Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/333

Если положимъ $\delta =0$, то получимъ 44-ю теорему Стеварта.

Другія величины $\delta$ даютъ другія соотношенія, которыя можно выразить всѣ какъ особыя теоремы, но которыя тѣмъ не менѣе существуютъ всѣ одновременно. Эта совмѣстность $n$ различныхъ соотношеній и составляетъ характеръ приведенной теоремы.

При этомъ не слѣдуетъ забывать, что положеніе точки $M$ остается неопредѣленнымъ, такъ что для каждаго положенія можемъ получить свои $n$ соотношеній.

Величина $\delta$ можетъ имѣть еще одно значеніе, именно $\delta =n$; но это приводитъ къ тождественному равенству:

$a+b+c+\dots =(n+1).{\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

поэтому мы и ограничили число всѣхъ значеній $\delta$ числомъ $n$.

Вторая теорема. Дано $m$ прямыхъ линій на плоскости и столько же количествъ $a,\,b,\,c,\dots$; пусть будетъ $n$ какое-нибудъ число, меньше $m$; можно найти $n+1$ другихъ прямыхъ такъ, что между перпендикулярами $M\alpha ,\,M\beta ,\,M\gamma ,\dots$, опущенными изъ какой угодно точки $M$ на эти прямыя и перпендикулярами $M\alpha ',\,M\beta ',\,M\gamma ',\dots$, опущенными на найденныя прямыя будетъ существовать ${\tfrac {n+1}{2}}$, или ${\tfrac {n}{2}}$, соотношеній, выражаемыхъ формулою

$a.M\alpha ^{(n-2\delta )}+b.M\beta ^{(n-2\delta )}+\dots =\left({M\alpha '}^{(n-2\delta )}+{M\beta '}^{(n-2\delta )}+\dots \right){\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

гдѣ $\delta$ можетъ принимать ${\tfrac {n+1}{2}}$ значеній: $0,\,1,\,2,\dots ,{\tfrac {n-1}{2}}$, когда $n$ нечетное и ${\tfrac {n}{2}}$ значеній: $0,\,1,\,2,\dots {\tfrac {n-2}{2}}$, когда $n$ — четное.

Тот же текст в современной орфографии

Если положим $\delta =0$, то получим 44-ю теорему Стюарта.

Другие величины $\delta$ дают другие соотношения, которые можно выразить все как особые теоремы, но которые тем не менее существуют все одновременно. Эта совместность $n$ различных соотношений и составляет характер приведенной теоремы.

При этом не следует забывать, что положение точки $M$ остается неопределенным, так что для каждого положения можем получить свои $n$ соотношений.

Величина $\delta$ может иметь еще одно значение, именно $\delta =n$; но это приводит к тождественному равенству:

$a+b+c+\dots =(n+1).{\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

поэтому мы и ограничили число всех значений $\delta$ числом $n$.

Вторая теорема. Дано $m$ прямых линий на плоскости и столько же количеств $a,\,b,\,c,\dots$; пусть будет $n$ какое-нибуд число, меньше $m$; можно найти $n+1$ других прямых так, что между перпендикулярами $M\alpha ,\,M\beta ,\,M\gamma ,\dots$, опущенными из какой угодно точки $M$ на эти прямые и перпендикулярами $M\alpha ',\,M\beta ',\,M\gamma ',\dots$, опущенными на найденные прямые будет существовать ${\tfrac {n+1}{2}}$, или ${\tfrac {n}{2}}$, соотношений, выражаемых формулою

$a.M\alpha ^{(n-2\delta )}+b.M\beta ^{(n-2\delta )}+\dots =\left({M\alpha '}^{(n-2\delta )}+{M\beta '}^{(n-2\delta )}+\dots \right){\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

где $\delta$ может принимать ${\tfrac {n+1}{2}}$ значений: $0,\,1,\,2,\dots ,{\tfrac {n-1}{2}}$, когда $n$ нечетное и ${\tfrac {n}{2}}$ значений: $0,\,1,\,2,\dots {\tfrac {n-2}{2}}$, когда $n$ — четное.