Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/280

Эта страница была вычитана

прямой линіи гиперболоида съ одною полостью и гиперболическаго параболоида^[1]. Въ примѣчаніи къ трактату

↑ Честь этого открытія, одного изъ важнѣйшихъ въ теоріи поверхностей втораго порядка, умножившаго ея приложенія къ начертательной геометріи и къ искуствамъ, принадлежитъ первымъ лучшимъ ученикамъ (aux élèves chefs de brigade) политехнической школы (См. Journal de l'école polytechnique, t. I, p. 5).
Указываемое свойство гиперболоида долгое время доказывалось только путемъ анализа. Бывши ученикомъ политехнической школы, я нашелъ чисто геометрическое доказательство, которое перешло въ преподаваніе въ школѣ и помѣщалось во многихъ сочиненіяхъ (См. Traité de Géométrie descriptive de Vallée, p. 86 и Leroy, p. 267).
Доказательство это основывается на слѣдующей теоремѣ: Если прямая перемѣщается, пересѣкая противоположныя стороны $AB$ , $CD$ косаго четыреугольника $ABCD$ въ такихъ точкахъ $m,n$ , что
${\frac {mA}{mB}}=a{\frac {nD}{nC}}$ ,
гдѣ $a$ постоянное, то она огибаетъ гиперболоидъ съ одною полостью.
Это потому, что она будетъ опираться во всѣхъ своихъ положеніяхъ на всякую другую прямую, пересѣкающуюся съ двумя другими противоположными сторонами четыреугольника, въ двухъ точкахъ $p,q$ , для которыхъ будетъ
${\frac {qA}{qD}}=a{\frac {pB}{pC}}$
(См. Correspondance polytechnique, t. II, p. 446).
Доказательство этой теоремы очень просто и требуетъ только знанія Птоломеевой теоремы о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью (Correspondance polytechnique, t. III, p. 6). Впослѣдствіи теорія ангармоническаго отношенія представила намъ другое, еще болѣе простое и элементарное доказательство, основывающееся только на понятіи объ ангармоннческомъ отношеніи (См. Примѣчаніе IX).
Эта теорема прилагается также къ образованію коническихъ сѣченій и выражаетъ прекрасное общее свойство этихъ кривыхъ (См. Correspondance mathématique de Quetelet, t. IV, p. 363).
Сказавъ, что двоякое образованіе гиперболоида съ одною полостью получило начало въ политехнической школѣ, мы разумѣемъ только гиперболоидъ съ неравными осями и должны прибавить, что двоякое образованіе помощію прямой линіи гиперболоида вращенія съ одною полостью было уже извѣстно, хотя можетъ быть забыто; оно было открыто уже очень давно и рѣдко воспроизводилось. По нашему мнѣнію оно было сдѣлано Вреномъ, который помѣстилъ объ этомъ въ Philosophical Transactions (1669, p. 961) весьма короткую замѣтку подъ заглавіемъ: Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandis lentibus hypcrbolicis accomodati. Вренъ указываетъ на примѣненіе, которое можно сдѣлать изъ такого образованія посредствомъ прямой, къ выдѣлкѣ гиперболическихъ стеколъ.
Въ 1698 году Паранъ также нашелъ это свойство гиперболоида вращенія и доказалъ его аналитически и посредствомъ простыхъ геометрическихъ соображеній въ двухъ различныхъ мемуарахъ (Essais et recherches de mathématique et de physique, t. II, p. 645 et t. III, p. 570). Этого свойства не имѣютъ другія поверхности, происходящія отъ обращенія коническаго сѣченія около главной оси, и Паранъ называетъ гиперболоидъ съ одною полостію самою полною изъ этихъ поверхностей, потому что на немъ имѣютъ мѣсто сѣченія шести различныхъ видовъ, именно: двѣ параллельныя прямыя, двѣ линіи пересѣкающіяся, кругъ, парабола, эллипсъ и гипербола. Паранъ называетъ эту поверхность, также какъ Вренъ, гиперболическимъ цилиндроидомъ и также пользуется образованіемъ посредствомъ прямой линіи для выдѣлки на токарномъ станѣ гиперболическихъ стеколъ, пригодныхъ въ діоптрикѣ.
Sauveur доказалъ также это свойство гиперболоида вращенія и еще нѣсколько другихъ предложеній о объемахъ и поверхностяхъ коноидовъ; содержаніе предложеній было ему указано Параномъ (Essais et recherches de mathématiques et de physique, t. III, p. 526)

