Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/220

‎то уравненіе (2) можетъ принадлежать къ одному изъ типовъ: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, и тогда числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получатъ значенія соотвѣтствующія этому типу.

На основаніи только что приведенныхъ соображеній мы найдемъ одну или двѣ системы значеній, которыя могутъ имѣть числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$.

Отсюда вытекаетъ:

Третье необходимое условіе тождественности уравненій (2) и (1):

Многочленъ $\Omega (u)$ долженъ имѣть:

$\nu$ корней $\lambda -1$-кратныхъ,

$\nu _{1}$ корней $\lambda _{1}-1$-кратныхъ,

$\nu _{2}$ корней простыхъ.

Мы можемъ убѣдиться въ выполненіи этого условія, примѣняя обычный пріемъ алгебры, служащій для отдѣленія кратныхъ корней^[1].

Пусть эти условія выполнились.

Убѣдившись въ выполненіи условія, мы въ то же время находимъ многочлены $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и узнаемъ, къ которому изъ четырехъ типовъ можетъ принадлежать уравненіе (2).

Четвертое необходимое условіе тождественности уравненій (1) и (2):

Если уравненіе (2) тетраэдрическое, октаэдрическое или икосаэдрическое, то найденная функція $f(u)$ должна удовлетворять условію:

$(f,\;f)^{4}=0.$

‎Если уравненіе (2) двупирамидное, то многочленъ $f(u)$ долженъ быть второй степени.

1. Въ случаѣ тетраэдрическаго уравненія указанный пріемъ даетъ функцію $T(u)$ и произведеніе $f(u)H(u)$. По этимъ даннымъ можно найти $f(u)$ и $H(u)$.
   ‎Въ случаѣ четверичнаго уравненія указанный путь къ цѣли не приводимъ; но это—случай вполнѣ элементарный.

Тот же текст в современной орфографии

‎то уравнение (2) может принадлежать к одному из типов: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, и тогда числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получат значения соответствующие этому типу.

На основании только что приведенных соображений мы найдем одну или две системы значений, которые могут иметь числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$.

Отсюда вытекает:

Третье необходимое условие тождественности уравнений (2) и (1):

Многочлен $\Omega (u)$ должен иметь:

$\nu$ корней $\lambda -1$-кратных,

$\nu _{1}$ корней $\lambda _{1}-1$-кратных,

$\nu _{2}$ корней простых.

Мы можем убедиться в выполнении этого условия, применяя обычный прием алгебры, служащий для отделения кратных корней^[1].

Пусть эти условия выполнились.

Убедившись в выполнении условия, мы в то же время находим многочлены $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и узнаем, к которому из четырех типов может принадлежать уравнение (2).

Четвертое необходимое условие тождественности уравнений (1) и (2):

Если уравнение (2) тетраэдрическое, октаэдрическое или икосаэдрическое, то найденная функция $f(u)$ должна удовлетворять условию:

$(f,\;f)^{4}=0.$

‎Если уравнение (2) двупирамидное, то многочлен $f(u)$ должен быть второй степени.

1. В случае тетраэдрического уравнения указанный прием дает функцию $T(u)$ и произведение $f(u)H(u)$. По этим данным можно найти $f(u)$ и $H(u)$.
   ‎В случае четверичного уравнения указанный путь к цели не приводим; но это — случай вполне элементарный.