Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/25

они имѣютъ лишь конечное число полюсовъ и критическихъ точекъ алгебраическаго характера, а существенно особыхъ точекъ совсѣмъ не имѣютъ.

Эта особенность уравненія (2) въ значительной степени его опредѣляетъ.

Въ самомъ дѣлѣ, извѣстно, что особыми точками частныхъ интеграловъ уравненія (2) могутъ служить: точка $z=\infty$ и тѣ точки, гдѣ $p_{1}$ или $p_{2}$ обращаются въ безконечность.

Что касается до точки $z=\infty$, то мы въ правѣ считать ее простою точкою, п. ч. въ противномъ случаѣ мы могли бы преобразовать уравненіе (2) линейною подстановкою вида:

$z={\frac {\alpha z'+\beta }{\gamma z'+\delta }}$

‎такъ, чтобы въ преобразованномъ уравненіи точка $z'=\infty$ была простою точкою.

Пусть $\alpha _{i}$ есть особая точка интеграловъ уравненія (2). Это значитъ, что $p_{1}$ или $p_{2}$, или обѣ функціи вмѣстѣ при $z=\alpha _{i}$ обращаются въ безконечность.

Извѣстно^[1], что линейное дифференціальное уравненіе 2-го порядка (2) должно имѣть два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла, которые въ области не существенно особой точки $z=\alpha _{i}$ разлагаются въ ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(12)

‎гдѣ $\varphi _{1}(z-\alpha _{i})$ и $\varphi _{2}(z-\alpha _{i})$ суть функціи голоморфныя въ области точки $\alpha _{i}$ и отличныя отъ нуля при $z=\alpha _{i}$.

Исключеніе представляетъ только тотъ случай, когда показатели $r_{1}$ и $r_{2}$ оказываются равными:

$r_{1}=r_{2}.$

1. См. Анисимовъ. Основанія теоріи линейныхъ дифференціальныхъ уравненій. Стр. 40.

Тот же текст в современной орфографии

они имеют лишь конечное число полюсов и критических точек алгебраического характера, а существенно особых точек совсем не имеют.

Эта особенность уравнения (2) в значительной степени его определяет.

В самом деле, известно, что особыми точками частных интегралов уравнения (2) могут служить: точка $z=\infty$ и те точки, где $p_{1}$ или $p_{2}$ обращаются в бесконечность.

Что касается точки $z=\infty$, то мы вправе считать ее простой точкой, п. ч. в противном случае мы могли бы преобразовать уравнение (2) линейной подстановкой вида:

$z={\frac {\alpha z'+\beta }{\gamma z'+\delta }}$

‎так, чтобы в преобразованном уравнении точка $z'=\infty$ была простой точкой.

Пусть $\alpha _{i}$ есть особая точка интегралов уравнения (2). Это значит, что $p_{1}$ или $p_{2}$, или обе функции вместе при $z=\alpha _{i}$ обращаются в бесконечность.

Известно^[1], что линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка (2) должно иметь два линейно-независимых частных интеграла, которые в области не существенно особой точки $z=\alpha _{i}$ разлагаются в ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(12)

‎где $\varphi _{1}(z-\alpha _{i})$ и $\varphi _{2}(z-\alpha _{i})$ суть функции голоморфные в области точки $\alpha _{i}$ и отличные от нуля при $z=\alpha _{i}$.

Исключение представляет только тот случай, когда показатели $r_{1}$ и $r_{2}$ оказываются равными:

$r_{1}=r_{2}.$

1. См. Анисимов. Основания теории линейных дифференциальных уравнений. Стр. 40.