Каждое из этихъ семи уравненій заключаетъ въ себѣ шесть другихъ и въ отдѣльности выражаетъ инволюцію пяти точекѵ и . Характеристическая особенность точки состоитъ въ томъ, что ея сопряженная точка находится въ безконечности.
Мы назовемъ эту точку центральною точкою двухъ паръ и .
Положеніе центральной точки опредѣлено каждымъ изъ семи предыдущихъ уравненій. Первое изъ нихъ показываетъ, что произведеніе разстояній этой точки отъ двухъ первыхъ сопряженныхъ точекъ равно произведенію разстояній ея отъ двухъ другихъ сопряженныхъ точекъ; изъ этого предложенія мы выведемъ сейчасъ замѣчательное свойство инволюціи шести точекъ.
12. Пусть и будутъ шесть точекъ и центральная точка по отношенію къ первымъ четыремъ, такъ что . Назовемъ на одно мгновеніе черезъ сопряженную ей точку, находящуюся въ безконечности. Шесть точекъ и составляютъ инволюцію. Поэтому изъ теоремы n°8 слѣдуетъ, что двѣ пары и образуютъ инволюцію съ каждою изъ двухъ другихъ паръ, напримѣръ съ . Слѣдовательно точка есть также центральная для двухъ паръ и . Такимъ образомъ получаемъ . Но мы уже имѣли и потому можемъ высказать такую теорему:
Когда три пары точекъ составляютъ инволюцію, то всегда существуетъ такая точка, для которой произведенія ея разстояніи отъ двухъ точекъ каждой пары одинаковы.
Обратно: Если на прямой линіи будемъ брать пары точекъ, для которыхъ произведеніе разстояній отъ какой-нибудь неподвижной точки этой прямой постоянно, то три пары такихъ точекъ будутъ въ инволюціи.
Если первыя точки будутъ при этомъ взяты по одну сторону точки , то также точно надобно брать и двѣ другія пары, чтобы произведенія ихъ разстояній имѣли одинаковый знакъ; тоже нужно замѣтить и въ такомъ случаѢ, когда двѣ первыя точки берутся съ противоположныхъ сторонъ точки .
