Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/249

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y.$

(22)

‎Мы видимъ, что изъ числа уравненій изучаемаго класса наибольшій интересъ представляютъ:

1) уравненія вида (8)—по наибольшей простотѣ своихъ свойствъ,

2) уравненія, получаемыя изъ уравненій вида (8) преобразованіемъ (22)—по своему свойству имѣть корнями частные интегралы гипергеометрическаго уравненія.

Остальныя уравненія того же класса могутъ быть получаемы изъ уравненій (8) подстановкою:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y,$

(15)

‎гдѣ $p_{1}$ какая угодно раціональная функція $z$, подчиненная только тому условію, чтобы выраженіе:

$e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎было алгебраическою функціею $z$.

Что касается до уравненія (8), соотвѣтствующаго уравненію (1) двупирамиднаго типа, то оно было нами разсмотрѣно въ [[../../Глава I/ДО#§4|§ 4]].

Это уравненіе рѣшается въ радикалахъ совершенно элементарнымъ образомъ. Поэтому мы будемъ говорить только объ уравненіяхъ вида (8) типовъ: тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго.

Въ [[../../Глава IV/ДО#§20|§ 20]] мы нашли, что порядокъ $n$ группы бинарныхъ линейныхъ подстановокъ, каждаго изъ названныхъ трехъ типовъ вдвое выше порядка $N$ соотвѣтствующей группы неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ. Отсюда слѣдуетъ, что степень $n$ уравненія (8) вдвое выше степени $N$ уравненія (1) того же типа:

$n=2N.$

Тот же текст в современной орфографии

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y.$

(22)

‎Мы видим, что из числа уравнений изучаемого класса наибольший интерес представляют:

1) уравнения вида (8) — по наибольшей простоте своих свойств,

2) уравнения, получаемые из уравнений вида (8) преобразованием (22), — по своему свойству иметь корнями частные интегралы гипергеометрического уравнения.

Остальные уравнения того же класса могут быть получены из уравнений (8) подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y,$

(15)

‎где $p_{1}$ — какая угодно рациональная функция $z$, подчиненная только тому условию, чтобы выражение:

$e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎было алгебраической функцией $z$.

Что касается уравнения (8), соответствующего уравнению (1) двупирамидного типа, то оно было нами рассмотрено в § 4.

Это уравнение решается в радикалах совершенно элементарным образом. Поэтому мы будем говорить только об уравнениях вида (8) типов: тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического.

В § 20 мы нашли, что порядок $n$ группы бинарных линейных подстановок, каждого из названных трех типов вдвое выше порядка $N$ соответствующей группы неоднородных линейных подстановок. Отсюда следует, что степень $n$ уравнения (8) вдвое выше степени $N$ уравнения (1) того же типа:

$n=2N.$