Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Декарт/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Третья эпоха: Декартъ. — Де-Бонъ. — Шутенъ. — Cлюзъ и Гуддъ. — Де-Виттъ. — Валлисъ. — Фанъ Геретъ и Нейль.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Декарт/ДО въ новой орѳографіи


Третья эпоха: Декартъ. — Де-Бонъ. — Шутенъ. — Cлюзъ и Гуддъ. — Де-Виттъ. — Валлисъ. — Фанъ Геретъ и Нейль.


[103]1. Декартъ (1596—1650). Важнѣйшая услуга была оказана геометріи Декартомъ. Этотъ философъ, благодаря неоцѣненной мысли своей о приложеніи алгебры к теоріи кривыхъ линій, создалъ орудіе для преодолѣнія препятствій, останавливавшихъ до тѣхъ поръ величайшихъ геометровъ, и существенно измѣнилъ видъ математическихъ наукъ[1].

Это ученіе Декарта, ни малѣйшаго зачатка котораго мы не находимъ въ сочиненіяхъ древнихъ геометровъ и о которомъ одномъ только, можетъ-быть, можно сказать то, что сказалъ Монтескье о своемъ Esprit de lois: «proles sine matre creata», — это ученіе, говорю я, придало геометріи характеръ отвлеченности и всеобщности, существенно отличившій ее отъ геометріи древнихъ. Способы, созданные Каваллери, Ферматомъ, Робервалемъ, Григоріемъ С. Винцентомъ, носили также отпечатокъ этой общности въ ихъ метафизическихъ принципахъ; но они не имѣли ея въ приложеніяхъ. Только идея Декарта доставила средство прилагать эти способы однообразнымъ и общимъ образомъ; она была необходимымъ введеніемъ къ новымъ исчисленіямъ Лейбница и Ньютона, которыя не замедлили возродиться изъ этихъ превосходныхъ способовъ.

[104]

Геометрія Декарта, кромѣ этого характера всеобъемлемости, представляетъ въ сравненіи съ геометріею древнихъ еще другое особое отличіе, на которое слѣдуетъ обратить, вниманіе: она, посредствомъ одной формулы, указываетъ общія свойства цѣлыхъ группъ кривыхъ линій, такъ что, когда этимъ путемъ открывается какое-нибудь свойство одной кривой, тотчасъ же узнаются такія же или подобныя свойства во множествѣ другихъ линій. До этихъ же поръ изучались только отдѣльныя свойства нѣкоторыхъ кривыхъ, разсматриваемыхъ порознь, и всегда посредствомъ такихъ пріемовъ, которые не устанавливали никакой связи между различными кривыми.

Съ этихъ поръ началось быстрое развитіе геометріи, и успѣхи ея распространілись на всѣ другія науки, находящіяся съ нею въ прикосновеніи. Сама алгебра получила въ ней полезное пособіе, ея символическія дѣйствія стали болѣе наглядны, значеніе ея расширилось и обѣ эти главныя отрасли нашихъ положительныхъ знаній пошли съ этихъ поръ одинаково вѣрными шагами.

Достаточно указать на одно изъ первыхъ и самихъ важныхъ преимуществъ, доставленныхъ геометріею алгебрѣ, именно на истолкованіе и употребленіе отрицательныхъ рѣшеній, которыя до тѣхъ поръ считались не имѣющими никакого значенія и такъ сильно затрудняли древнихъ аналистовъ.

Способъ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ, который Декартъ изобрѣлъ въ своей геометріи и которымъ онъ съ такимъ успѣхомъ пользовался, есть также одно язъ самыхъ глубокомысленныхъ и самыхъ полезныхъ открытій въ анализѣ.

Прибавленіе. Въ письмахъ Декарта встрѣчается много мѣстъ, относящихся къ геометріи. Его книга Opuscula posthuma (Amst. 1701, in 4) также заключаетъ въ себѣ нѣсколько отрывковъ по геометріи. Жаль, что никто еще не подумалъ собрать всѣ эти разсѣянные отрывки и присоединить ихъ къ одному изъ многочисленныхъ изданій геометріи Декарта.

