Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/60

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта страница была вычитана


Прибавленіе

12 bis. Изъ теоремы n° 12 слѣдуетъ, что, если три пары точекъ и гарманически сопряжены относительно двухъ постоянныхъ точекъ , то шесть точекъ находятся въ инволюціи.

Дѣйствительно, пусть будетъ средина отрѣзка , тогда

, , .

Слѣдовательно шесть точекъ составляютъ инволюцію (n° 12).

13. Предыдущая теорема еще не обратила, кажется, достаточнаго вниманія тѣхъ, кто писалъ объ этомъ предметѣ; но по моему мнѣнію, она выражаетъ самое простое свойство инволюціи шести точекъ; въ большинствѣ геометрическихъ изысканій инволюція обнаруживается посредствомъ этого именно свойства.

Точку , разсматривашую относительно шести точекъ въ инволюціи, мы будемъ называть центральною точкою инволюціи.

14. Центральная точка естественнымъ образомъ ведетъ къ двойнымъ точкамъ, о которыхъ мы уже говорили, и показываетъ, что эти точки могутъ быть мнимыми.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть будутъ четыре первыя точки инволюціи. Ихъ достаточно для опредѣленія центральной точки . Если двѣ точки лежатъ по одну сторону точки , то также будутъ лежать точки и двѣ другія точки , дополняющія инволюцію. Поэтому можно предположить, что двѣ послѣднія точки сливаются въ одну, которую мы означимъ черезъ ; для опредѣленія этой точки получаемъ уравненіе

.

Точка можетъ быть взята и съ той и съ другой стороны относительно и слѣдовательно подобныхъ точекъ будетъ двѣ.

Итакъ, если даны четыре первыя точки и , то инволюція двоякимъ образомъ можетъ быть пополнена пятою точкою, которая разсматривается какъ двойная.

Но если предположимъ, что двѣ первыя точки лежатъ по разныя стороны точки , то будетъ то же самое для точекъ