Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/87

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта страница была вычитана

сѣченіемъ и четырьмя сторонами вписаннаго въ него четыреугольника.

Соотношеніе это состоитъ въ томъ, что «произведеніе отрѣзковъ трансверсали, заключающихся между точкою коническаго сѣченія и двумя противоположными сторонами четыреугольника, относится къ произведенію отрѣзковъ между тою же точкою кривой и двумя другими противоположными сторонами четыреугольника, также, какъ относятся между собою подобныя же произведенія, составленныя для второй точки пересѣченія коническаго сѣченія съ трансверсалью.»

Эта теорема изложена Паскалемъ въ Essai pour les coniques и Бограномъ (Beaugrand) въ критическомъ письмѣ о сочиненіи Дезарга: Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Изъ этого письма мы узнаемъ, что Дезаргъ называлъ соотношеніе, составляющее его прекрасную теорему, инволюціею шести точекъ.

Изъ теоремы видно, какъ шесть точекъ другъ другу соотвѣтствуютъ, т. е. сопряжены попарно. Дезаргъ разсматривалъ случай, когда двѣ сопряженныя точки сливаются; тогда получается инволюція пяти точекъ[1]; потомъ случай, когда двѣ другія сопряженныя точки также сливаются; тогда остается только четыре точки и инволюціонное соотношеніе обращается въ гармоническую пропорцію.

Въ приведенномъ нами изложеніи инволюціоннаго соотношенія шести точекъ содержится восемь отрѣзковъ; но его можно замѣнить другимъ, заключающимъ въ себѣ только шесть отрѣзковъ, и тогда это будетъ точно такое же отношеніе, какое было дано Паппомъ для отрѣзковъ, образуемыхъ на трансверсали четырьмя сторонами и двумя діагоналями четыреугольника (130-я теорема VII книги Математическаго Собранія).

  1. Есть другой случай инволюціи пяти точекъ: когда шестая точка удаляется въ безконечность; тогда сопряженная ей точка принимаетъ весьма замѣчательное положеніе. Я не знаю, изслѣдованъ ли особо этотъ случай, представляющійся часто, когда и рѣчи нѣтъ о теоріи инволюціи.