Тот же текст в современной орфографии

прямой линии гиперболоида с одной полостью и гиперболического параболоида^[1]. В примечании к трактату

↑ Честь этого открытия, одного из важнейших в теории поверхностей второго порядка, умножившего её приложения к начертательной геометрии и к искуствам, принадлежит первым лучшим ученикам (aux élèves chefs de brigade) политехнической школы (См. Journal de l'école polytechnique, t. I, p. 5).
Указываемое свойство гиперболоида долгое время доказывалось только путем анализа. Будучи учеником политехнической школы, я нашел чисто геометрическое доказательство, которое перешло в преподавание в школе и помещалось во многих сочинениях (См. Traité de Géométrie descriptive de Vallée, p. 86 и Leroy, p. 267).
Доказательство это основывается на следующей теореме: Если прямая перемещается, пересекая противоположные стороны $AB$ , $CD$ косого четырёхугольника $ABCD$ в таких точках $m,n$ , что
${\frac {mA}{mB}}=a{\frac {nD}{nC}}$ ,
где $a$ постоянное, то она огибает гиперболоид с одною полостью.
Это потому, что она будет опираться во всех своих положениях на всякую другую прямую, пересекающуюся с двумя другими противоположными сторонами четырёхугольника, в двух точках $p,q$ , для которых будет
${\frac {qA}{qD}}=a{\frac {pB}{pC}}$
(См. Correspondance polytechnique, t. II, p. 446).
Доказательство этой теоремы очень просто и требует только знания Птоломеевой теоремы о треугольнике, пересеченном трансверсалью (Correspondance polytechnique, t. III, p. 6). Впоследствии теория ангармонического отношения представила нам другое, еще более простое и элементарное доказательство, основывающееся только на понятии об ангармоннческом отношении (См. Примечание IX).
Эта теорема прилагается также к образованию конических сечений и выражает прекрасное общее свойство этих кривых (См. Correspondance mathématique de Quetelet, t. IV, p. 363).
Сказав, что двоякое образование гиперболоида с одною полостью получило начало в политехнической школе, мы разумеем только гиперболоид с неравными осями и должны прибавить, что двоякое образование с помощью прямой линии гиперболоида вращения с одною полостью было уже известно, хотя может быть забыто; оно было открыто уже очень давно и редко воспроизводилось. По нашему мнению оно было сделано Вреном, который поместил об этом в Philosophical Transactions (1669, p. 961) весьма короткую заметку под заглавием: Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandis lentibus hypcrbolicis accomodati. Врен указывает на применение, которое можно сделать из такого образования посредством прямой, к выделке гиперболических стекол.
В 1698 году Паран также нашел это свойство гиперболоида вращения и доказал его аналитически и посредством простых геометрических соображений в двух различных мемуарах (Essais et recherches de mathématique et de physique, t. II, p. 645 et t. III, p. 570). Этого свойства не имеют другия поверхности, происходящие от обращения конического сечения около главной оси, и Паран называет гиперболоид с одною полостью самою полною из этих поверхностей, потому что на нем имеют место сечения шести различных видов, именно: две параллельные прямые, две линии пересекающиеся, круг, парабола, эллипс и гипербола. Паран называет эту поверхность, также как Врен, гиперболическим цилиндроидом и также пользуется образованием посредством прямой линии для выделки на токарном стане гиперболических стекол, пригодных в диоптрике.
Sauveur доказал также это свойство гиперболоида вращения и еще несколько других предложений о объемах и поверхностях коноидов; содержание предложений было ему указано Параном (Essais et recherches de mathématiques et de physique, t. III, p. 526)

