Паскаля входитъ какое бы то ни было коническое сѣченіе[1]. Приведенная выше 130-я теорема допускаетъ подобное же обобщеніе, на которое мы укажемъ, когда будемъ говорить о Дезаргѣ.
Въ предисловіи Паппъ приводитъ, какъ обобщеніе одной поризмы Евклида, прекрасную теорему о видоизмѣненіи многоугольника, стороны котораго проходятъ черезъ точки, лежащія на одной прямой, когда вершины его, за исключеніемъ одной, перемѣщаются по произвольнымъ прямымъ. Эта теорема получила въ послѣднемъ столѣтіи нѣкоторую извѣстность, благодаря новому обобщенію, данному ей Маклореномъ и Брайкенриджемъ (Braikenridge), и благодаря соперничеству, которое она возбудила между этими замѣчательными геометрами. Понселе вновь изслѣдовалъ этотъ предметъ съ полнотою и ясностію, составляющпми принадлежность его ученаго труда: Traité des propriétés projectives de figures (отд. 4, гл. II и III).
32. Мы должны упомянуть еще объ одномъ изслѣдованіи, которое, подобно предыдущимъ, относится къ теоріи трансверсалей; это знаменитая задача ad tres aut plures lineas, о которой Паппъ говоритъ, какъ о камнѣ преткновенія для древнихъ, и которая обязана новою извѣстностію Декарту, сдѣлавшему изъ нея первое приложеніе своей геометріи. Задача эта состоитъ въ томъ, чтобыпо нѣсколькимъ даннымь прямымъ найти геометрическое мѣсто точекъ, имѣющихъ то свойство, что если изъ нихъ на данныя прямыя проведемъ перпендикцляры, или вообще линіи подъ данными уілами, то произведеніе нѣкоторыхъ изъ этихъ линій находится въ постоянномъ отношеніи къ произведенію остальныхъ. [2]
Эта задача, получившая со времени Декарта названіе задача Паппа, уже испытала на себѣ глубину соображенія Евклида и Аполлонія. Они рѣшили ее только для трехъ и четырехъ прямыхъ и нашли, что въ этомъ случаѣ искомое геометрическое мѣсто есть коническое сѣченіе; отсюда проистекаетъ слѣдующее общее свойство этихъ кривыхъ: если въ коническое сѣченіе вписанъ какой-нибудь четыреугольникъ, то произведеніе разстояній каждой точки кривой отъ двухъ противоположныхъ сторонъ находится въ постоянномъ отношеніи къ произведенію разстояній той же точки отъ двухъ другихъ сторонъ.
Ньютонъ далъ чисто геометрическое доказательство этой прекрасной теоремы и съ выгодою употреблялъ ее въ Principia mathematica philosophiae naturalis. Сочиненія о коническихъ сѣченіяхъ, появившіяся вскорѣ послѣ этого знаменитаго сочиненія Ньютона, заимствовали изъ него эту теорему, но не извлекли изъ нея всѣхъ приложеній, къ которымъ она способна; позднѣе она какъ бы совершенно исчезла изъ теоріи коническихъ сѣченій[3]. А между тѣмъ, по нашему мнѣнію, она представляетъ самое общее и плодовитое свойство этихъ кривыхъ. Достаточно сказать, что изъ нея, какъ прямыя слѣдствія, проистекаютъ слѣдующія теоремы: извѣстный мистическій шестиугольникъ Паскаля, теорема Дезарга объ
- ↑ 139-я теорема Паппа, выражающая въ вышеприведенной формѣ свойство шестиугольника, вписаннаго между двумя прямыми, можетъ быть разсматриваема съ иной точки зрѣнія, и тогда изъ нея проистекаетъ другое замѣчательное предложеніе, выведенное въ первый разъ Симсономъ, какъ одна изъ поризмъ Евклида; къ этому предложенію относятся слова Паппа: Quod haec ad datum punctum vergit. Оно заключается въ слѣдующемъ. «Если возьмемъ на плоскости двѣ неподвижныя точки и уголъ, вершина котораго лежитъ на линіи, соединяющей эти точки, потомъ будемъ изъ каждой точки нѣкоторой данной прямой проводить линіи къ двумъ неподвижнымъ точкамъ, то каждая пара этихъ линій будетъ пересѣкаться съ сторонами даннаго угла соотвѣтственно въ двухъ точкахъ, причемъ прямыя, соединяющія эти точки, пройдутъ черезъ одну и ту же точку.» (Simson, de Porismatibus, предл. 34). Мы упоминаемъ объ этой теоремѣ, потомучто она будетъ нужна намъ впослѣдствіи. Подобная теорема въ пространствѣ, до сихъ поръ еще никѣмъ не указанная, выводится, какъ естественное слѣдствіе нашего принципа преобразованія фигуръ.
