.

1. Понселе для такого же изслѣдованія точекъ $E,\,F$ употребилъ другой способъ, воспользовавшись геометрическимъ построеніемъ, служащимъ для предѣленія этихъ точек (Traité des Propriétés projectives, p. 201).
2. См. Примѣчаніе XV.
3. Annales de Mathématiques, t. XVII, p. 180.
4. Это вторая изъ Some general theorems, etc. (См. четвертую эпоху n° 28).
5. Первую часть этой теоремы я доказалъ въ Correspondance polytechnique (T. III, p. 339).