Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/161

Сѣть, опредѣляемую этими условіями, мы назовемъ второю нормальною октаэдрическою сѣтью.

Примемъ за основной четыреугольникъ $0gbf$.

Сопряженныя стороны его суть: $0g$ и $0f$, $bg$ и $bf$. Подстановки $S'_{\text{о}}$ и ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}$^[1], преобразующія $0g$ въ $0f$ и $bg$ въ $bf$, выражаются такъ:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S'_{\text{о}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}'_{\text{о}}={\dfrac {1+{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u}{u-{\sqrt {2}}\varepsilon }},\end{array}}\right\}&{\text{гдѣ}}&\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{matrix}}$[2]

(50)

‎Ясно, что сѣть 30 можетъ быть получена изъ сѣти 29 тѣмъ же линейнымъ преобразованіемъ, которое сѣть 27 преобразуетъ въ сѣть 28.

III. Возьмемъ тетраэдръ въ положеніи, соотвѣтствующемъ третьей нормальной тетраэдрической сѣти и построимъ соотвѣтствующій ему октаэдръ. Сѣть, соотвѣтствующую такому положенію октаэдра, назовемъ третьею нормальною октаэдрическою сѣтью. Она получается изъ 1-ой нормальной октаэдрической сѣти преобразованіемъ посредствомъ подстановки $\sigma$, гдѣ $\sigma$ есть линейная подстановка (17), найденная въ § 14.

Основныя подстановки третьей нормальной октаэдрической группы мы будемъ обозначать такъ:

$S'_{\text{о}}$ и ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}.$

‎Долѣе на этой группѣ мы не останавливаемся потому, что она будетъ имѣть для насъ лишь вспомогательное значеніе.

1. При вычисленіи подстановки ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}$ необходимо замѣтить, что точка $d$ на чертежѣ 30 занимаетъ то же положеніе, какъ и точка $d$ на чертежѣ 28: ${\overline {0d}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

2. Не лишено интереса замѣчаніе, что тетраэдрическая подстановка ${\mathfrak {T}}'_{\text{т}}$ есть квадратъ октаэдрической ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}$: ${\mathfrak {T}}'_{\text{т}}={\mathfrak {T}}_{\text{о}}^{'\,2}.$

Тот же текст в современной орфографии

Сеть, определяемую этими условиями, мы назовем второй нормальной октаэдрической сетью.

Примем за основной четырехугольник $0gbf$.

Сопряженные стороны его суть: $0g$ и $0f$, $bg$ и $bf$. Подстановки $S'_{\text{о}}$ и ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}$^[1], преобразующие $0g$ в $0f$ и $bg$ в $bf$, выражаются так:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S'_{\text{о}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}'_{\text{о}}={\dfrac {1+{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u}{u-{\sqrt {2}}\varepsilon }},\end{array}}\right\}&{\text{где}}&\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{matrix}}$[2]

(50)

‎Ясно, что сеть 30 может быть получена из сети 29 тем же линейным преобразованием, которое сеть 27 преобразует в сеть 28.

III. Возьмем тетраэдр в положении, соответствующем третьей нормальной тетраэдрической сети, и построим соответствующий ему октаэдр. Сеть, соответствующую такому положению октаэдра, назовем третьей нормальной октаэдрической сетью. Она получается из 1-ой нормальной октаэдрической сети преобразованием посредством подстановки $\sigma$, где $\sigma$ есть линейная подстановка (17), найденная в § 14.

Основные подстановки третьей нормальной октаэдрической группы мы будем обозначать так:

$S'_{\text{о}}$ и ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}.$

‎Долее на этой группе мы не останавливаемся потому, что она будет иметь для нас лишь вспомогательное значение.

1. При вычислении подстановки ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}$ необходимо заметить, что точка $d$ на чертеже 30 занимает то же положение, как и точка $d$ на чертеже 28: ${\overline {0d}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

2. Не лишено интереса замечание, что тетраэдрическая подстановка ${\mathfrak {T}}'_{\text{т}}$ есть квадрат октаэдрической ${\mathfrak {T}}'_{\text{о}}$: ${\mathfrak {T}}'_{\text{т}}={\mathfrak {T}}_{\text{о}}^{'\,2}.$