Мы ограничимся указаніемъ въ письмахъ знаменитаго философа на одинъ особый методъ, изобрѣтенный имъ для рѣшенія задачи,

[105]занимавшей неоднократно какъ его самого, такъ и его современниковъ Фермата, Роберваля и Паскаля, именно задачи о касательной къ циклоидѣ. Методъ Декарта, въ то время пользовавшійся большою извѣстностію, чрезвычайно простъ и можетъ примѣняться, какъ замѣтилъ это и Декартъ, къ укороченнымъ и растянутымъ ціклоидамъ и даже вообще ко всѣмъ кривымъ, образуемымъ точкою плоской кривой, катящейся по другой, неподвижной кривой. Способъ состоитъ въ томъ, что обѣ кривыя разсматриваются какъ многоугольники съ безконечнымъ числомъ сторонъ. Многоугольники эти прикасаются другъ къ другу по общей сторонѣ и потому въ каждый моментъ имѣютъ двѣ общія вершины; во время безконечно-малаго перемѣщенія первый многоугольникъ вращается около одной изъ вершинъ, остающейся неподвижною, и точка многоугольника, образующая кривую, описываетъ слѣдовательно дугу круга, центръ котораго находится въ неподвижной вершинѣ; нормаль къ этой дугѣ, представляющей элементъ описываемой кривой, проходитъ такимъ образомъ черезъ упомянутую вершину.

Этотъ способъ, существенно отличающійся отъ всѣхъ другихъ способовъ проведенія касательныхъ, примѣняется съ тѣхъ поръ постоянно, благодаря его необыкновенной простотѣ. Но безъ сомнѣнія вслѣдствіе именно этой простоты онъ не обратилъ на себя должнаго вниманія геометровъ; его употребляли только въ этой самой задачѣ и довольствовались распространеніемъ его еще на сферическія эпициклоиды. Изслѣдовавъ, въ чемъ заключаются отличительныя особенности и различія этого способа отъ другихъ рѣшеній задачи о касательныхъ, мы старались узнать, не способенъ ли принципъ, лежащій въ его основаніи, къ такому обобщенію, которое дѣлало бы его примѣнимымъ ко всякой другой задачѣ.

Слѣдующая теорема представляетъ, какъ намъ кажется, обобщеніе этого способа Декарта.

Когда плоская фигура получаетъ безконечно малое перемѣщеніе въ своей плоскости, то всегда существуетъ точка, остающаяся во время этого движенія неподвижной.

Нормали, проводимыя въ различныхъ точкахъ фигуры къ траэкторіямъ, описываемымъ этими точками во время безконечно малаго движенія, проходятъ всѣ черезъ упомянутую неподвижную точку.

На основаніи этой теоремы для построенія нормали къ кривой, описываемой точкою движущейся плоской фигуры, достаточно [106]опредѣлить точку, которая остается неподвижной въ тотъ моментъ, когда образующая точка приходитъ въ разсматриваемую точку кривой. Положеніе неподвижной точки опредѣляется при помощи условій движенія фигуры.

Если, напримѣръ, извѣстно движеніе двухъ точекъ фигуры, то искомая неподвижная точка опредѣлится пересѣченіемъ нормалей къ описываемымъ кривымъ.

Пусть прямая данной длины движется такъ, что концы ея остаются на двухъ неподвижныхъ прямыхъ; извѣстно, что при этомъ каждая точка какъ на самой прямой, такъ и внѣ ея, но неизмѣняемо съ нею соединенная, будетъ описывать эллипсъ. Чтобы опредѣлить нормаль къ этой кривой, проведемъ черезъ концы движущейся прямой перпендикуляры къ неподвижнымъ прямымъ: искомая нормаль пройдетъ черезъ точку пересѣченія этихъ перпендикуляровъ.

Движеніе фигуры можетъ быть опредѣлено различными другими условіями, съ помощію которыхъ также легко удается найти эту неподвижную точку.