[1] Честь этого открытія, одного изъ важнѣйшихъ въ теоріи поверхностей втораго порядка, умножившаго ея приложенія къ начертательной геометріи и къ искуствамъ, принадлежитъ первымъ лучшимъ ученикамъ (aux élèves chefs de brigade) политехнической школы (См. Journal de l'école polytechnique, t. I, p. 5).
Указываемое свойство гиперболоида долгое время доказывалось только путемъ анализа. Бывши ученикомъ политехнической школы, я нашелъ чисто геометрическое доказательство, которое перешло въ преподаваніе въ школѣ и помѣщалось во многихъ сочиненіяхъ (См. Traité de Géométrie descriptive de Vallée, p. 86 и Leroy, p. 267).
Доказательство это основывается на слѣдующей теоремѣ: Если прямая перемѣщается, пересѣкая противоположныя стороны $AB$ , $CD$ косаго четыреугольника $ABCD$ въ такихъ точкахъ $m,n$ , что
${\frac {mA}{mB}}=a{\frac {nD}{nC}}$ ,
гдѣ $a$ постоянное, то она огибаетъ гиперболоидъ съ одною полостью.
Это потому, что она будетъ опираться во всѣхъ своихъ положеніяхъ на всякую другую прямую, пересѣкающуюся съ двумя другими противоположными сторонами четыреугольника, въ двухъ точкахъ $p,q$ , для которыхъ будетъ
${\frac {qA}{qD}}=a{\frac {pB}{pC}}$
(См. Correspondance polytechnique, t. II, p. 446).
Доказательство этой теоремы очень просто и требуетъ только знанія Птоломеевой теоремы о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью (Correspondance polytechnique, t. III, p. 6). Впослѣдствіи теорія ангармоническаго отношенія представила намъ другое, еще болѣе простое и элементарное доказательство, основывающееся только на понятіи объ ангармоннческомъ отношеніи (См. Примѣчаніе IX).
Эта теорема прилагается также къ образованію коническихъ сѣченій и выражаетъ прекрасное общее свойство этихъ кривыхъ (См. Correspondance mathématique de Quetelet, t. IV, p. 363).
Сказавъ, что двоякое образованіе гиперболоида съ одною полостью получило начало въ политехнической школѣ, мы разумѣемъ только гиперболоидъ съ неравными осями и должны прибавить, что двоякое образованіе помощію прямой линіи гиперболоида вращенія съ одною полостью было уже извѣстно, хотя можетъ быть забыто; оно было открыто уже очень давно и рѣдко воспроизводилось. По нашему мнѣнію оно было сдѣлано Вреномъ, который помѣстилъ объ этомъ въ Philosophical Transactions (1669, p. 961) весьма короткую замѣтку подъ заглавіемъ: Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandis lentibus hypcrbolicis accomodati. Вренъ указываетъ на примѣненіе, которое можно сдѣлать изъ такого образованія посредствомъ прямой, къ выдѣлкѣ гиперболическихъ стеколъ.
Въ 1698 году Паранъ также нашелъ это свойство гиперболоида вращенія и доказалъ его аналитически и посредствомъ простыхъ геометрическихъ соображеній въ двухъ различныхъ мемуарахъ (Essais et recherches de mathématique et de physique, t. II, p. 645 et t. III, p. 570). Этого свойства не имѣютъ другія поверхности, происходящія отъ обращенія коническаго сѣченія около главной оси, и Паранъ называетъ гиперболоидъ съ одною полостію самою полною изъ этихъ поверхностей, потому что на немъ имѣютъ мѣсто сѣченія шести различныхъ видовъ, именно: двѣ параллельныя прямыя, двѣ линіи пересѣкающіяся, кругъ, парабола, эллипсъ и гипербола. Паранъ называетъ эту поверхность, также какъ Вренъ, гиперболическимъ цилиндроидомъ и также пользуется образованіемъ посредствомъ прямой линіи для выдѣлки на токарномъ станѣ гиперболическихъ стеколъ, пригодныхъ въ діоптрикѣ.
Sauveur доказалъ также это свойство гиперболоида вращенія и еще нѣсколько другихъ предложеній о объемахъ и поверхностяхъ коноидовъ; содержаніе предложеній было ему указано Параномъ (Essais et recherches de mathématiques et de physique, t. III, p. 526)

