Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/58

Если предположимъ, что двѣ точки $C,\,C'$ сливаются въ одну, которую означимъ черезъ $E$, то уравненія (A) и (B) обратятся въ слѣдующія четыре:

${\frac {AB.AB'}{A'B.A'B'}}={\frac {AE^{2}}{A'E^{2}}}$,

${\frac {BA.BA'}{B'A.B'A'}}={\frac {BE^{2}}{B'E^{2}}}$,

${\frac {EA.EB}{EA'.EB'}}={\frac {AB}{A'B'}}$,

${\frac {EA'.EB'}{EA'.EB}}={\frac {AB'}{A'B}}$.

Каждое изъ этихъ четырехъ уравненій заключаетъ въ себѣ три остальныя.

Дезаргъ, который изслѣдовалъ этотъ случай, назвалъ его инволюціею пяти точекъ.

Мы будемъ называть точку $E$ — двойною точкою.

11. Предположимъ тепѣрь, что точка $C'$ удалена въ безконечность и сопряженную ей точку означимъ, вмѣсто $C$, черезъ $O$: уравненія (A) и (B) обратятся въ слѣдующія:

$OA.OA'=OB.OB'$

${\frac {BA.BA'}{B'A.B'A'}}={\frac {BO}{B'O}}$

${\frac {AB.AB'}{A'B.A'B'}}={\frac {AO}{A'O}}$

${\frac {AB'}{A'B}}={\frac {OB'}{OA'}}$

${\frac {AB'}{A'B}}={\frac {OA}{OB}}$

${\frac {AB}{A'B}}={\frac {OB}{OA'}}$

${\frac {AB}{AB'}}={\frac {OA}{OB'}}$