Положимъ, напримѣръ, что описывается конхоида Никомеда точкою прямой линіи, проходящей чрезъ неподвижную точку и скользящею однимъ концомъ по неподвижной прямой. Разсмотримъ движущуюся прямую въ какомъ-нибудь положеніи; возставимъ къ ней перпендикуляръ въ неподвижной точкѣ и другой перпендикуляръ къ неподвижной линіи въ той точкѣ, гдѣ лежитъ конецъ движущейся прямой. Пересѣченіемъ этихъ двухъ перпендикуляровъ опредѣлится искомая точка, черезъ которую проходитъ нормаль конхоиды.

Мы не будемъ здѣсь останавливаться на другихъ разнообразныхъ условіяхъ перемѣщенія плоской фигуры и не будетъ изыскивать тѣ кривыя, къ которымъ помощію этого пріема легко проводятся касательныя.

Предыдущаго достаточно для указанія, что изложенная нами теорема представляетъ обобщеніе идеи, высказанной Декартомъ по поводу касательной къ циклоидѣ, и что теорема эта ведетъ къ особому способу касательныхъ, отличающемуся отъ всѣхъ другихъ и даже отъ способа Роберваля, хотя онъ также основанъ на мысли о движеніи. Замѣтимъ впрочемъ, что примѣненіе этого легкаго способа, также какъ и способа Роберваля, ограниченно, потому что въ немъ предполагаются извѣстными геометрическія условія перемѣщенія фигуры, точка которой описываетъ данную кривую. Способъ этотъ примѣнимъ однако какъ къ большому числу особыхъ кривыхъ, такъ и къ цѣлымъ семействамъ. [107]

Приложенія нашей теоремы не ограничиваются геометріей, но могутъ быть также полезны и въ механикѣ при вычисленіи живыхъ силъ. Дѣйствительно, изъ теоремы слѣдуетъ, что живыя силы различныхъ точекъ подвижной фигуры пропорціональны квадратамъ ихъ разстояній отъ той точки, которая въ данный моментъ остается неподвижною; слѣдовательно, если положеніе этой точки извѣстно, то достаточно знать живую силу еще одной какой-нибудь точки фигуры. Понселе заявилъ мнѣ, что имъ сдѣлано подобное приложеніе этой теоремы ко многимъ вопросамъ о машинахъ — вопросамъ, въ которыхъ до сихъ поръ не существовало никакого геометрическаго способа для вычисленія живыхъ силъ.

Нѣсколько лѣтъ тому назадъ (См. Bulletin universel des sciences, t. 14) мы представили эту теорему какъ частный случай теоремы о какомъ-либо конечномъ перемѣщеніи фигуры въ плоскости и даже какъ частный случай болѣе общей теоремы о двухъ подобныхъ фигурахъ, расположенныхъ какъ угодно на плоскосіи. Обѣ эти теоремы зависятъ въ свою очередь отъ слѣдующаго еще болѣе общаго принципа.

Разсмотримъ на плоскости двѣ фигуры, которыя первоначально были перспективами одна другой и потомъ помѣщены на плоскости какимъ бы то ни было образомъ; каждая точка одной фигуры будетъ при этомъ имѣть себѣ соотвѣтственную на другой; существуетъ вообще три точки одной фигуры, которыя совпадаютъ съ своими соотвѣтственными точками на другой фигурѣ; одна изъ этихъ точекъ всегда дѣйствительная, двѣ же другія могутъ быть мнимыми.

Отсюда слѣдуетъ, что на одной фигурѣ существуютъ также три прямыя, совпадающія съ соотвѣтственными прямыми второй фигуры: это именно прямыя, соединяющія три сказанныя точки.

Одна изъ такихъ прямыхъ всегда дѣйствительная; двѣ другія могутъ быть мнимыми.

Когда двѣ фигуры подобны, что представляетъ частный случай перспективы, то двѣ изъ трехъ точекъ и двѣ изъ трехъ прямыхъ будутъ всегда мнимыя; третья точка дѣйствительная; третья прямая также дѣйствительная, но лежитъ въ безконечности.