[2] Честь этого открытия, одного из важнейших в теории поверхностей второго порядка, умножившего её приложения к начертательной геометрии и к искуствам, принадлежит первым лучшим ученикам (aux élèves chefs de brigade) политехнической школы (См. Journal de l'école polytechnique, t. I, p. 5).
Указываемое свойство гиперболоида долгое время доказывалось только путем анализа. Будучи учеником политехнической школы, я нашел чисто геометрическое доказательство, которое перешло в преподавание в школе и помещалось во многих сочинениях (См. Traité de Géométrie descriptive de Vallée, p. 86 и Leroy, p. 267).
Доказательство это основывается на следующей теореме: Если прямая перемещается, пересекая противоположные стороны $AB$ , $CD$ косого четырёхугольника $ABCD$ в таких точках $m,n$ , что
${\frac {mA}{mB}}=a{\frac {nD}{nC}}$ ,
где $a$ постоянное, то она огибает гиперболоид с одною полостью.
Это потому, что она будет опираться во всех своих положениях на всякую другую прямую, пересекающуюся с двумя другими противоположными сторонами четырёхугольника, в двух точках $p,q$ , для которых будет
${\frac {qA}{qD}}=a{\frac {pB}{pC}}$
(См. Correspondance polytechnique, t. II, p. 446).
Доказательство этой теоремы очень просто и требует только знания Птоломеевой теоремы о треугольнике, пересеченном трансверсалью (Correspondance polytechnique, t. III, p. 6). Впоследствии теория ангармонического отношения представила нам другое, еще более простое и элементарное доказательство, основывающееся только на понятии об ангармоннческом отношении (См. Примечание IX).
Эта теорема прилагается также к образованию конических сечений и выражает прекрасное общее свойство этих кривых (См. Correspondance mathématique de Quetelet, t. IV, p. 363).
Сказав, что двоякое образование гиперболоида с одною полостью получило начало в политехнической школе, мы разумеем только гиперболоид с неравными осями и должны прибавить, что двоякое образование с помощью прямой линии гиперболоида вращения с одною полостью было уже известно, хотя может быть забыто; оно было открыто уже очень давно и редко воспроизводилось. По нашему мнению оно было сделано Вреном, который поместил об этом в Philosophical Transactions (1669, p. 961) весьма короткую заметку под заглавием: Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandis lentibus hypcrbolicis accomodati. Врен указывает на применение, которое можно сделать из такого образования посредством прямой, к выделке гиперболических стекол.
В 1698 году Паран также нашел это свойство гиперболоида вращения и доказал его аналитически и посредством простых геометрических соображений в двух различных мемуарах (Essais et recherches de mathématique et de physique, t. II, p. 645 et t. III, p. 570). Этого свойства не имеют другия поверхности, происходящие от обращения конического сечения около главной оси, и Паран называет гиперболоид с одною полостью самою полною из этих поверхностей, потому что на нем имеют место сечения шести различных видов, именно: две параллельные прямые, две линии пересекающиеся, круг, парабола, эллипс и гипербола. Паран называет эту поверхность, также как Врен, гиперболическим цилиндроидом и также пользуется образованием посредством прямой линии для выделки на токарном стане гиперболических стекол, пригодных в диоптрике.
Sauveur доказал также это свойство гиперболоида вращения и еще несколько других предложений о объемах и поверхностях коноидов; содержание предложений было ему указано Параном (Essais et recherches de mathématiques et de physique, t. III, p. 526)

[1]

[1]