Материал из Викитеки — свободной библиотеки
45. Полагая, что точка
m
{\displaystyle m}
помѣщена въ
B
{\displaystyle B}
найдемъ:
B
C
.
B
C
′
B
A
.
B
A
.
=
−
β
γ
β
α
=
−
B
C
+
B
′
C
′
B
A
+
B
′
A
′
{\displaystyle {\frac {BC.BC'}{BA.BA.}}=-{\frac {\beta \gamma }{\beta \alpha }}=-{\frac {BC+B'C'}{BA+B'A'}}}
.
Складывая почленно это уравненіе съ предыдущимъ и замѣчая, что
α
γ
−
β
γ
=
α
β
{\displaystyle \alpha \gamma -\beta \gamma =\alpha \beta }
, получимъ первое изъ восьми уравненій (D ).
46. Уравненіе (E ) также легко выводится изъ уравненія (F ).
Въ самомъ дѣлѣ, между тремя точками
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }
и какою нибудь четвертою точкою
m
{\displaystyle m}
существуетъ слѣдующее соотношеніе, данное Стевартомъ:
m
α
2
.
β
γ
−
m
β
2
.
α
γ
+
m
γ
2
.
α
β
=
α
β
.
β
γ
.
γ
α
{\displaystyle m\alpha ^{2}.\beta \gamma -m\beta ^{2}.\alpha \gamma +m\gamma ^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha }
.[1]
Вычитая отсюда уравненіе (F ), получимъ:
(
m
α
2
−
m
A
.
m
A
′
)
β
γ
−
(
m
β
2
−
m
B
.
m
B
′
)
α
γ
+
(
m
γ
2
−
m
C
.
m
C
′
)
α
β
=
α
β
.
β
γ
.
γ
α
{\displaystyle (m\alpha ^{2}-mA.mA')\beta \gamma -(m\beta ^{2}-mB.mB')\alpha \gamma +(m\gamma ^{2}-mC.mC')\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha }
.
Но
m
α
2
−
α
A
2
=
(
m
α
+
α
A
)
(
m
α
−
α
A
)
=
m
A
.
m
A
′
{\displaystyle m\alpha ^{2}-\alpha A^{2}=(m\alpha +\alpha A)(m\alpha -\alpha A)=mA.mA'}
;
откуда
m
α
2
−
m
A
.
m
A
′
=
α
A
2
{\displaystyle m\alpha ^{2}-mA.mA'=\alpha A^{2}}
.
Точно также
m
β
2
−
m
B
.
m
B
′
=
β
B
2
{\displaystyle m\beta ^{2}-mB.mB'=\beta B^{2}}
и
m
γ
2
−
m
C
.
m
C
′
=
γ
C
2
{\displaystyle m\gamma ^{2}-mC.mC'=\gamma C^{2}}
.
Поэтому предыдущее уравненіе обращается въ
α
A
2
.
β
γ
−
β
B
2
.
α
γ
+
γ
C
2
.
α
β
=
α
β
.
β
γ
.
γ
α
{\displaystyle \alpha A^{2}.\beta \gamma -\beta B^{2}.\alpha \gamma +\gamma C^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha }
,
что и требовалось доказать.
47. Изъ уравненія (F ) выводится также свойство центральной точки, которое было извѣстно Паппу (n° 18 ). Для этого положимъ, что точка
C
′
{\displaystyle C'}
удалена въ безконечность, вслѣдствіе чего точка
C
{\displaystyle C}
обращается въ центральную точку
O
{\displaystyle O}
, и напишемъ уравненіе (F ) въ такомъ видѣ:
↑ Это вторая изъ Some general theorems , etc. (См. четвертую эпоху n° 28).