- ↑ [Конец преамбулы к VII книги Математического собрания, см. Pappi Altxandrini Collectionis. Ed. Fr. Hultsch. Vol. 2. Berolini, 1878. Pag. 677.
Шаль не входит здесь в подробности, поскольку эта задача подробно рассмотрена в первой книге Геометрии Декарта, где приведена оригинальная формулировка Паппа:
«Вот каково то место к трем или четырем линиям, по поводу которого Аполлоний расточает себе великие похвалы, не обнаруживая никакой благодарности к своему предшественнику. Если даны по положению три прямые и из одной и той же точки проведены под данными углами к этим трем прямым другие три прямые и если дано отношение прямоугольника, построенного на двух из проведенных прямых к квадрату третьей, то точка будет находиться на данном по положению телесном месте, т. е. на одном из трех конических сечений. Далее, если провести к четырем данным по положению прямым под данными углами четыре других прямых и если дано отношение прямоугольника на двух проведенных прямых к прямоугольнику на двух других, то точка также будет находиться на данном по положению коническом сечении. С другой стороны, если прямых будет только две, то установлено, что место будет плоским. В случае, же когда прямых больше четырех, то точка будет находиться на месте, принадлежащем к числу до сих пор неизвестных, которые называют просто линиями и о природе или свойствах которых ничего неизвестно. Одну из этих линий, не первую, но которая представлялась наиболее очевидной, они построили и показали, что она приносит пользу. Вот предложения, относящиеся к этим местам:
Если к пяти данным по положению прямым из какой-нибудь точки провести под данными углами другие прямые и если дано отношение прямоугольного параллелепипеда, построенного на трех проведенных прямых, к прямоугольному параллелепипеду, построенному на двух других и какой-либо данной, то точка будет находиться на данной по положению линии. Если данных прямых будет шесть и если будет дано отношение тела, построенного на трех проведенных прямых, к телу, построенному на трех других, то точка также будет находиться на данной по положению линии. Если же прямых больше шести, то уже нельзя говорить о данном отношении какого-нибудь предмета, построенного на четырех прямых, к предмету, построенному на других, потому что не существует ничего, что заключало бы больше чем три измерения».
См.: Декарт. Геометрия. Перев. А.П. Юшкевича. М.-Л., ГОНТИ, 1938, стр. 18 и сл.] - ↑ Безполезность, въ которой цѣлые вѣка оставалась эта основная теорема, тогда какъ изъ нея могутъ быть выведены почти всѣ свойства коническихъ сѣченій, и незначительная важность, которая до самаго послѣдняго времени приписывалась прекраснымъ теоремамъ Дезарга и Паскаля, представляющимъ естественное слѣдствіе предыдущей, приводятъ намъ на память справедливое замѣчаеіе Бальи: «кажется, что идеи, также какъ и мы сами, имѣютъ время дѣтства и первоначальной слабости; онѣ не могутъ выказаться вполеѣ при самомъ появленіи, но только возрасту и времени обязаны бываютъ своею плодотворною силой.» (Bailly: Histoire de l'astronomie moderne, t. II, p. 60).
