Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/75

Эта страница была вычитана

42. Въ уравненіи (F) можно замѣнить отрѣзки $\alpha \beta ,\,\alpha \gamma ,\,\beta \gamma$ отрѣзками между точками $A,\,A',\,B,\,B',\,C,\,C'$ , потому что

\beta \gamma ={\frac {BC+B'C'}{2}}

;

\alpha \gamma ={\frac {AC+A'C'}{2}}

;

\alpha \beta ={\frac {AB+A'B'}{2}}

;

43. Положимъ, что въ инволюціи двѣ точки $C,\,C'$ сливаются въ одну $E$ и двѣ другія $B,\,B'$ также сливаются въ $F$ ; уравненіе обращается тогда въ

mA.mA'.EF-mF^{2}.\alpha E+mE^{2}.\alpha F=0

.

(G.)

Это уравненіе выражаетъ соотношеніе между четырьмя точками $A,\,A',\,E,\,F$ , изъ которыхъ двѣ первыя гармонически сопряжены относительно двухъ послѣднихъ, и между пятою произвольною точкою $m$ .

Давая этой пятой точкѣ различныя положенія, мы получимъ различныя выраженія гармоническаго отношенія четырехъ точекъ.

44. Намъ кажется, что изъ всѣхъ извѣстныхъ до сихъ поръ выраженій инволюціи шести точекъ уравненіе (F) есть самое полное и самое богатое слѣдствіями: изъ него выводятся всѣ разнообразныя уравненія, показанныя нами выше, и многія другія, приводящія къ простымъ выраженіямъ различныхъ соотношеній между произведеніями отрѣзковъ, разсматриваемыми въ этой теоріи.

Такъ напримѣръ, предполагая, что точка $m$ совпадаетъ съ $A$ получаемъ очень простое выраженіе для отношенія между $AC.AC'$ и $AB.AB'$ , именно:

{\frac {AC.AC'}{AB.AB'}}={\frac {\alpha \gamma }{\alpha \beta }}={\frac {AC+A'C'}{AB+A'B'}}

.

Для отношенія

{\frac {A'C.A'C'}{A'B.A'B'}}

получимъ тоже выраженіе; отсюда проистекаютъ уравненія (A).