инволюціи шести точекъ; постоянное отношеніе между произведеніемъ ординатъ и произведеніемъ отрѣзковъ главной оси; прекрасная теорема Ньютона объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій; наконецъ еще одна теорема, основывающаяся на понятіи объ ангармоническомъ отношеніи, изъ которой проистекаетъ множество свойствъ коническихъ сѣченій. Кстати прибавимъ здѣсь, что эта послѣдняя теорема обладаетъ сама по себѣ такою общностію и такъ просто доказывается a priori, что мы предполагаемъ принять ее за основное предложеніе теоріи коническихъ сѣченій (см. Примѣчаніе XV).
33. Считаемъ умѣстнымъ сдѣлать здѣсь еще одно необходимое замѣчаніе; оно можетъ служить оправданіемъ важности, которую мы старались придать 129-й теоремѣ Паппа и понятію объ ангармоническомъ отношеніи. Всѣ теоремы, указанныя нами въ 7-й книгѣ Математическаго Собранія, между прочимъ теорема о видоизмѣненіи многоугольника, теорема ad quatuor lineas и многія теоремы объ инволюціи шести точекъ, о которыхъ мы тотчасъ будемъ говорить; всѣ эти теоремы, отличающіяся большою общностію и важнымъ значеніемъ для новѣйшей геометріи, могутъ быть выведены изъ одного источника: — изъ одного свойства ангармоническаго отношенія четырехъ точекъ. Такой способъ ихъ полученія есть вмѣстѣ съ тѣмъ самый простой, потомучто при этомъ не требуется, можно сказать, никакого доказательства.
Прибавимъ къ этому еще слѣдующее. Узнавъ, что большая часть леммъ Паппа, относящихся по всей вѣроятности къ первой книгѣ поризмъ Евклида, можетъ быть выведена изъ одной теоремы, о которой здѣсь идетъ рѣчь, мы думаемъ, что эта же теорема будетъ служить ключемъ ко всей первой книгѣ поризмъ и что она приведетъ къ разъясненію предложеній, оставленныхъ намъ Паппомъ; потомучто во всякой теоріи существуетъ основная истина, изъ которой проистекаютъ всѣ остальныя. И въ самомъ дѣлѣ, принявъ эту теорему за точку отправленія при разъясненіи поризмъ, мы получили нѣсколько теоремъ, которыя, какъ намъ кажется, соотвѣтствуютъ этого рода предложеніямъ.
34. Упомянемъ еще изъ 7-й книги Математическаго Собранія о 40 леммахъ, относящихся къ сочиненію Аполлонія de determinata sectione