Тоже будетъ и въ томъ случаѣ, когда двѣ фигуры равны между собою.

Этимъ свойствамъ плоскихъ фигуръ существуютъ соотвѣтствующія въ фигурахъ трехъ измѣреній и я вывелъ уже нѣсколько теоремъ, относящихся къ этой теоріи (См. Bulletin universel des sciences, t. 14, p. 321, 1830). [108]

2. Духъ и пріемы геометріи Декарта слишкомъ коротко извѣстны всѣмъ, знакомымъ даже только съ первыми основными началами математики, такъ что намъ нѣтъ надобности входить въ подробности по этому предмету. Мы прямо перейдемъ къ обзору сочиненій важнѣйшихъ писателей, жившихъ во время Декарта и развивавшихъ его геометрію, расширяя при ея помощи кругъ математическихъ истинъ преимущественно въ области теоріи кривихъ линій.

Ферматъ. Прежде всѣхъ должно упомянуть о Ферматѣ и Робервалѣ. Еще до появленія геометріи Декарта Ферматъ самъ употреблялъ подобные же аналитическіе пріемы. Но сочяненія его, основывавшіяся главнымъ образомъ на его прекрасномъ способѣ de maximis et minimis, по своимъ свойствамъ и своему особому характеру приближались скорѣе къ геометрическимъ сочиненіямъ древнихъ, чѣмъ къ трудамъ Декарта.

Роберваль. Роберваль, вслѣдствіе ревниваго соперничества, существовавшаго между нимъ и великимъ философомъ, критиковалъ до малѣйшихъ подробностей новую геометрію и этимъ существенно способствовалъ ея распространенію. Съ другой стороны онъ нѣкоторымъ образомъ воздалъ ей должный почетъ, оставивъ намъ искусное примѣненіе свойственнаго ей способа къ построенію мѣстъ посредствомъ уравненій въ сочиненіи подъ заглавіемъ De resolutione aequationum.

3. Де-Бонъ. (De Beaune, 1601 — 1651). При появленіи геометріи Декарта духъ и значеніе ея были усвоены преимущественно Де-Бономъ; онъ облегчилъ чтеніе новой геометріи примѣчаніями, которыя цѣнились высоко самимъ Декартомъ и которыя были прибавлены къ нѣкоторымъ мѣстамъ, затруднявшимъ по краткости изложенія и по новости предмета даже лучшихъ геометровъ.

Де-Бону первому принадлежитъ мысль ввести въ теорію кривыхъ линій свойства касательныхъ, какъ элементъ для построенія кривыхъ; онъ же, по поводу одной задачи подобнаго

[109]рода, предложенной имъ Декарту, изобрѣлъ обратный способъ касательныхъ. Онъ предложилъ именно построить такую кривую, чтобы субтангенсъ (считаемый по оси абсциссъ), раздѣленный на ординату, имѣлъ постоянное отношеніе къ отрѣзку ординаты, заключающемуся между кривою и постоянною прямою, проходящею черезъ начало кривой подъ угломъ 45° къ оси абсциссъ[2].

Задача эта, трудная даже при пособіи интегральнаго исчисленія и по изобрѣтеніи этого исчисленія занимавшая собою Лейбница и братьевъ Бернулли, была разрѣшена Декартомъ, привыкшимъ побѣждать самыя большія затрудненія въ геометріи: Декартъ съумѣлъ привести эту задачу къ геометрическимъ мѣстамъ, разсматривая каждую точку кривой какъ пересѣченіе двухъ безконечно-близкихъ касательныхъ. Этимъ путемъ онъ открылъ, что кривая имѣетъ асимптоту параллельную постоянной прямой и что субтангенсъ, взятый по направленію этой прямой, имѣетъ постоянную величину. Свойства эти привели Декарта къ построенію касательныхъ къ кривой и къ построенію самой кривой посредствомъ двухъ линеекъ, движущихся съ опредѣленными скоростями. Несоизмѣримость этихъ движеній показала ему, что кривая принадлежитъ къ разряду механическихъ, къ которымъ его анализъ не примѣнимъ. Поэтому онъ и не далъ ея уравненія. (Lettres de Descartes, t, VI, p. 137)[3].

