Материал из Викитеки — свободной библиотеки
У этой страницы нет
проверенных версий , вероятно, её качество
не оценивалось на соответствие стандартам.
Чтобы вывести уравненіе (F' ) изъ (F ), напишемъ
m
A
=
M
A
−
M
m
{\displaystyle mA=MA-Mm}
m
A
′
=
M
A
′
−
M
m
{\displaystyle mA'=MA'-Mm}
m
A
.
m
A
′
=
M
A
.
M
A
′
+
(
M
A
+
M
A
′
)
M
m
+
M
m
2
{\displaystyle mA.mA'=MA.MA'+(MA+MA')Mm+Mm^{2}}
или
m
A
.
m
A
′
=
M
A
.
M
A
′
−
2
M
α
.
M
m
−
M
m
2
{\displaystyle mA.mA'=MA.MA'-2M\alpha .Mm-Mm^{2}}
m
B
.
m
B
′
=
M
B
.
M
B
′
=
2
M
β
.
M
m
+
M
m
2
{\displaystyle mB.mB'=MB.MB'=2M\beta .Mm+Mm^{2}}
и
m
C
.
m
C
′
=
M
C
.
M
C
′
−
2
M
γ
.
M
m
+
M
m
2
{\displaystyle mC.mC'=MC.MC'-2M\gamma .Mm+Mm^{2}}
Уравненіе (F ) обратится въ
M
A
.
M
A
′
.
β
γ
−
M
B
.
M
B
′
.
α
γ
+
M
C
.
M
C
′
.
α
β
−
2
M
m
.
(
β
γ
.
M
α
−
α
γ
.
M
β
+
α
β
.
M
γ
)
+
(
β
γ
−
α
γ
+
α
β
)
M
m
2
=
0
{\displaystyle MA.MA'.\beta \gamma -MB.MB'.\alpha \gamma +MC.MC'.\alpha \beta -2Mm.(\beta \gamma .M\alpha -\alpha \gamma .M\beta +\alpha \beta .M\gamma )+(\beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta )Mm^{2}=0}
Но между четырьмя точками
α
,
β
,
γ
,
M
{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,M}
β
γ
.
M
α
−
α
γ
.
M
β
+
α
β
.
M
γ
=
0
{\displaystyle \beta \gamma .M\alpha -\alpha \gamma .M\beta +\alpha \beta .M\gamma =0}
какъ мы доказали это въ Примѣчаніи IX (стр. 48 ); точно также между точками
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }
β
γ
−
α
γ
+
α
β
=
0
{\displaystyle \beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta =0}
слѣдовательно наше уравненіе дѣйствительно приводится къ уравненію (F ).
Остается показать, что уравненіе (F ) существуетъ для какого нибудь частнаго положенія точки
m
{\displaystyle m}
центральной точкѣ инволюліи шести точекъ; въ такомъ случаѣ
m
A
.
m
A
′
=
m
B
.
m
B
′
=
m
C
.
m
C
′
{\displaystyle mA.mA'=mB.mB'=mC.mC'}
и уравненіе наше приводится къ тождеству
β
γ
−
α
γ
+
α
β
=
0
{\displaystyle \beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta =0}
Такимъ образомъ формула (F' ) и подобная ей формула (F ) — доказаны.
