Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/72

1'.) ${\frac {AC.AC'}{AB'.AB}}+{\frac {B'C.B'C'}{B'A.B'A'}}=1$, 2'.) ${\frac {AB.AB'}{AC'.AC}}+{\frac {C'B.C'B'}{C'A.C'A'}}=1$, 3'.) ${\frac {A'C.A'C'}{A'B'.A'B}}+{\frac {B'C.B'C'}{B'A'.B'A}}=1$, 4'.) ${\frac {A'B.A'B'}{A'C'.A'C}}+{\frac {C'B.C'B'}{C'A'.C'A}}=1$.

(D'.)

Четыре послѣднія изъ этихъ уравненій, означенныя нумерами 1', 2', 3', 4', выводятся соотвѣтственно изъ четырехъ первыхъ, означенныхъ нумерами 1, 2, 3, 4, при помощи уравненій (А).

Ниже (n° 45) мы дадимъ доказательство этихъ восьми уравненій.

38. Вотъ формула другаго вида, выражающая инволюцію шести точекъ посредствомъ четырехчленнаго уравненія между шестью различными отрѣзками.

Означимъ чрезъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ средины отрѣзковъ $AA',\,BB',\,CC'$ и положимъ, что эти точки расположены въ порядкѣ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$; тогда существуетъ соотношеніе:

$\alpha A^{2}.\beta \gamma -\beta B^{2}.\alpha \gamma +\gamma C^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$.

(E.)

Это уравненіе единственно; т. е. не существуетъ другаго подобной же формы.

Доказательство его получится (n° 46) изъ другаго общаго соотношенія, которое мы сейчасъ покажемъ.

39. Когда двѣ точки $C,\,C'$ сливаются въ одну точку $E$, то предыдущее уравненіе обращается въ

$\alpha A^{2}.\beta \gamma -\beta B^{2}.\alpha E=\alpha \beta .\beta E.E\alpha$.

Если точки $B,\,B'$ также сливаются въ $F$, то выходитъ

$\alpha A^{2}=\alpha E.\alpha F$.