Декартъ въ своей геометріи разсматривалъ только такія кривыя, уравненія которыхъ по его системѣ координатъ были опредѣленной конечной степенй; онъ называлъ ихъ кривыми геометрическими, присвоивъ остальнымъ названіе механическихъ. Лейбницъ ввелъ названіе алгебраическія и трансцендентныя

[110]кривыя. Теперь употребляютъ безразлично выраженія геометрическія и алгебраическія для обозначенія кривыхъ, бывшихъ предметомъ геометріи Декарта. Мы будемъ пользоваться постоянно первымъ названіемъ, потому что обозначаемыя имъ кривыя отличаются нѣкоторыми общими геометрическими свойствами столько же, какъ и видомъ ихъ уравненій; притомъ эти свойства могутъ быть доказываемы путемъ чисто-геометрическимъ безъ помощи системы координатъ и алгебраическихъ формулъ Декарта.

4. Шутенъ (Schooten, 16...—1659) написалъ пространный комментарій къ геометріи Декарта и далъ многочисленныя приложенія его способа въ сочиненіи Exercitationes Geometricae, преимущественно въ 3-й книгѣ, представляющей возстановленіе Loca plana Аполлонія, и также въ 5-ой книгѣ, имѣющей заглавіе: De lineis curvis superiorum generum, ex solidi sectione ortis. Здѣсь находимъ мы первый примѣръ примѣненія способа координатъ къ кривымъ въ пространствѣ; впрочемъ дѣло идетъ пока только о плоскихъ кривыхъ и Шутенъ употребляетъ только двѣ координаты. Но самые вопросы подобнаго рода были тогда еще новы и были первымъ шагомъ въ аналитической геометріи трехъ измѣреній, которая, какъ увидимъ въ концѣ третьей эпохи, развилась только спустя пятьдесятъ лѣтъ.

Шутенъ написалъ еще трактатъ объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій, гдѣ онъ указываетъ различные способы чертить эти кривыя непрерывнымъ движеніемъ. Черченіе эллипса помощію точки прямой, скользящей концами по сторонамъ угла, было извѣстно еще прежде: оно указано было Гвидо Убальди и Стевиномъ и ведетъ начало еще отъ отъ древнихъ геометровъ, о чемъ нами было уже сказано по поводу Прокла [см. гл. I, n° 45]. Шутенъ обобщилъ этотъ пріемъ, распространивъ его на случай, когда образующая точка находится внѣ прямой. Въ сочиненіи, кромѣ способовъ черченія коническихъ сѣченій, находимъ вычисленіе ихъ квадратуръ по способу недѣлимыхъ Кавальери.

[111]

Прибавленіе. Арабы также занимались органическимъ образованіемъ кривыхъ линій и въ особенности коническихъ сѣченій. Это видно изъ заглавіи трехъ слѣдующихъ сочиненій, находящихся въ Лейденской библіотекѣ.

  1. Ahmed ben Ghalit Sugiareus: De conicarum sectionum descriptione.
  2. Abu Schel Cumaeus: De circino perfecto, quo etiam sectiones conicae et aliae lineae curvae describi possunt.
  3. Mah. ben Husein: De circino perfecto et formatione linearum. (См. Catalogue librorum tam impressorum quam manuscriptorum bibliothecae publicae universitatis Lugduno Batavae; in fol. 1716, p. 454, 455).

5. Вторая книга Exercitationes Geometricae есть собраніе задачъ, разрѣшаемыхъ посредствомъ одной прямой линіи. Это первые примѣры, относящіеся къ той особой геометріи, которая въ послѣднее время изслѣдована въ подробности Сервуа и Бріаншономъ подъ именемъ геометріи линейки. Въ концѣ 2-й книги, подъ заглавіемъ Appendix, Шутенъ рѣшаетъ двѣнадцать задачъ, въ которыхъ точки или линіи предполагаются невидимыми или недоступными по причинѣ препятствій. Шутенъ говоритъ, что на подобныя изысканія онъ наведенъ былъ чтеніемъ сочиненія Geometria peregrinans, авторъ котораго рѣшаетъ при помощи однихъ кольевъ задачи практической геометріи, приложимыя главнымъ образомъ къ военному дѣлу. Сочиненіе это, безъ имени автора и безъ указанія времени изданія, не показалось Шутену старымъ и по его мнѣнію напечатано было въ Польшѣ.

