Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/73

Это одна изъ формулъ выражающихъ, что точки $A,\,A'$ гармоничѳски сопряжены относительно $E$ и $F$.

40. Гармоническое отношеніе четырехъ точекъ можно, какъ извѣстно, выразить посредствомъ пятой произвольной точки, къ которой отнесены четыре разсматриваемыя точки. Такимъ же образомъ можно выразить инволюцію шести точекъ при помощи вспомогательной точки, къ которой отнесены эти шесть точекъ; этотъ способъ ведетъ къ безконечному множеству уравненій, изъ которыхъ каждое достаточно для выраженія инволюціи.

Пусть $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ будутъ шесть точекъ въ инволюціи и $m$ седьмая точка, взятая произвольно на той же прямой линіи; пусть $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ будутъ средины отрѣзковъ $AA',\,BB',\,CC'$; положимъ что онѣ расположены въ томъ же порядкѣ, какъ мы ихъ написали; тогда будемъ имѣть соотношеніе:

$mA.mA'.\beta \gamma -mB.mB'.\alpha \gamma +mC.mC'.\alpha \beta =0$.

(F.)

Это уравненіе существуетъ, каково бы ни было положеніе точки $m$.

Предполагая, что эта точка послѣдовательно сливается съ точками въ инволюціи, или съ точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$, или съ какими нибудь другими опредѣленными точками, мы будемъ получать другія соотношенія, которыя всѣ будутъ выражать инволюцію шести точекъ.

41. Доказательство уравненія (F) не трудно. Мы покажемъ, что если это уравненіе имѣетъ мѣсто при одномъ положеніи точки $m$, то оно будетъ справедливо и при всякомъ другомъ положеніи этой точки; т.-е. что, назвавъ черезъ $M$ это новое положеніе точки $m$, мы будемъ имѣть необходимо:

$MA.MA'.\beta \gamma -MB.MB'.\alpha \gamma +MC.MC'.\alpha \beta =0$,

(F'.)

потомъ мы покажемъ, что уравненіе (F) дѣйствительно имѣетъ мѣсто при извѣстномъ положеніи точки $m$.