Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/219

‎гдѣ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть какія угодно числа, удовлетворяющія условію: $\alpha \delta -\beta \gamma$ отлично отъ 0.

Не трудно усмотрѣть, что уравненіе (3) только въ томъ случаѣ можетъ быть тождественно съ уравненіемъ (1'), когда оно принадлежитъ къ числу уравненій (4), т. е. когда имѣютъ мѣсто тождественныя равенства:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Посмотримъ, какъ по даннымъ многочленамъ $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ найти многочлены $f(u)$ и $H(u)$ и убѣдиться въ существованіи тождествъ (5).

Возьмемъ выраженіе:

$\Omega (u)=\psi (u){\frac {d\varphi (u)}{du}}-\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}.$

(6)

‎Подставивъ въ это выраженіе формулы $\psi (u)$ и $\varphi (u)$, даваемыя равенствами (5), находимъ:

${\begin{matrix}\Omega (u)=(\alpha \delta -\beta \gamma )\left[\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right]\times \\\times \,f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u),\end{matrix}}$

(7)

‎или:

$\Omega (u)=N(\alpha \delta -\beta \gamma )f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u).$

(8)

‎Функція $\Omega (u)$ намъ извѣстна; степень $N$ уравненія (2) тоже извѣстна; относительно показателей $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ и степеней $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функцій $f(u),\ H(u),\ T(u)$ можно сдѣлать не болѣе двухъ предположеній:

1) уравненіе (2) можетъ быть двупирамиднымъ, и въ такомъ случаѣ числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ должны соотвѣтственно равняться:

${\frac {N}{2}},\ 2,\ 2,\ 2,\ {\frac {N}{2}},\ {\frac {N}{2}};$

2) если $N$ равно одному изъ чиселъ:

12, 24, 60,

Тот же текст в современной орфографии

‎где $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть какие угодно числа, удовлетворяющие условию: $\alpha \delta -\beta \gamma$ отлично от 0.

Не трудно усмотреть, что уравнение (3) только в том случае может быть тождественно с уравнением (1'), когда оно принадлежит к числу уравнений (4), т. е. когда имеют место тождественные равенства:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Посмотрим, как по данным многочленам $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ найти многочлены $f(u)$ и $H(u)$ и убедиться в существовании тождеств (5).

Возьмем выражение:

$\Omega (u)=\psi (u){\frac {d\varphi (u)}{du}}-\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}.$

(6)

‎Подставив в это выражение формулы $\psi (u)$ и $\varphi (u)$, даваемые равенствами (5), находим:

${\begin{matrix}\Omega (u)=(\alpha \delta -\beta \gamma )\left[\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right]\times \\\times \,f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u),\end{matrix}}$

(7)

‎или:

$\Omega (u)=N(\alpha \delta -\beta \gamma )f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u).$

(8)

‎Функция $\Omega (u)$ нам известна; степень $N$ уравнения (2) тоже известна; относительно показателей $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ и степеней $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функций $f(u),\ H(u),\ T(u)$ можно сделать не более двух предположений:

1) уравнение (2) может быть двупирамидным, и в таком случае числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ должны соответственно равняться:

${\frac {N}{2}},\ 2,\ 2,\ 2,\ {\frac {N}{2}},\ {\frac {N}{2}};$

2) если $N$ равно одному из чисел:

12, 24, 60,