6. Шутенъ принадлежалъ къ числу тѣхъ математиковъ, которые, въ виду могущественныхъ и возбуждавшихъ удивленіе пособій, оказываемыхъ анализомъ геометріи, приписывали аналитическимъ пріемамъ ясность и изящество въ доказательствахъ и построеніяхъ древнихъ геометровъ, обвиняя ихъ въ сокрытіи настоящаго пути къ своимъ открытіямъ ради возбужденія больнаго удивленія въ потомствѣ. Въ подтвержденіе этого мнѣнія, Шутенъ на многихъ примѣрахъ

[112][4] показалъ, что синтетическій способъ всегда можетъ былъ выведенъ изъ аналитическаго. Но Шутенъ не позаботился разъяснить истинное значеніе слова анализъ, какъ его понимали древніе, и въ особенности тѣхъ примѣровъ анализа, которые намъ оставлены Паппомъ; въ этомъ заключается причина ошибки Шутена: разумѣя подъ анализомъ только употребленіе алгебры и не находя никакого слѣда ея до Діофанта, онъ вывелъ заключеніе, что древніе скрывали свой анализъ.

Это обвиненіе было высказано въ первый разъ Ноніусомъ въ его Алгебрѣ и потомъ повторено во II главѣ Алгебры Валлиса; впослѣдствіи оно потеряло значеніе и сочтено было неосновательнымъ.

7. Cлюзъ (Sluze, 1623—1685) и Гуддъ (Hudde, 1640—1704) усовершенствовали способы Декарта и Фермата для проведенія касательныхъ и для изысканія maxima и minima; Слюзъ пополнилъ прекрасное построеніе уравненій третьей и четвертой степени посредствомъ круга и параболы, данное Декартомъ, показавъ, что для этого можетъ служить кругъ и какое угодно коническое сѣченіе данной величины; обобщеніе это было важно для того времени.

8. Де-Виттъ (De Witt, 1625—1672), знаменитый пенсіонарій Голландіи, упростилъ аналитическую теорію геометрическихъ мѣстъ Декарта; онъ изобрѣлъ новую и остроумную теорію коническихъ сѣченій, основанную на различныхъ построеніяхъ этихъ кривыхъ на плоскости безъ помощи конуса; изъ этой теоріи онъ вывелъ важнѣйшія свойства коническихъ сѣченій чисто-геометрическимъ путемъ.

Построенія Де-Витта приводятся къ пересѣченіямъ прямыхъ линій, представляющихъ большею частію стороны движущихся

[113]угловъ. До этого времени подобный способъ построенія извѣстенъ былъ только для параболы. Построенія эллипса и гиперболы или прямо основывались на кругѣ или требовали пособія этой кривой.

Должно впрочемъ замѣтить, что уже Кавальери старался найти построеніе эллипса и гиперболы помощію прямой линіи, подобное построенію параболы; его изысканія имѣли успѣхъ, доставившій этому знаменитому геометру, по собственному его признанію, живое удовольствіе[5]. Вотъ основаніе его способа, которое мы для ясности излагаемъ въ болѣе общемъ видѣ: «Представимъ себѣ уголъ и проведемъ рядъ сѣкущихъ, параллельныхъ между собою; изъ точекъ встрѣчи каждой сѣкущей со сторонами угла проведемъ соотвѣтственно прямыя къ двумъ неподвижнымъ точкамъ; пары такихъ прямыхъ будутъ пересѣкаться въ точкахъ, геометрическое мѣсто которыхъ есть коническое сѣченіе, проходящее черезъ двѣ неподвижныя точки».

