Изъ двухъ противоположныхъ вершинъ четыреугольника проведемъ прямыя къ двумъ точкамъ, въ которыхъ сѣкущая встрѣчается съ коническимъ сѣченіемъ; каждая изъ этихъ вершинъ будетъ точкою, изъ которой выходятъ четыре прямыя. Легко видѣть, что инволюціонное соотношеніе Дезарга [см. Прим. X, § 23] выражаетъ собою равенство между ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ точекъ пересѣченія сѣкущей съ четырьмя прямыми, выходящими изъ одной вершины четыреугольника, и ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ точекъ пересѣченія той же сѣкущей съ четырьмя прямыми, выходящими изъ противоположной вершины четыреугольника; отсюда мы заключаемъ, что ангармоническое отношеніе первыхъ четырехъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ.
2. Итакъ мы имѣемъ слѣдующую общую теорему, взаимную тому заключенію, которое мы вывели изъ теоремы Дезарга:
Когда два пучка изъ четырехъ прямыхъ соотвѣтствуютъ другъ другу такъ, что ангармоническое отношеніе четырехъ первыхъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ, то прямыя одного пучка встрѣчаются съ соотвѣтственными прямыми другаго въ четырехъ точкахъ, лежащихъ на коническомъ сѣченіи, проходящемъ еще черезъ двѣ точки, именно черезъ центры обоихъ пучковъ.
Эта теорема, какъ видно изъ предложеннаго нами здѣсь доказательства ея, въ сущности есть только другое выраженіе теоремы Дезарга; но ея слѣдствія, чрезвычайно многочисленныя, обнимаютъ часть такихъ свойствъ коническихъ сѣченій, на которыя, кажется, не распространяются теоремы Дезарга и Паскаля. Дѣйствительно, кромѣ преимущества своей особой формы, эта теорема имѣетъ нѣчто болѣе общее, чѣмъ тѣ двѣ теоремы, которыя поэтому получаются изъ нея уже не какъ видоизмѣненія ея, но какъ ея слѣдствія. Мы сейчасъ подтвердимъ это, указывая на приложенія, къ которымъ способна эта теорема.
Из двух противоположных вершин четырехугольника проведем прямые к двум точкам, в которых секущая встречается с коническим сечением; каждая из этих вершин будет точкою, из которой выходят четыре прямые. Легко видеть, что инволюционное соотношение Дезарга [см. Прим. X, § 23] выражает собою равенство между ангармоническим отношением четырех точек пересечения секущей с четырьмя прямыми, выходящими из одной вершины четырехугольника, и ангармоническим отношением четырех точек пересечения той же секущей с четырьмя прямыми, выходящими из противоположной вершины четырехугольника; отсюда мы заключаем, что ангармоническое отношение первых четырех прямых равно ангармоническому отношению четырех других.
2. Итак мы имеем следующую общую теорему, взаимную тому заключению, которое мы вывели из теоремы Дезарга:
Когда два пучка из четырех прямых соответствуют друг другу так, что ангармоническое отношение четырех первых прямых равно ангармоническому отношению четырех других, то прямые одного пучка встречаются с соответственными прямыми другого в четырех точках, лежащих на коническом сечении, проходящем еще через две точки, именно через центры обоих пучков.
Эта теорема, как видно из предложенного нами здесь доказательства её, в сущности есть только другое выражение теоремы Дезарга; но её следствия, чрезвычайно многочисленные, обнимают часть таких свойств конических сечений, на которые, кажется, не распространяются теоремы Дезарга и Паскаля. Действительно, кроме преимущества своей особой формы, эта теорема имеет нечто более общее, чем те две теоремы, которые поэтому получаются из неё уже не как видоизменения её, но как её следствия. Мы сейчас подтвердим это, указывая на приложения, к которым способна эта теорема.