Кавальери доказываетъ не эту общую теорему, а одинъ изъ частныхъ случаевъ ея: у него разсматривается уголъ прямой, неподвижныя точки берутся на сторонахъ угла и направленіе сѣкущихъ таково, что эти неподвижныя точки служатъ вершинами кривой.

Такимъ образомъ мысль, руководившая Де-Виттомъ при построеніи коническихъ сѣченій помощію прямой линіи, не была совершенно новая; но Кавальери ограничился только одною весьма частною теоремою изъ этой въ высшей степени богатой результатами теоріи, и потому сочиненіе Де-Витта представляло важную новость, на которую нельзя не обратить вниманія въ исторіи геометріи.

Построенія Де-Витта, кромѣ новизны, заключали въ себѣ зародышъ органическаго образованія коническихъ сѣченій,

[114]даннаго Ньютономъ въ 1-й книгѣ Principia и потомъ повторенааго въ Enumeratio linearum tertii ordinis и въ Arithmetica universalis. И дѣйствительно, большинство теоремъ Де-Витта получается изъ теоремы Ньютона, если предположимъ въ ней уголъ равнымъ нулю и вершину его въ безконечности.

Изъ предисловія къ сочиненію Де-Витта видно, что авторъ смотрѣлъ на свое сочиненіе, какъ на введеніе въ общую теорію и перечисленіе кривыхъ линій высшаго порядка. Эта плодотворная мысль была осуществлена черезъ пятьдесятъ лѣтъ Ньютономъ, Маклореномъ и Брайкенриджемъ.

9. Валлисъ (Wallis, 1616—1703) написалъ первый Аналитическій трактатъ о коническихъ сѣченіяхъ въ духѣ Декартовой геометріи. Но по преимуществу занимался онъ тою частію геометріи, къ которой относятся открытія Архимеда. Соединяя въ Ариѳметикѣ безконечныхъ анализъ Декарта со способомъ недѣлимыхъ Кавальери, онъ значительно способствовалъ успѣхамъ геометріи въ тѣхъ вопросахъ, которые теперь относятся къ области интегральнаго исчисленія.

10. Гюйгенсъ, Фанъ Геретъ и Нейль способствовали также развитію Декартовой геометріи.

Фанъ-Геретъ (Van-Heuraet) и Нейль (Neil) первые разрѣшили задачу о выпрямленіи кривой линіи; задача эта, по мнѣнію нѣкоторыхъ геометровъ того времени, считалась абсолютно неразрѣшимой и представляла весьма большія и совершенно особыя затрудненія.

Примѣчанія.

  1. Приложеніе алгебры къ теоріи кривыхъ линій есть предметъ Геометріи Декарта, которая вмѣстѣ съ его сочиненіями Traité des Météores и Dioptrique появилась въ Лейденѣ въ 1637 году вслѣдъ, и какъ бы въ видѣ испытанія, за его знаменитымъ Méthode, на которомъ основывается современная философія.
    Конечно ни одна философская система не имѣла при своемъ появленіи такой поддержки, какую давали методу Декарта подобныя испытанія.
  2. Lettres de Descartes, t. IV, p. 215. [См. перев. А.П. Юшкевича, приложенный к Геометрии Декарта 1938 года издания.]
  3. Письмо, въ которомъ Декартъ излагаетъ Де-Бону свои идеи объ этихъ совершенно новаго рода изысканіяхъ, разсматриваемыхъ имъ какъ обратныя его правилу касательныхъ, есть, по нашему мнѣнію, одинъ изъ важнѣйшихъ документовъ и должно занять почетное мѣсто въ исторіи новаго исчисленія.
  4. Tractatus de concinnandis demonstrationibus geometricis ex calculo algebraico. Посмертное изданіе. — Здѣсь находимъ аналитическое доказательство теоремы Птоломея объ отрѣзкахъ сѣкущей на трехъ сторонахъ треугольника.
  5. Exercitationes geometricae sex. Bononiae, in—4°, 1647. De modo facili describendi sectiones conicas, et in omnibus umiformi. (Exercitatio sexta).